怎样计算肥皂泡膜所做的功
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发布时间：2022-04-23 09:44
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时间：2023-10-09 22:05
一个肥皂泡的表面张力系数为a，要吹一个半径为R的肥皂泡需要做多少功？
半径为R的肥皂泡，内外两个表面，表面积共为8πR^2。吹这样一个肥皂泡即新增了8πR^2的表面。再乘以表面张力系数，即所需的功：
W=8πaR^2
日常生活中，吹肥皂泡是儿童最喜欢的一种游戏。目前世界上有许多玩肥皂泡的高手以此为职业，将它提升为一种魔术表演艺术。一些高难度的表演申请了吉尼斯纪录。但还少有能成为物理学家研究的课题。2009年英国《每日邮报》7月12日报道，英国英格兰西南部城市埃克塞特(Exeter)的摄影师理查德(Richard Heeks)拍下了一组肥皂泡瞬间破灭的高清组图，让人发现原来肥皂泡在破灭前显示的景象如此绚丽多彩。如果是物理学家做这个实验，就不会用手指去捅破肥皂泡，而是用一个谐振子触发肥皂泡的振动，摄下肥皂泡破裂前的波动画面。不要苛求我们的摄影师，他已经做得挺完美。
以上的实验结果是很漂亮的，过程也很清楚，如何进行理论分折呢？也许对计算流体力学家来说，这只是一个并不复杂的动力系统。如果你在不深入了解肥皂泡的结构及破裂的动力学过程而选择一个理论模型计算，虽然你的计算结果和实验结果能比对，但结果并不一定可信。且不论模型有没有可靠的物理基础，即使有，你能保证结果的唯一和给出计算的精确度吗(就强非线性情形而言)？我们的分析是跟随物理学家传统的方法，抓住本质因素，由简到繁，由易到难，由定性到定量过程进行研究。早期对肥皂泡现象有过系统研究的科学家中有三位，一位是比利时科学家普拉提奥，另外两位是英国科学家瑞利和波易斯。跟随他们的研究，对于球形肥皂泡破碎物理过程，我们准备从以下三个方面来分析：
一个孤立的肥皂泡在平衡状态下，为什么是球形？
肥皂泡是由液体和气体两相交界面而形成。它的内部和外部可以是同一气体(例如空气)，也可以是不同气体。这个交界面的厚度一般是微米(百万分之一米)量级大小。在宏观流体力学理论中一般视为无限薄的界面来处理。有时要考虑这个界面的结构，实际上界面中间是一层薄薄的肥皂液，在本文第三部分中分析球形肥皂泡破裂时就是这样处理的。有时会出现气泡处于另一种液体中，也会出现泡的内外是两种不同的液体。在流体力学理论研究中，当把液体作为理想流体处理时，就无须区分气体和液体。
肥皂膜的物理性质就像弹性膜一样，最简单的测量液体的表面张力系数的方法就是利用这一特性的。长l 的金属框从液池中拉出髙度为h的肥皂膜总面积为2hl，拉住金属框的力为2γl (其中γ为表面张力系数)。形成肥皂膜所做的功为2γlh。通过测量力就可以测出液体的表面张力系数γ。
归根结底，肥皂泡是一个化学体系，它的平衡条件由化学平衡条件决定。但是决定肥皂泡的平衡不会有化学反应发生，而且可以认为是等温过程，化学平衡条件就简化为力学平衡条件。吉布斯自由能取极小的条件简化为势能取极小的条件，由于重力可以忽畧不计，势能只需考虑表面张力势。势能的变化等于等温等体积条件下形成肥皂膜所做的动，所做的功等于液体膜表面积的变化。最后肥皂泡平衡条件就是在等温等体积条件下使表面积取极小。这个数学问题被称为普拉提奥问题。这是数学分支变分法中的一个有名的数学问题，平面问题的解是圆周，空间问题的解就是球面。
柱形肥皂泡是怎样破裂的？
英国科学家波易斯在《肥皂泡和形成它们的力》一书第二讲中讲到形成柱形肥皂泡的方法。柱形肥皂膜中间充满空气，如要拉长柱形泡，可以从端部圆柱中心小管充入空气，然后封住入口。他的实验发现：在柱形泡的长度等于周长（即近于直径的⒊14倍）时，柱形泡变成不稳定。上部波峯处不断向外鼓起，下部波谷处不断向中心收缩，最后断成大小不同的两部分。柱形泡长度超过周长时必定不稳定的结论，是在更早些时候英国科学家瑞利研究液体射流破碎时得出的结论，通常称为瑞利稳定性准则。
髙处水龙头流出的水柱会破碎形成液滴。这种现象称为液体射流的表面张力的不稳定现象，这是因为射流可以通过破碎成不太小的液滴以减小其表面积。如果让一股细水流从水龙头里缓慢流出来，这种破碎现象可以看得很清楚。为什么会出现从射流转化为液滴的现象？这是因为当液柱直径变得与平均值不同时(出现粗细不均是源于振荡、一旦出现有粗有细时，就不可逆转)，此时在表面张力的作用下，变细的地方内部压力升髙把此处液体驱向较粗处；那些细的地方被拉长、形成较小的液滴，并与较大液滴分离。
瑞利是最早注意并研究这一现象的科学家。在他的最早理论模型中，假设液体射流为半径r的无限长圆柱形理想流体，平衡态为静止，取中心轴为z轴，则流体小扰动位移为：
其中σ为不稳定发展率、m 为周向波数、k为轴向波数。在瑞利的模型以及所有无耗散情形中，σ为实数。当σ为负数，对应于稳定情形；当σ为正数，则对应于不稳定情形。
瑞利的理论证明：(1)在任意整数m的各类扰动中，轴对称扰动(m=0)为最不稳定的扰动；(2)对于轴对称扰动，轴向扰动波长小于周长为稳定情形；波长大于周长为不稳定情形。
一般情形下，液柱表面的扰动是由周向扰动m和轴向扰动k合成(m、k)，轴对称扰动(m=0)是最不稳定的。瑞利据此预言：在两端有固定边界的柱形泡情形，也就是当泡的长度大于周长时必定不稳定，后来这被称为瑞利稳定准则。
从上世纪50年代以来，由于悬浮区晶体生长技术的兴起，轴向具有固定边界的液柱模型被广泛研究。以后由于空间材料研究的激励，悬浮区的研究的热潮一直持续至今。对于等温情形下液体悬浮区的瑞利稳定准则，我们给出了严格证明(参看《微重力流体力学》一书第三章，胡文瑞、徐硕昌著，1999年 科学出版社出版）)。关于柱形气泡情形的瑞利稳定准则严格证明发表在我们1998年的一篇论文中[Langmuir 14(1998) 250-252)]。
基于上述论证，作用于柱形泡的表面张力具有如下性质：(1)表面张力使泡的表面积趋于最小；(2)对于短波扰动，表面张力起稳定作用；对于波长大于周长的扰动，表面张力起不稳定作用；(3)在各种扰动情形中，轴对称情形(m=0)是最不稳定扰动。在表面张力作用下，柱形肥皂泡就出现如图7所示的状态，最后会*成两部分。
3.球形肥皂泡破碎的物理机理
在上一节的柱形泡理论模型中，泡的壁面被认为是无限薄，但这里的球形泡必须考虑壁的厚度，因为泡破碎后是肥皂液的飞沫。假设泡的壁面厚度为微量2、泡的半径为R、手指触的地方取为北极，这样我们就可以用经纬度作为球形泡的坐标，经度为、纬度为，泡内液体扰动位移可以用球函数表示如下：
其中σ为不稳定发展率，m、n为正整数，为球函数。此种扰动位移表达形式只适用于球形泡未破裂的情形。在柱形泡情形，组合(m、k)可以给出所有本征扰动模式；对于球形泡情形，组合(m、n)可以给出所有本征扰动模式。查阅现有文献，研究球形气泡振动和稳定问题的论文很多，但没发现能直接用于这里球形肥皂泡破碎过程的理论结果。以下分析实质上是外推上一节的柱形泡的分析。
在手指未触破肥皂泡以前，肥皂泡被挤压，必然出现波纹，此即一种本征振动模式。这种波纹会同时出现在肥皂膜的里外两边。表面张力使表面积趋于最小会使波纹收缩成肥皂沫。球形肥皂泡北极破了以后、由于泡内气压比外部大，内部气体会流出泡外。在出口处，内外压力相等。由北极开始会形成破碎波沿经线向南极传播。在裂口边沿会形成波纹。破碎波沿经线向南极传播，传遍整个球面，肥皂泡全部破碎成肥皂液沫，但仍分布在原球面位置。重力的作用将使其偏离球面散开。如何建立理论模型解释这一过程，尚待研究。也许此文会引起读者的兴趣、有志于去解决这个问题。
