2021考研数学一历年真题及详解

2021考研数学一历年真题及详解一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上）1.函数A．B．C．D．连续且取极大值连续且取极小值可导且导数为0可导且导数不为0，在x＝0处（）。【答案】D【考点】连续和可导的定义；【解析】因为故f（x）在x＝0处连续。因为即f′（0）＝1/2，故选D项。2.设函数f（x，y）可微，且f（x＋1，ex）＝x（x＋1）2，f（x，x2）＝2x2lnx，则df（1，1）＝（）。A．dx＋dyB．dx－dyC．dyD．－dy【答案】C【考点】多元函数可微；【解析】记∂f/∂x＝f1′，记∂f/∂y＝f2′，则题给两式对x求导得将分别代入（1）（2）式有联立可得f1′（1，1）＝0，f2′（1，1）＝1，df（1，1）＝f1′（1，1）dx＋f2′（1，1）dy＝dy，故选C项。3.设函数A．B．C．D．在x＝0处的3次泰勒多项式为ax＋bx2＋cx3，则（）。a＝1，b＝0，c＝－7/6a＝1，b＝0，c＝7/6a＝－1，b＝－1，c＝－7/6a＝－1，b＝－1，c＝7/6【答案】A【考点】麦克劳林公式；【解析】根据麦克劳林公式有与题给多项式相比较，得a＝1，b＝0，c＝－7/6，故选A项。4.设函数f（x）在区间[0，1]上连续，则（）。A．B．C．D．【答案】B【考点】定积分的定义；【解析】由定积分的定义知，将（0，1）分成n份，取中间点的函数值，则故选B项。5.二次型f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3－x1）2的正惯性指数和负惯性指数依次为（）。A．2，0B．1，1C．2，1D．1，2【答案】B【考点】二次型的特征值；【解析】f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3－x1）2＝2x22＋2x1x2＋2x2x3＋2x3x1所以，故特征多项式为令上式等于0，得特征值为－1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1，选B项。→→→→→→→

6.已知→

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，记β1＝α1，β2＝α2－kβ1，β3＝α3－）。l1β1－l2β2，若β1，β2，β3两两正交，则l1，l2依次为（A．B．C．D．5/2，1/2－5/2，1/25/2，－1/2－5/2，－1/2【答案】A【考点】斯密特正交化；【解析】→

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利用斯密特正交化方法知β1＝α1，故故选A项。7.设A，B为n阶实矩阵，下列不成立的是（）。A．B．C．D．【答案】C【考点】分块矩阵的秩；【解析】A项B项，AB的列向量可由A的列线性表示，故C项，BA的列向量不一定能由A的列线性表示；D项，BA的行向量可由A的行线性表示故本题选C项。8.设A，B为随机事件，且0＜P（B）＜1，下列命题中不成立的是（—

）。A．若P（A｜B）＝P（A），则P（A｜B）＝P（A）—

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B．若P（A｜B）＞P（A），则P（A｜B）＝P（A）—

C．若P（A｜B）＞P（A｜B），则P（A｜B）＞P（A）—

D．若P（A｜A∪B）＞P（A｜A∪B），则P（A）＞P（B）【答案】D【考点】条件概率公式；【解析】由条件概率公式以及和事件的运算公式得—

因为P（A|A∪B）＞P（A|A∪B），故有P（A）＞P（B）－P（AB），故选D项。9.设（X1，Y1），（X2，Y2），…，（Xn，Yn）是来自总体N（μ1，μ2，σ12，σ22，ρ）的简单随机样本，令，则（）。^

A．θ是θ的无偏估计，^

B．θ不是θ的无偏估计，^

C．θ是θ的无偏估计，^

D．θ不是θ的无偏估计，【答案】C【考点】无偏估计；【解析】—

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因为X，Y是二维正态分布，所以X与Y也服从二维正态分布，则X－Y也服从二维正态分布，即^

则θ是θ的无偏估计。又由方差公式得故选C项。10.设X1，X2，…，X16是来自总体N（μ，4）的简单随机样本，考虑假设检验问题：H0：—

μ≤10，H1：μ＞10，Φ（x）表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W{X≥11}，其中A．B．C．D．1－Φ（0.5）1－Φ（1）1－Φ（1.5）1－Φ（2），则μ＝11.5时，该检验犯第二类错误的概率为（）。【答案】B【考点】犯第二类错误的概率；【解析】——

所求概率为P{X＜11}，X～N（11.5，4），故二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案写在答题纸指定位置上）1．【答案】π/4【考点】定积分的计算；【解析】。2．设参数y＝y（x）由参数方程【答案】2/3【考点】参数方程的导数；【解析】确定，则。由，得，将t＝0代入得。3．微分方程x2y＋xy′－4y＝0满足条件y（1）＝1，y′（1）＝2，得解为y＝。【答案】x2【考点】微分方程的解；【解析】令x＝et，则，原方程化为，特征方程为λ2－4＝0，特征根为λ1＝2，λ2＝－2，则通解为y＝C1e2t＋C2e－2t＝C1x2＋C2x－2，y′＝2C1x－2C2x－3，将初始条件y（1）＝1，y′（1）＝2代入得C1＝1，C2＝0，故满足初始条件的解为y＝x2。4．设Σ为空间区域表面的外侧，则曲面积分。【答案】4π【考点】曲面积分；【解析】由高斯公式得。由对称性得，，则。5．设A＝aij为3阶矩阵，Aij为代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且|A|＝3，A11＋A21＋A31＝。【答案】3/2【考点】代数余子式的计算；【解析】由于A的每行元素之和均为2，所以AX＝2X，其中X＝（1，1，1）T，因此λ＝2为A的特→

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征值，属于此特征值的特征向量为α＝（1，1，1）T。Aα＝2α⇒A*Aα＝2A*α⇒|A|α＝→

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2A*α⇒A*α＝（|A|/2）a，因此|A|/2＝3/2是A*的一个特征值且对应的特征向量为α＝（1，1，1）T，因此6．甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球。令X，Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数为。【答案】1/5【考点】二维离散随机变量的相关系数；【解析】X，Y的联合分布律为X的分布律为Y的分布律为根据协方差的定义式计算得Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝3/10－1/2×1/2＝1/20，又DX＝1/4，DY＝1/4，由计算得ρXY＝1/5。三、解答题（本题共6小题，共70分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.（本题满分10分）求极限。【答案】又因为将上式代入得【考点】利用泰勒展开式求极限；2.（本题满分12分）设数。，求级数的收敛域及和函【答案】，当x＞0时，e－nx收敛；，因此收敛半径R＝1/ρ＝1，收敛域为[－1，1]。综上级数的收敛域为（0，1]，将S（x）分成两部分讨论，综上，将两式求和可得【考点】级数的收敛域以及和函数；3.（本题满分12分）已知曲线C：，求C上的点到xoy坐标面距离的最大值。【答案】构建拉格朗日函数求导得Lx′＝2xλ＋4μ＝0Ly′＝4yλ＋2μ＝0Lz′＝2z－λ＋μ＝0联立曲线方程，解得驻点：（4，1，12），（－8，－2，66）。C上的点（－8，－2，66）到xoy面距离最大，为66。【考点】拉格朗日乘数法求条件极值；4.（本题满分12分）设D⊂R2是有界连通闭区域，记为D1，（1）求I（D1）的值。取得最大值的积分区域（2）计算，其中∂D1是D1的正边界。【答案】（1）由二重积分的几何意义知，当且仅当4－x2－y2在D上大于0时，I（D）达到最大，故D1：x2＋y2≤4，则。（2）补D2：x2＋4y2＝r2（r很小），取D2的方向为顺时针方向，【考点】二重积分的计算；5.（本题满分12分）已知，（1）求正交矩阵P，使得PTAP为对角矩阵；（2）求正交矩阵C，使得C2＝（a＋3）E－A。【答案】（1）由得λ1＝a＋2，λ2＝λ3＝a－1当λ1＝a＋2时，的特征向量为；当λ2＝λ3＝a－1时，令的特征向量为。则（2）故【考点】正交矩阵及相似对角化；6.（本题满分12分）在区间（0，2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X，较长的一段长度记为Y，令Z＝Y/X（1）求X的概率密度；（2）求Z的概率密度；（3）求E（X/Y）。【答案】（1）由题知：X服从（0，1）上的均匀分布，则概率密度函数为（2）由Y＝2－X，即Z＝（2－X）/X，先求Z的分布函数：。当z＜1时，Fz（z）＝0；当z≥1时，故Z的概率密度函数为。（3）【考点】多维随机变量的概率密度及期望计算；