(45分钟 100分)
一、选择题(每小题4分,共28分) 1.下列语句正确的是 ( ) A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C.矩形的对角线相等 D.平行四边形是轴对称图形
【解题指南】由菱形的判定方法得出选项A错误;由全等三角形的判定方法得出选项B错误;由矩形的性质得出选项C正确;由平行四边形的性质得出选项D错误;即可得出结论.
【解析】选C.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,故A错;两边及其夹角对应相等的两个三角形全等,故B错;矩形的对角线相等,故C正确;平行四边形是中心对称图形,故D错. 【变式训练】下列命题: ①平行四边形的对边相等; ②对角线相等的四边形是矩形;
③正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形; ④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形. 其中真命题的个数是 ( ) A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.平行四边形的对边相等,①正确;对角线相等的平行四边形是矩形,②错误;正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形,③正确;一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形,④正确,所以有3个真命题.
2.(2017·黔东南州模拟)如图,在▱ABCD中,AD=8,点E,F分别是BD,CD的中点,则EF等于 ( )
- 1 -
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC=AD=8.∵点E,F分别是BD,CD的中点,
∴EF=BC=×8=4.
3.(2017·衢州中考)如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于 ( )
A. B. C. D.
【解题指南】根据折叠的性质得到AE=AB,∠E=∠B=90°,易证Rt△AEF≌Rt△CDF,即可得到结论EF=DF;易得FC=FA,设FA=x,则FC=x,FD=6-x,
在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x=4+(6-x),解方程求出x. 【解析】选B.∵矩形ABCD沿对角线AC对折,使△ABC落在△AEC的位置, ∴AE=AB,∠E=∠B=90°, 又∵四边形ABCD为矩形, ∴AB=CD, ∴AE=DC, 而∠AFE=∠CFD, ∵在△AEF与△CDF中,
2
2
2
- 2 -
∴△AEF≌△CDF(AAS), ∴EF=DF.
∵四边形ABCD为矩形, ∴AD=BC=6,CD=AB=4, ∵Rt△AEF≌Rt△CDF, ∴FC=FA,
设FA=x,则FC=x,FD=6-x, 在Rt△CDF中,CF2
=CD2
+DF2
,
即x2=42+(6-x)2
,解得x=
,
则FD=6-x=.
4.(2017·北流市一模)如图,四边形ABCD是菱形,A(3,0),B(0,4),则点C的坐标为
A.(-5,4) B.(-5,5) C.(-4,4)
D.(-4,3)
【解析】选A.∵A(3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4, ∴AB=
=5,∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=AD=AB=5,∴点C的坐标为(-5,4).
5.顺次连接矩形ABCD各边中点,所得四边形必定是 ( ) A.邻边不等的平行四边形 B.矩形 C.正方形
)
- 3 -
(
D.菱形
【解析】选D.如图,E,F,G,H为矩形各边的中点,连接AC,BD.根据三角形中位线定理,
得EF∥AC,EF=AC,HG∥AC,
HG=AC,EH=BD. ∴EF∥HG,EF=HG,
∴四边形EFGH为平行四边形.
又∵AC=BD,∴EF=EH.∴四边形EFGH为菱形.
6.(2017·威海模拟)在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E为CD的中点,连接AE交BC的延长线于F点,P为BC上一点,当∠PAE=∠DAE时,AP的长为 ( )
A.4 B. C. D.5
【解析】选B.∵AD∥BC,∴∠DAE=∠F, 又∵∠PAE=∠DAE,∴∠PAE=∠F,
∴PA=PF.∵E为DC中点,∴DE=CE.又∵∠AED=∠FEC, ∴△ADE≌△FCE,∴CF=AD=4, 设CP=x,PA=PF=x+4,BP=4-x, 在直角△ABP中,2+(4-x)=(x+4),
2
2
2
解得:x=,
∴AP的长为.
【变式训练】如图,把矩形ABCD沿EF翻
折,点B恰好落在AD边的B'处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是 ( )
- 4 -
A.12 B.24 C.12
D.16
【解析】选D.由两直线平行内错角相等,知∠DEF=∠EFB=60°,∴∠AEF= ∠A'EF=120°,∴∠A'EB'=60°,A'E=AE=2,求得A'B'=28=16
.
,∴AB=2
,矩形ABCD的面积为S=2
×
7.如图所示,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且CE=DF,AE,BF相交于点O,下列结论①AE=BF;②AE⊥BF;
③AO=OE;④S△AOB=S四边形DEOF中,错误的有 ( )
A.1个
B .2个
C.3个
D.4个
【解析】选A.∵四边形ABCD是正方形,∴CD=AD.
∵CE=DF,∴DE=AF,又∵AD=AB,∠BAF=∠D,∴△ADE≌△BAF, ∴①AE=BF,S△ADE=S△BAF, ∠DEA=∠AFB,∠EAD=∠FBA, ∴④S△AOB=S四边形DEOF.
∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠DEA=90°, ∴∠AFB+∠EAF=90°,
∴②AE⊥BF一定成立.错误的结论是:③AO=OE. 二、填空题(每小题5分,共25分)
8.(2017·徐州中考)△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,DE=7,则BC=________.
【解析】∵D,E分别是△ABC的边AB和AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∵DE=7,∴BC=2DE=14.
- 5 -
答案:14
9.已知矩形的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,那么BD=________.
【解析】在矩形ABCD中,
∵对角线AC与BD相交于点O,AO=1, ∴AO=CO=BO=DO=1,∴BD=2. 答案:2
10.(2017·连云港中考)如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若∠EAF=56°,则∠B=________.
【解析】∵AE⊥BC,AF⊥CD, ∴∠AEC=∠AFC=90°,
在四边形AECF中,∠C=360°-∠EAF-∠AEC-∠AFC=360°-56°-90°-90°= 124°,
在▱ABCD中,∠B=180°-∠C=180°-124°=56°. 答案:56°
11.(2017·乌鲁木齐中考)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,则菱形ABCD的面积为________.
【解析】∵菱形ABCD,∴AD=AB,OD=OB,OA=OC,∵∠DAB=60°,∴△ABD为等边三角形,∴BD=AB=2,∴OD=1,在
Rt△AOD中,根据勾股定理得:AO==,∴AC=2,则S菱形ABCD=AC·BD=2.
- 6 -
答案:2
12.(2017·安顺中考)如图所示,正方形ABCD的边长为6,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为__________.
【解析】设BE与AC交于点P,连接BD, ∵点B与D关于AC对称, ∴PD=PB,
∴PD+PE=PB+PE=BE最小.
即P在AC与BE的交点上时,PD+PE最小,为BE的长度; ∵正方形ABCD的边长为6, ∴AB=6.
又∵△ABE是等边三角形, ∴BE=AB=6. 故所求最小值为6.
答案:6
三、解答题(共47分)
13.(10分)如图,在▱ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.
- 7 -
(1)求证:△ADE≌△CBF. (2)求证:四边形BFDE为矩形. 【证明】(1)∵DE⊥AB,BF⊥CD, ∴∠AED=∠CFB=90°, ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD=BC,∠A=∠C,
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(AAS).
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,∴CD∥AB, ∴∠CDE+∠DEB=180°, ∵∠DEB=90°,∴∠CDE=90°, ∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°, 则四边形BFDE为矩形.
14.(12分)(2017·鄂州中考)如图,将矩形ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点F处,FC交AD于点E. (1)求证:△AFE≌△CDE.
(2)若AB=4,BC=8,求图中阴影部分的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠B=∠D=90°. 由折叠,得AB=AF,∠B=∠F.∴AF=CD,∠F=∠D. 又∵∠AEF=∠DEC,∴△AFE≌△CDE.
(2)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴∠CAE=∠ACB. 由折叠,得∠ACB=∠ACE,AF=AB=4,CF=BC=8.
- 8 -
∴∠CAE=∠ACE.∴AE=CE. 设AE=x,则CE=x,EF=8-x.
在Rt△AEF中,由勾股定理得AE=AF+EF. ∴4+(8-x)=x.解得x=5,即AE=5.
2
2
2
2
2
2
∴S阴影=AE·AB=×5×4=10.
15.(12分)(2017·张家界中考)如图,在平行四边形ABCD中,边AB的垂直平分线交AD于点E,交CB的延长线于点F,连接AF,BE. (1)求证:△AGE≌△BGF.
(2)试判断四边形AFBE的形状,并说明理由.
【解题指南】(1)由平行四边形的性质得出AD∥BC,得出∠AEG=∠BFG,由AAS证明△AGE≌△BGF即可. (2)由全等三角形的性质得出AE=BF,由AD∥BC,证出四边形AFBE是平行四边形,再根据EF⊥AB,即可得出结论.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠AEG=∠BFG, ∵EF垂直平分AB, ∴AG=BG,
在△AGE和△BGF中,∴△AGE≌△BGF(AAS).
(2)四边形AFBE是菱形.理由如下:
- 9 -
∵△AGE≌△BGF, ∴AE=BF, ∵AD∥BC,
∴四边形AFBE是平行四边形, 又∵EF⊥AB,
∴四边形AFBE是菱形.
16.(13分)我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
(1)如图1,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形.
(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想.
(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)
【解析】(1)如图1中,连接BD. ∵点E,H分别为边AB,DA的中点,
∴EH∥BD,EH=BD,
∵点F,G分别为边BC,CD的中点,
∴FG∥BD,FG=BD,∴EH∥FG,EH=GF, ∴中点四边形EFGH是平行四边形. (2)四边形EFGH是菱形.
- 10 -
证明:如图2中,连接AC,BD. ∵∠APB=∠CPD,
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD, 即∠BPD=∠APC,
在△APC和△BPD中,
∴△APC≌△BPD,∴AC=BD.
∵点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点,
∴EF=AC,FG=BD,∴EF=FG. ∵四边形EFGH是平行四边形, ∴四边形EFGH是菱形. (3)四边形EFGH是正方形.
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