阶跃函数和冲激函数的求导和积分?

发布网友 发布时间：2022-04-24 18:54

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热心网友 时间：2023-05-08 17:22

答案如图所示：

定义

普通函数

在数学中，如果实数域上的某个函数可以用半开区间上的指示函数的有限次线性组合来表示，那么这个函数就是阶跃函数。阶跃函数是有限段分段常数函数的组合。

阶跃函数是奇异函数，t < 0时，函数值为 0；t = 0时，函数值为1/2,；t > 0时，函数值为1 [1]  。

广义函数

按广义函数理论，单位阶跃函数ε(t)的定义为：

即阶跃函数ε(t)作用与检验函数φ(t)的效果是赋予它一个数值，该值等于φ(t)在(0,∞)区间的定积分 。

与单位冲激函数的关系

单位冲激函数等于单位阶跃函数对时间变量的导数：  ；

反之，单位阶跃函数等于单位冲激函数的积分：  。

扩展资料：

应用

信号处理

通过阶跃信号来表示复杂的信号，可以简化对复杂信号的一些特性的研究。

阶跃信号及其延时阶跃信号的线性组合来表示或*近，再利用系统的迭加原理，可以通过简单的信号如单位阶跃信号的频谱，以及频域特性来讨论比较复杂信号的频谱。从而减少计算复杂信号频谱的难度。

积分变换

在作积分变换时，对于分段定义的原函数和像函数必须分段处理，常常很麻烦而且容易出错。

利用阶跃函数可将分段定义的函数表示成统一的形式，将函数切割或将分段定义的函数统一地表示成定义在整个数轴上的函数，常使变换简捷容易，简化运算，减少错误。

参考资料：阶跃函数-百度百科

热心网友 时间：2023-05-08 17:23

图片所需答案及步骤如下图所示：

拓展资料

阶跃函数其实是一种特殊的连续时间函数，是一个从0跳变到1的过程，属于奇异函数。在电路分析中，阶跃函数是研究动态电路阶跃响应的基础。利用阶跃函数可以进行信号处理、积分变换。在其他各个领域如自然生态、计算、工程等等均有不同程度的研究。

阶跃函数的性质

（1）可以方便的表示某些信号；

（2）用阶跃函数表示信号的作用区间；

（3）阶跃函数的拉氏变换为： 。

冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大、作用时间极短暂且积分有限的一类理想化数学模型。冲激函数可用于对连续信号进行线性表达，也可用于求解线性非时变系统的零状态响应。

冲激函数的导数性质如下：

其证明如下所示：

热心网友 时间：2023-05-08 17:23

您好，答案如图所示：

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