高中数学三角函数专题专项练习(非常好)

一、

忽略隐含条件

例3． 若sinxcosx10，求x的取值范围。 正

2k二、

解

4x：

2k2sin(x4)1，由

sin(x4)22得

43(kZ)∴2kx2k(kZ)

24忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性

120，讨论函数ycos2cos2的最值。

例4． 设、为锐角，且+12错解 y1(cos2cos2)1cos()cos()1cos()，可见，当

ymaxcos()1时，

31ymin。；当cos()1时，分析：由已知得30,90，

22121212∴6060，则cos()1，∴当cos()1，即60时，ymin，最大值不存在。

三、

忽视应用均值不等式的条件

例

a2b25． 求函数y22(ab0,0x)的最小值。

2cosxsinxa2b22ab4ab(2)4ab(0sin2x1)，∴当sin2x1时，错解 y22(1)sinxcosxsin2xcosxsinxymin4ab

分析：在已知条件下，（1）、（2）两处不克不及同时取等号。正解：

ya2(1tan2x)b2(1cot2x)a2b2(a2tan2xb2cot2x)，当且仅当atanab2ab(ab)222xbcotx，即tanxba，

时，ymin(ab)2 【经典题例】

例4：已知b、c是实数，函数f(x)=x2bxc对任意α、βR有：f(sin)0,且

f(2cos)0,

（1）求f（1）的值；（2）证明：c3；（3）设f(sin)的最大值为10，求f（x）。 [思路]（1）令α=，得f(1)0,令β=，得f(1)0,因此f(1)0,；（2）证明：由已知，当1x1时，f(x)0,当1x3时，f(x)0,通过数形结合的方法可得：

2f(3)0,化简得c3；（3）由上述可知，[-1，1]是f(x)的减区间，那么f(1)10,又

f(1)0,联立方程组可得b5,c4,所以f(x)x25x4

例5：关于正弦曲线回答下述问题： （1）函数ylog1sin(2x43)的单调递增区间是？[8k24x8k]kZ； 33（2）若函数ysin2xacos2x的图象关于直线x48对称，则a的值是1 ；

（3）把函数ysin(3x)的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得的函数解析式子是ysin(x) ；

88例6：函数f(x)应的x值。

sin2x，（1）求

1sinxcosxf(x)的定义域；（2）求f(x)的最大值及对

[思路]（1）{x|x2k且x2ky=t-1ymax21,x2k2kZ}(2)设t=sinx+cosx,则

kZ

4例7：在ΔABC中，已知sinAcos2CA3sinCcos2sinB（1）求证：a、b、c222成等

差数列；（2）求角B的取值范围。

[思路]（1）条件等式降次化简得

a2c2(cosB(0,]

33314．设xcossin，且sincos0，则x的取值范围是(0,2] ；

sinAsinC2sinBac2b（2）

ac2)3(a2c2)2ac6ac2ac12,∴……，得

2ac8ac8ac2B的取值范围

19．已知x(0,)，证明不存在实数m(0,1)能使等式cosx+msinx=m(*)成立；

2（2）试扩大x的取值范围，使对于实数m(0,1)，等式(*)能成立； （3）在扩大后的x取值范围内，若取m3,求出使等式(*)成立的x值。 3x提示：可化为mtan()1（2）x(,)（3）x

62422最值问题典型错例

sinx的最大值和最小值。

134cos2x2ysinxsinx9y0错解：原函数化为4，关于sinx 例5. 求函数y的二次方程的判别式

11112，即y，所以ymax，ymin。剖析：若取(1)44y9y01212121213y，将导致sinx的错误结论，此题错在忽视了隐含条件|sinx|1。正解：

1222原函数化为4，当y0时，解得s，满足sinx1 ysinxsinx9y0inx0当

11144y2y0时，解得sinx8y1144y，又s，则有inxR，|sinx|1202或

11144y118y1144y2011144y2118y，解得1111y，所以ymax，ymin

13131313难点化简与求值

【例】已知＜β＜α＜3,cos(α－β)=12,sin(α+β)=－3,求sin2α

24135的值_________.

［例1］不查表求sin220°+cos280°+

解法一：sin220°+cos280°+(1+cos160°)+

=1－

3sin20°cos80°

1cos40°+1cos160°+3223cos20°cos80°的值.

13sin220°cos80°= (1－cos40°)+1

22sin20°cos(60°+20°)=1－

3

12cos40°+1

2(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+sin60°sin20°)=1－

12sin20°(cos60°cos20°－

34cos40°－

14cos40°－sin40°+

34sin40°－

3sin220° 2=1－3cos40°－3(1－cos40°)=1

444解法二：设x=sin220°+cos280°+

y=cos220°+sin280°－3cos20°sin80°，则

x+y=1+1－

33sin20°cos80°

3，

sin60°=

12，x－y=－cos40°+cos160°+

3sin20°cos80°=

sin100°=－

2sin100°sin60°+

43sin100°=0

∴x=y=1，即x=sin220°+cos280°+

1. 4［例2］关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=1的a值，并对此时的a值求y的最大值.

2解：由f(a)

y=2(cosx－a2a24a2)2－及

2cosx∈［－1，1］得：

－2a－

(a2)1 2a2a1 (2a2)214a (a2)，∵f(a)=12a211,∴1－4a=a=［2,+∞)，故－

2281=1，解得：a=－1，此时，

2y=2(cosx+1)2+1，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5.

22难点训练

1.(★★★★★)已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈(－,)，则tan的值是( )

222A.1B.－2 C.4D.1或－2

2323.设α∈(,3)，β∈(0，)，cos(α－)=3，sin(3+β)=

4444545，则13sin(α+β)=_________.

4.不查表求值:2sin130sin100(15.已知

cos(+x)=3，(1751243tan370)1cos10.

＜x＜74sin2x2sin2x)，求

1tanx的值.

7.扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积. 8.已知cosα+sinβ=

3，sinα+cosβ的取值范围是D，x∈D，求函数y=log122x34x10的最小值，并求取得最小值时x的值.

参考答案

难点磁场

解法一：∵＜β＜α＜3,∴0＜α－β＜.π＜α+β＜3,∴sin(α－β)=

4541cos2(),cos()1sin2().135244∴sin2α=sin［(α－

－

β)+(α+β)β)sin(α+β)－4,

5］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α

5412356解法二：∵sin(α－β)=5,cos(α+β)=()().。

1351356513∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(αsin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－40

65－β)=－

7265sin2α－

∴sin2α=1(7240)56

2656565难点训练

一、1.解析：∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0。tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、β∈(－

22tan42tan(α+β)=tantan4a4,又tan()31tantan1(3a1)31tan222tan223tan22=0.解得tan=－2.答案：B

2

3.解析：α∈(,3),α－∈(0,),又cos(α－)=3.

5444242,

2)∴α、β∈(－

2,θ),则∈(－

,

2,0),又理

得

整

43335312sin(),(0,).(,).sin(),cos().45444413413563sin()sin[()()]

442653cos[()()]44333124556cos()cos()sin()sin()().44445135136556即sin()65375.解:cos(x),sin2xcos2(x).4542517754又x,x2,sin(x) 1243445sin2x2sin2x2sinxcosx2sin2x2sinx(sinxcosx)cosxsinx1tanxcosxsinx1cosx74()sin2xsin(x)528425375cos(x)45答案：

三、4.答案：2

7.解：以OA为x轴.O为原点，建立平面直角坐标系，并设P的坐标为

(cosθ,sinθ)，则

｜PS｜=sinθ.直线OB的方程为y=3x，直线PQ的方程为y=sinθ.联立解之得Q(－

33sinθ；sinθ)，所以｜PQ｜=cosθ－

3333sinθ。于是SPQRS=sinθ(cosθ

3(3sin2θ－321cos2)=3(3sin2θ+1cos2θ－1)=3sin(2θ+)－3.∵0＜θ＜,∴3236222636＜2θ+＜5π.∴1＜sin(2θ+)≤1.∴sin(2θ+)=1时，PQRS面积最大，且

62666最大面积是3，此时，θ=，点P为的中点，P(3,1).

6226sinθ)=

33(

3sinθcosθ－sin2θ)=

8.解：设u=sinα+cosβ.则u2+(3)2=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u2≤1,－

2x31≤u≤1.即D=［－1,1］,设t=,∵－

M1≤x≤1,∴1≤t≤

t235.x=.当且仅当2t4,即t2时,M2.ylogM在M0时是减函数,2max0.5t8yminlog0.5251log0.52log0.58时,此时t2,2x32,x.8222x3t1122.4x102t42t4428t

[提高训练C组] 一、选择题

5已知sinsin，那么下列命题成立的是（ ）

A若,是第一象限角，则coscos B若,是第二象限角，则tantan C若,是第三象限角，则coscos D若,是第四象限角，则tantan

二、填空题

1已知角的终边与函数5x12y0,(x0)决定的函数图象重合，cos11tansin的值为_________

2若是第三象限的角，是第二象限的角，则

2是第象限的角

4如果tansin0,且0sincos1,那么的终边在第象限

5

若集合

Ax|kxk,kZ3，

Bx|2x2，则

AB=_______________________

三、解答题

1角的终边上的点P与A(a,b)关于x轴对称(a0,b0)，角的终边上的点Q与A1关于直线yx对称，求sintan值 costancossin3求1sincos61sin4cos46的值

参考答案

一、选择题

5D 画出单位圆中的三角函数线 二、填空题

1771255 在角的终边上取点P(12,5),r13,cos,tan,sin 13131213112一、或三 2k2k3,(kZ),2k22k,(k212222Z),(k1k2)42(k1k2) 24二 tansinsin0,cos0,sin0

2cosb三、解答题 1解：P(a,b),sina2b2,cosaa2b2,tanbQ(b,a),sinaaa2b2,cosba2b2,tana b3解：1sincos61(sin2cos2)(sin4sin2cos2cos4)1(13sin2cos2)3

1sin4cos41(12sin2cos2)1(12sin2cos2)26【练习】

一、选择 1、函数 的值域是（ ） A. [－1，1] B.[-2,2] C. [0,2] D.[0,1] 5、

二、填空 3、已知f（x）

＝asinx－bcosx且x＝ 为f（x）的一条对称轴，则a：b的值为. 4、若函数

一、选择题：1、选B.

答案与解析

，当x≥0时，－2≤2sinx≤2即－2≤y≤2；当

x<0时，y＝0包含于[－2，2].于是可知所求函数值域为[－2，2]，故应选B.5、选C.解析：由f(x)在区间[－ ， ]上递增及f（x）为奇函数，知f(x)在区间[－期.

应选二、填空题3、答案：a：b＝－1。解析：由题设得又x＝∴

为f（x）的一条对称轴，∴当x＝ ，

]上递增，该区间长度应小于或等于f（x）的半个周

，，

时f(x)取得最值，

即

，∴a:b=－1。4、答案：，解析：，∴由

①，，由①得：

注意到

②，再注意到

于

是由

当且仅当

得

②及