5.设 f(x)可微且满足 f(0)是函数的极小值 f(x)在 上连续
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发布时间：2022-04-24 05:45
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时间：2023-07-03 20:34
因为f（x）可微， 所以f（x）连续，则由 lim x→0 f(x) x ＝0，可得： f（0）=0，f′(0)＝ lim x→0 f(x)−f(0) x−0 ＝0， 令t=x-u，得： ∫ x0 f(x−u)＝ ∫ x0 f(t)dt， 从而： xf′(x)+ ∫ x0 f(x−u)＝xf′(x)+ ∫ x0 f(t)dt 由：xf′(x)+ ∫ x0 f(x−u)＝sin2x， 得： f′(x)＝ sin2x− ∫ x0 f(t)dt x ，x≠0， ∴f″(0)＝ lim x→0 f′(x)−f′(0) x−0 ＝ lim x→0 sin2x− ∫ x0 f(t)dt x2 = lim x→0 sin2x x2 − lim x→0 ∫ x0 f(t)dt x2 ＝1− lim x→0 f(x) 2x ＝1−0＝1＞0， 从而：f′（0）=0，f″（0）＞0， ∴f（0）是f（x）的极小值， 故选：A．
