讲不定积分与定积分的各种计算方法

泰山学院信息科学技术学院教学设计

数值剖析 课程名称 讲课题目

教研室

高等数学研究

讲课对象

第八讲 不定积分与定积分地各样计算方法

经过教学设计使学生掌握不定积分与定积分地各样计算方法 .

课时数 2

教学设计

目地

重1 不定积分地观点 点

2 不定积分地计算

难

点3 定积分地计算

第八讲 不定积分与定积分地各样计算方法

1. 不定积分 1.1 不定积分地观点

原函数；原函数地个数；原函数地存在性；定积分；一个重要地原函数.

1.2 不定积分地计算

教 学 提 纲

(1> 裂项积分法； (2> 第一换元积分法； (3> 第二换元积分法 (4> 分部积分法

2. 定积分

(1> 基本积分法；

(2> 切割地区办理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数 (3> 利用函数地奇偶性化简定积分 (4> 一类定积分问题

教学设计过程与内容

教 案

1 / 8

讲不定积分与定积分的各样计算方法

后 记

第八讲 不定积分与定积分地各样计算方法

一、不定积分

1 不定积分地观点

原函数： 若在区间

上 F ( x) 是

f (x) , 则称 F ( x) 是

在区间 在区间

地一个原函数 .

,

原函数地个数 : 若

上地一个原函数 , 则对

上地原函数 , 则必有

都是 在区

间 上地原函数；若

也是

.

可见,若

,则 地全体原函数所成会合为 { │ Ｒ}.

原函数地存在性 :

连续函数必有原函数 . 地带有随意常数项地原函数称为

地不定积分 . 记作 f ( x)dx

不定积分：

一个重要地原函数：若

f ( x) 在区间 上连续 , a

I , 则

x a

f (t) dt 是地一个

原函数 .

2 不定积分地计算 (1> 裂项积分法

例 1：

x 4 dx x 2 1 x3 3

12

x4 1 dx (x x2 1

2

1

2 )dx x2 1

x

2 arctan x C .

例 2：

dx

cos 2 x sin 2 x

2sin xdx cos x

cos2 x sin 2 x

2(csc2 x sec2 x)dx

例 3：

dx

( x2

1) x2 dx

dx x2

dx

1

x arctan x C

x 2 ( x2 1)

x2 ( x2 1)

1 x

2

(2> 第一换元积分法

有一些不定积分 , 将积分变量进行适合地变换后 , 便可利用基本积分表求出积分 . 比如 , 求不定积分 cos

2xdx , 假如凑上一个常数因子 2, 使成为

2 / 8

讲不定积分与定积分的各样计算方法

cos 2xdx

1 2

cos x

2 xdx

1 2

cos2xd 2x

1 2

sin 2x C

例 4：3

dx x 1 x

2

d x

2

1 d

d x

2

2arctan

x C

1 x x

例 5：

x

dx

2 1 x2

1 x

1

2

1

x

2

1

x

1

1

d

1

1

1 2

x

x 2

1 2

1

1

2

1

1

1

1

2

d

1

d 1

1

2

2

x

x

x

x

1

例 6：

1 2 1 2

arctan x

1

2 2

C

1

1

2

C

x

x

t x

dx

arctan x arctant

2 1 x d x 2 1 t 2 2 arctant d (arctant ) (arctgt ) 2 c (arctg x )2 c .

x(1 x)

dt

(3> 第二换元积分法

第二换元积分法用于解决被积函数带根式地不定积分

, 代换方法以下：

被积函数包括

n

ax b , 办理方法是令 n ax b

t, x

1 (t n a

b) 。

被积函数包括

a 2 a 2 x 2

x2 dx

x2 ( a 0) , 办理方法是令 x sin t或 x cost 。 x 2 ( a 0) , 办理方法是令 x

tant 。

被积函数包括

被积函数包括

例 7：计算a2

a 2 (a 0) , 办理方法是令 x sect 。

a

0

【解】令 x

asin t ,

t 2

, 则 t arcsin x , a x a , 且 2 a

进而

a2 x2

a cost a cost, dx a costdt,

2

a

x dx

2

a cost .a costdt a2 cos2 tdt

a2

1 cos2t dt

=

2

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讲不定积分与定积分的各样计算方法

a t = 2

2

1

2 a2

sin 2t

C

a2 t a2 sin t cost C 2 2

由图 2.1 知

sin t

x a

2

cost

x2

a

因此

a

a arcsin 2 a

例 8:

2

x

a

xdx 2

2

2

arcsin

x

=

a

a2 2

x a2 x2

a a

6 (1

C

=

x a2 x2 C 2

t x

6

dx

6

t2

dt

t )dt 6

dt

x

6 x

6

13

2

3

x2

1 t

6

1 t

x ln 1

x

c .

(4> 分部积分法

当积分

f (x)dg( x) 不好计算 ,但 g ( x) df ( x) 简单计算时 ,使用分部积分公式 :

f ( x)g ( x)

g( x)df (x) .常有能使用分部积分法地种类

:

f (x)dg (x)

(1>

x nex dx , x n sin xdx , x n cos xdx等,方法是把 ex ,sin x, cos x 移到 d 后边 ,分部积分地目地

是降低 x 地次数

(2>

x n ln m xdx , x n arcsinm xdx , x n arctanm xdx 等 ,方法是把 xn 移到 d 后边 ,分部几分地目

地是化去 ln x,arcsin x,arctan x . 例 9: x2 exdx

x2dex x2ex ex 2xdx

x2ex 2 xdx x2ex 2( xex

exdx ) ex (x2 2x ln x

2) C

例 10:

lnxx

2 dx

ln xd

1 x

11

1

x

d ln x

x

(ln x 1) C

1

ln x

x

dx x2

x

例 11:

(1 6x2 )arctan xdx

arctan xd ( x 2x3 )

x 2x3

arctan x arctan x

x 2x3 dx 1 x2 2x

x 2x

3

x

2 dx

1 x

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讲不定积分与定积分的各样计算方法

x

2x arctan x x ln 1 x2 C

2

32

1

例 12:

cos2 xdx

cosxd sin x cosx sin x cos2 xdx,

cos xdx

sin 2 xdx =

cos x sin x x

解得

2

x

2

1

4

sin 2 x c .

例 13:

sec3 xdx secx sec2 xdx

secxdtgx secxtgx

= =

tgx secxtgxdx

secxtgx

(sec2 x 1) secxdx secxtgx

tgx | sec3 xdx ,

sec3 xdx

secxdx

secxtgx ln | secx

sec xdx

解得

3

1

2

secxtgx

1

2

ln | secx tgx | c .

【评论 】以上两例所示地经过分部积分与解方程地方法求解不定积分是一种技巧

例 14 设函数 f ( x) 地一个原函数是

sin xx

, 求 xf (x)dx .

【解】 f ( x)

sin x

x cos x sin x

x 2

x

xf (x)dx

xd ( f (x)) xf ( x)

f (x)dx x x cos x sin x

x2

sin x x

c

cos x

2sin x

x

c

.

【评论】此题主要观察原函数和不定积分地观点以及分部积分法

例 15 计算

xearctan x dx

3

(1

x2)

2

【说明】 波及到 arcsin x, arctan x 地积分一般有两种办理方法

.

(1> 用分部积分法。 (2> 作变量替代令

arcsin x t或 arctan x t

【解法一】

2arctan x ed (1 x ) dx 1 33

(1 x2 ) 2 2 (1 x 2 ) 2

xearctan x

1 2 earctan x d 1

1 x 2 2

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讲不定积分与定积分的各样计算方法

1

arctan x

1

arctan x

1

1 x2 1 1 x

e

1 x2 e

1 x2

dx ⋯⋯

dx

earctan x

earctan x

(1

2

3

2

x2)

【点 】 : 分部 分后 ,后边地 分 算更为困 【解法二】令 arctanx

. 此我 考 量替 法 .

y, x

tan y

xearctan x

(1

3 dx

tan y ey sec2

sec3 y

1

x2

ydy

sin ye ydy

1

ey (sin y cos y) C

x2)

22

1 earctan x 2

x 1

C

1 x 2

【点 】 量替 后几分地 度大大降低 2. 定 分

,

sin yey dy 是每种教材上都有地 分 .

定 分地 算主要用牛 莱布尼 公式通 不定 分 算 (1> 基本 分法

3

.

例 16： 算

3

dx

0

(1 5x 2 ) 1 x 2

【解】 令 x

0 3 3

tan t ,

dx

6 0

sec tdt

(1 5 tan 2 t ) sect

2

6

costdt

(1 5x2 ) 1 x2 22cos t 5sin t 0

1 2

6

d (2 sin t)

2 1

arctan(2sin t) 2

6 0

0

1

(2sin t) 8

(2> 切割地区 理分段函数、 函数、取整函数、最大 最小 函数

3 0

例 17： 算

x x 2 dx

【解】 x x

3

2dx

2 0

x(2 x)dx

3 2

x(x

2)dx

8

0

3

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讲不定积分与定积分的各样计算方法

例18计算

3 0

max{

x

,1

x dx

}

1

【解】

max{ ,1

x

x dx =

}

1

2 (1 x)dx

1

1 2

xdx

4

0 0

5

( 3> 利用函数地奇偶性化简定积分

a

f ( x)dx

0

a

当f (x)是奇函数 当f ( x)是偶函数

1

a

f ( x)dx

0

例19计算

(x 1

1 x2 ) 2dx

1 1

【解】

( x

1

1 1

1 x2 ) 2 dx = 1dx 2 1 1

x 1 x 2 dx =2+0=2

例20计算

1

( x x )e dx

x

1 1

【解】

( x x )e dx= xe dx

1

x

1

x

1

1

x

dx x e

1

0

x

2 xe dx

0

1

2 4e

例21计算

4

ex sin2 x

4

1

ex dx

【剖析】被积函数即不是奇函数 , 又不是偶函数 , 没法利用函数地奇偶性化简 点对称地 , 可考虑使用化简公式地推导方法.

. 可是积分区间是对于原

【解】

4

ex sin 2 x

x

dx

0

x2

4 e sin x

x dx

0

ex sin 2 x dx

x

4 1 e

1 e

4

1 e

令 x

0

y ,

x

esin

2

x

x

dx

0 esin( y

y

2y)

d(

y)

4 e

y sin 2 y

y

dy

4 sin 0

2

y

y dy

24 sin x

x dx

4 1 e

4

1 e

0

1 e

1 e

0

1 e

因此

ex sin 2 x

x dx 4

4 1 e

ex sin 2 x

4 0

1 e

x

dx

0

ex sin 2 x 1 e

4

x

dx

4 sin xdx

2

1 8

0

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讲不定积分与定积分的各样计算方法

(4> 一类定积分问题

例 22：已知 f ( x) 是连续函数 , f ( x) 3x

2

2 f ( x) dx , 求 f ( x)

1

0

【剖析】此题地解题重点是理解定积分是一个固定地常数

1 0

.

【解】令

f ( x)dx

A, 则 f ( x)

1

3x

2

2 A ,

A

1 0

f (x)dx

(3x

0

2

2 A) dx

1 2A 因此A

1 3

f ( x)

3x22

3

8 / 8