三角函数在现实生活中的应用
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发布时间：2022-04-22 14:52
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热心网友
时间：2023-07-05 15:47
问题背景
在现实生活中，特别是普通老百姓把数学看似一个非常遥远的的神秘王国，人们误解数学就是搞难题，没有什么实际用途。这与我们在数学教学中不讲数学的意义，不讲数学与生活的联系，不讲数学与其他学科的关系及其在实际社会生活中的应用价值，而是讲解题，把数学教学变成了一种纯粹的演题训练，使学生看不见数学的本来面目和它的真正意义，失却了对大自然的“好奇心”有着很大的关系。在学生学完三角函数这部分内容以后，寻找三角函数在生活中的实例，通过这些资料，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
1、设置情景
随着人类的进步和科技的发展，数学的应用已经渗透到社会的各个方面。人们的日常生活和工作都离不开数学，“数学已无处不在”。现在就来看看生活中的三角函数问题。
2、探索研究
前一段时间，针对三角函数在生活中的应用，我们学习了这样一个例题：
把一段半径为R的圆木，锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法，才能使横截面积最大？
分析：如图所示：
设 ，则
当且仅当 时，即 时，
所以在圆木的横截面上截取内接正方形时，才能使横截面积最大。
生活中的实际问题：
在这里提供这样一个生活中的问题，看看它们与三角函数的联系。（让学生探究解决）
在一住宅小区里，有一块空地，这块空地可能有这样三种情况：
（1）是半径为10米的半圆；
（2）是半径为10米，圆心角为 的扇形；
（3）是半径为10米，圆心角为 的扇形；
现要在这块空地里种植一块矩形的草皮，使得其一边在半径上，应如何设计，使得此草皮面积最大？并求出面积的最大值。
分析1：第一种情况，如图所示：连结OC，
设 ，则 ， ，
这时
此时，点A、D分别位于点O的左右方 处时S取得最大值100。
分析2：第二种情况，连结OC，
设 ，则 ， ，
当且仅当 时，即 时，
分析3：如图所示：连结OB,
设 ，则 ， ，
当且仅当 时，即 时，
学生发言完毕，老师总结，将每个同学的发言简单整理；引导学生分析此题与引例中的题的联系。
3、试试身手：(看谁做得快又准确)
下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表（时间近似到0.1小时）
日期 1月1日 2月28
日 3月21
日 4月27
日 5月6
日 6月21
日 8月13
日 9月20
日 10月25日 12月21日
日期位置序号x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355
白昼时间y（小时） 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4
（I）以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；
（Ⅱ）试选用一个形如 的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系.[注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算]
（Ⅲ）用（Ⅱ）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时.
解：（I）画散点图见下面.
（Ⅱ）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为
，
由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，
即 ，
由19.4－5.4=14，得A=7；
由19.4+5.4=24.8，得t=12.4；
又T=365，
（Ⅲ）
∴该地大约有121天（或122天）白昼时间大于15.9小时.
4、小结
通过我们的研究，我们深深地体会到，身边就有数学，数学就在身边，在以后的学习过程中，只要我们勇于探索，有些同学可能会成为真正的发明家、创造者，我们现在的研究让它作为一个奠基，通过我们的研究开拓思路，为将来成为一名数学家、发明家创造良好的条件。
5、巩固
其实在我们生活中，还有许多关于三角函数的问题，如果同学们有兴趣的话，课后我们还可以关注一下可以研究的事物，例如以下两个问题：
问题1：如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值。
分析：矩形PQCR的面积显然跟P的位置有关，连AP，延长RP交AB于M。若直接设RP的长度为x，则PM=100－x,在Rt△APM中，AM= ，从而得PQ=MB=100－ ，S=（100－ ）•x，虽然可以得出函数关系，但是求解面积的最值比较复杂。不妨以角为变量建立函数关系。
解：如上添加辅助线，设∠PAB=θ（00<θ<900），则AM=90cosθ,PM=90sinθ，RP=RM－PM=，PQ=MB=100－90cosθ，∴S=PQ•PR=（100－90cosθ）•（100－90sinθ）=10000－9000（sinθ+ cosθ）+8100 sinθcosθ。设sinθ+ cosθ=t(1<t≤ )，则sinθcosθ= 。代入化简得S= （t－ ）2+950。故当t= 时，Smin=950(m2)；当t= 时，Smax=14050－9000 (m2)
问题2：受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，已知某海滨浴场的海浪高度 (米)是时间 (O≤ ≤24，单位小时)的函数，记作 ，下表是某日各时的浪高数据：
（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
米
1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5
经长期观察， 的曲线可近似地看成函数
（1）根据上述数据，求出函数 的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
（2）根据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内对冲浪爱好者能开放几次?时间最长的一次是什么时候?有多长时间?时间最短的一次是什么时候?有多长时间?
(1)y=
(2)三次，时间最长一次是上午9时至下午3时共6小时最短一是零点到3点，21时到第二天零时，时间为3小时
参考资料：电子邮箱zyl2518006@126.com,手机号码13037341167；电话07342518006
热心网友
时间：2023-07-05 15:47
三角函数在航海.建筑绘图.实地勘察测量等方面用处很多。
比如（你一定知道的一类问题）#.通过汽车的移动根据角度和车移动距离的关系，测量远处山的高度，或河对岸两建筑间的距离(*都是不可到达的）！！！！
热心网友
时间：2023-07-05 15:48
建筑桥梁的时候，要计算角度
测量大楼或山丘的高度不可能直接用尺子量
要用三角函数，
测量山坡上大树的高度
测量河对岸两点间距离
等等啦
热心网友
时间：2023-07-05 15:49
测量山高
测量树高,确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性
调整电网,比如两个电网并接的时候
用于山的坡度 TAN 平面所走的距离 比上 上升的高度 ,同理还可以测量楼的高啊 塔的高
测量树高,确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性
热心网友
时间：2023-07-05 15:49
船的航行，用
测量日影日高
测量山、建筑物高度
例题到处可以找到，教科书书上都有不少
