已知f(x)=a1x+a2x^2+a3x^3+...+anx^n,n为正整数,a1,a2,a3,...an组成等比数列
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发布时间：2022-04-23 06:33
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时间：2023-10-05 11:25
由题意有f(1)=a1+a2+…+an=(a1+an)*n/2=n^2
从而a1+an=2n
2a1+(n-1)d=2n…①
f(-1)=-1a1+a2-a3+…+(-1)^n*an
若n为奇数
f(-1)=-a1+a2-a3+…-an=(n-1)/2*d-[a1+(n-1)d)]
=-(n-1)/2*d-a1=n…②
由①②得
n=0，矛盾,
所以n为偶数
由f(-1)=-a1+a2-a3+…+an=n/2*d=n
有d=2
从而a1=1,an=2n-1
故：
f(1/2)
=
1/2
+
3*(1/2)^2
+…+
(2n-1)*(1/2)^n
1/2*f(1/2)
=(1/2)^2
+
…
+
(2n-3)*(1/2)^n
+
(2n-1)*(1/2)^(n+1)
从而：
f(1/2)-1/2f(1/2)
=
1/2*f(1/2)
=1/2
+
2*((1/2)^2
+
(1/2)^3
+…+(1/2)^n)
-
(2n-1)*(1/2)^(n+1)
<1/2
+
2*1/4
/(1-1/2)
=3/2
从而f(1/2)<3
