二次函数全解析
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发布时间：2022-04-23 20:05
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时间：2023-10-08 16:02
求二次函数解析式的若干思路
二次函数是初中数学主要内容之一，也是联系高中数学的重要纽带。它是初中《代数》中“函数及其图象”中的难点，求二次函数的解析式又是重点。求二次函数的解析式，应恰当地选用二次函数解析式的形式，选择得当，解题简捷，若选择不当，解题繁琐。解题时，应根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式，运用待定系数法求解。下面举例说明。
思路1、已知图象过三点，求二次函数的解析式，一般用它的一般形式： 较方便。
例1、已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。
解：设此二次函数的解析式为 ，由题意得：
解之得
∴所求的二次函数的解析式为
思路2、已知顶点坐标，对称轴、最大值或最小值，求二次函数解析式，一般用它的顶点式 较方便。
例2、已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求解析式。
解：设抛物线 ，由题意得：
∵抛物线过点（1，10）
即解析式为
思路3、已知图象与 轴两交点坐标，可用 的形式，其中 、 为抛物线与 轴的交点的横坐标，也是一元二次方程 的两个根。
例3、已知二次函数的图象与 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式。
解：设所求解析式为
∵图象经过（3，－4）
∴ ∴
即：
则所求解析式为 。
思路4、已知图象与 轴两交点间距离 ，求解析式，可用 的形式来求，其中 为两交点之间的距离， 为其中一个与 轴相交的交点的横坐标。
例4、二次函数的图象与 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。
解：设二次函数解析式为 由已知
∴
又由已知得：
解之得： 或
∴所求二次函数解析式为：
思路5、由已知图象的平移求解析式，一般是把已知图象的解析式写成 的形式，若图象向左（右）移动 个单位，括号里 的值就加（减） 个单位；若图象向上（下）平移 个单位， 的值就加（减） 个单位，即左加右减，上加下减，平移后的抛物线形状不变，大小不变。
例5、把二次函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位，求所得二次函数的解析式。
解：
向右平移2个单位得：
即：
再向上平移3个单位得：
即：
∴所求二次函数解析式为 。
思路6、已知一个二次函数 ，要求其图象关于 轴对称（也可以说沿 轴翻折）； 轴对称及经过其顶点且平行于 轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成 的形式。
（1）关于 轴对称的两个图象的顶点关于 轴对称，两个图象的开口方向相反，即 互为相反数。
（2）关于 轴对称的两个图象的顶点关于 轴对称，两个图象的形状大小不变，即 相同。
（3）关于经过其顶点且平行于 轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即 互为相反数。
例6；已知二次函数 ，求满足下列条件的二次函数的解析式： （1）图象关于 轴对称；（2）图象关于 轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于 轴的直线对称。
解： 可转化为 ，据对称式可知①图象关于 轴对称的图象的解析式为 ，即： 。
②图象关于 轴对称的图象的解析式为：
，即： ；
③图象关于经过其顶点且平行于 轴的直线对称的图象的解析式为 ，即 。
思路7、数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转化为几何问题来解决，只要充分运用有关几何知识即可达目的。
例7、设二次函数 图象与 轴交于两点 、 ，与 轴交于点 ，若 ，求此二次函数的解析式。
解：在 中，
∵
∴
又∵
∴RtΔOBC∽RtΔABC，RtΔOAC∽RtΔABC，
RtΔOAC∽RtΔOBC
∴
∴
设所求的抛物线解析式为 ，即
即 ，得：
所以所求抛物线为：
思路8、对于综合式的二次函数解析式的求法，以二次函数为背景来设计的综合题大多作为中考的压轴题，是用来拉开分数档次的试题，它一般以二次函数为中心，与代数、几何、三角等知识进行有机地融合。此种题型集初中代数、几何、三角等知识于一身，沟通了许多知识点之间的纵横联系，解题时，要根据几何图形的有关性质，建立等量关系，求出函数关系式或由函数图象中的几何图象，运用数形综合方法解决有关函数几何问题。只要将各知识点的问题予以解决即可求解。
例8、如图，EB是半圆O的直径，EB=6，在BE的延长线上取点P，使EP=EB，A是EP上一个动点（A点与E点不重合），过A作⊙O的切线AD，切点为D，过D作DF⊥AB，垂足为F，过B作AD的垂线BH交AD的延长线于点H，连结ED和FH，设 ,求 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围。
解：连结BD
∵EB是半圆O的直径
∴∠EDB=90°
∴
∵BH⊥DA
∴∠BHD=90°
∵AH为⊙O的切线
∴∠BDH=∠DEB
∴RtΔBDH∽RtΔBED
∴
∴
∴
由条件 ，与A与P重合时，有
∴
又∵ΔPDE∽ΔPBD
∴
∴
则自变量 的取值范围为 。
热心网友
时间：2023-10-08 16:02
二次函数表面上很难，实际上只要把握住几个信息点就可以了：开口方向，对称轴和顶点坐标以及关键点（有时是具体的点，有时是已知点的某一个坐标和它与坐标轴的关系）。当然在具体解题过程中，还需要有较强的整合能力，这就需要多加练习了。
