函数定义域,值域求法

【学习目标】1.能够熟练且准确的用区间表示实数范围内的集合。

2.知道求定义域的的几种情形及求法。

3.会求函数的值域，并要注意每种方法针对的情形。

一·区间的概念

实数范围内的集合在数学中使用非常普遍，我们可以用下面这种简单的表达方式。阅读课本P27，完成下表。

设a,b是两个实数，且ab 定义 名称 闭区间 开区间 左开右闭区间 左闭右开区间 符号 图示

{x|axb} {x|axb} {x|axb} {x|axb}

定义 符号 {x|xa} {x|xa} {x|xa} {x|xa} {x|xR} 二．定义域的求法

一般的，如非特别指明，函数的定义域为是函数的解析式有意义的自变量x的范围。一般是如下几种情形：

① 函数解析式为整式（单项式或多项式），定义域为全体实数R ② 函数解析式为分式，定义域为使分母不为0的数的集合

③ 函数解析式为偶次根式（特别是二次根式），定义域为使被开方式非负的数的全体 ④ 函数解析式为零次幂，定义域为使底数不为零的数的全体

⑤ 若函数解析式有几部分构成，使每一部分都有意义，定义域取他们的交集。 ⑥ 实际问题要考虑实际意义。 例题1：求下列函数的定义域。

(1) f(x)x32x （2）f(x)x1(3) g(x)x (4)h(x)x2(x3)0 x2解：(1)函数解析式是整式，定义域是R

(2)函数解析式为二次根式，被开方式非负，即：x10解得：x1所以定义域为[1,) （3）函数解析式为分式，分母不为零，即：x20，解得：x2，定义域为

(,2)(2,)

（4）函数解析式有两部分构成，两部分都要有意义，因此{x20x30，解得x2且x3

（3，） 定义域为[-2,3)

三.值域的求法

求值域即求因变量y或f(x)的范围，一般针对于不同类型的函数有不同的方法，在下面的学习中要注意每种方法所适用的情形，希善加体会。 1.图像法

对于一些常见函数（比如一次函数，二次函数，反比例函数以及与他们有关的函数）我们知道他们的图像，就可以观察他们的图像，确定值域。 例题1:求值域（1）y21 （2）

yxx21

-1 观察他们图像即可见（1）中，y0 ，所以值域为(,0)(0,)

（2）中y1，所以值域为[1,)

2.观察法

例题2：求函数值域（1）y3x （2）y2x1

x3，即: y3，所以值域为(,3]

2解：（1）x0,x0,3（2）x20,2x0,2x11，即：y1，所以值域为[1,)

22注：可以看到这种方法利用的是比如易确定

x20,x0的范围求出y的范围。

3.配方法

配方法是求二次函数（或与二次函数类似函数）值域的基本方法。

例题3：求函数值域y8x22x5,x[1,2]

6 解：配方得： y(x1)4，x[1,2]24根据图像得：值域为[4,8]

4．换元法

通过换元把一个比较复杂的函数变成我们熟悉的简单函数，再利用简单函数的性质求值域，这在后面的学习中经常要用到，是一种转化的思想。

例题4：求函数yx2-12x1的值域。

解：设x1t (t0) （为什么？为什么要求t的范围？） （第一步：设新元） 则x2t21 （第二步：解旧元）

yt1t （第三步：换 元）

这时候函数已经变成一个二次函数，配方得：

1ytt1(t)2223 4又t0 （第四步：根据新元的范围求值域） 观察二次函数y故值域为[1,)

t21t在t0的图像

= f(x)4 21

分组讨论一：用区间表示下列函数的定义域

（1）yx2 （2）y1x1xx4 （3）y x3x1

分组讨论二：图像法求下列函数的值域。

(1)yx12 (2) y23x x1

分组讨论三：观察法求下列函数值域。

2x1x21,(0x2) （2）y2(1)y x1x1

分组讨论四：配方法求下列函数的值域。 （1）y

分组讨论五：换元法求下列函数的值域。 (1) yx2x1 (2) y74x2x （2）yx2x4，x[2,2]

22x4x (3) yx2x3

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