了口SJ年第z期湖州帅专学报(自然羊荆动总第8期`微分几何蔡开仁简译,述杭州师院数学史,就其本身而言是一个十分吸引人的研究领域。在从事新的数学领域的工作时也,是很有帮助的,,为此,我们就微分几何作一简述,。这些简述不能当作微分儿何史。也不宜当作才月亏中所述的一些成果的历史;卫丁参考Str丫u因为写这样的历史至少要写一卷书〔1940〕,比较完整的历史叙ik〔1967〕或Colidge在Boyer,〔1968〕书r才也写了饶有兴味的一沂。爪数学分析发明以后,一些平面曲线的微分几何问题就得到了研究:。丁此:,我们关心的)不是这方面的历史吹拉(Le。(一个有趣的事实er一些历史学家考证了微分几何始于分析发明之前!皿h。ardEul(1707一1783)是这个学科的第一个有重要贡献的人物p),,,1736年欧拉异出了一条平面曲线的内在坐标(孤长S和代替曲率R的曲率半径从此开始了内在几常宽曲线基本何学的研究应该记得,正是欧拉首先将曲率表述为一个特殊角度的变化率。理沦的创建也应归功于他一些微分方程的解。欧拉对于曲面论也有贡献,,关于测J也线方面的一些工作尤为出色一起,和约翰(John(1667一1745))贝努里(Daniel(1700一1782),f先济测地线描述为他准_欧拉受到物理学问题的启示as1936年证明了拘。束于某个曲而卜的一个点,质量,当它不受其他力作用时必定沿着一条测地线移动par微分几何史上第二个重要人物是蒙日(GdMonge(1746一1818)他也受到一些并能反映他对实际间题的启示,“},蒙日开创了空间曲线论的研究。—就他而言是筑城学的一些问题,。在一篇写于1771年刊出于1785年的论文,,他所使用的方法是十分具有几何特色的。于偏微分方程的兴趣1807年蒙日出版了微分几何的第一本数科书,在他逝世30年时该书的,第5版问世了1827))1830))1836),,,这足够说明这本教科书的价值an蒙日之所以值得纪念拉普拉斯,不仅是因为他的首创rre性的贡献而且是由于他在教学方面取得的累累成果e幕尼埃(J(iP(JoeLaplace(174右一(1768一Meeusnier(1754一1793))(1774一1807)),,,富里叶阿姆匹霜(Simo:sephreFo盯ier,兰克雷(MiehlLaneret(A:dPo人mpssonere(1775一马勒斯(EliesnneMalus(1775一2812))彭赛列。泊松(Victeooin(2781一2540)杜潘(Charle「!Dupin(2783一1573))Poncelet(1788一1867))和罗德又克(olindeR。drig,ues(2794一2851))等都是他的学生。蒙日学派是用无穷小最进行论证的今天我们阅读他们的著作会感到很困难,尽管欧拉在暮年对干空门曲线的研究已经引进。了解析方法5年以后的蒙日教科书中并没有采用这些解析方法然而在2可以举出一个蒙日,本文节译自RSMillm为译者所加,ane著《ElntsofDiff。er。ntialCeometg》(2978),标题所列参考文献的详细索引见文附录学派的这种难懂的数学语言的一个例子gos,例如兰克雷(Lancrt)e是将首次拐度(曲率)和。二次拐度(挠率)分别定义为二条相邻法线和二个密切平面之间夹角的微分tinu而柯西(A-Cuachy<1789一1857)挠率re,这也是现在我们所采用的形式Sa—群论和极限论的奠基人之一。。,首先以有限量表示曲率和9世纪410年代的空间曲线论还很粗糙并且难以得到进展deintVene为了改善这种状况维纳(B卜,ant(1798一2856))于2846年写了一幅关于空间曲线的论文,在这篇论文中“他收集了许多历史材料并且将一些有可取之处的成果一起列入其中个术语并给出T兰克雷(L塞雷(Jo,他使用了.付法线”这aneret)定理的第一个证明)分别在2547。。弗雷内(FF,renet(2826一1868)和seph,Serret(151。一2855,2552年各自独立地导出了所谓的弗雷内一塞雷方程重视从此空间曲线论最终地统一起来了然而他们的工作当时并没有受到高度的,其一部分原因是缺少我们现在广泛使用的线代数的语言。例如他们以计算沿法线方向(Gas的直线的方向余弦的导数来代替计算法线关于孤长的导数(1824一1917))使用活动标架(triec正是达布to,nDarbouxlemlbioe)的概念第一次统一了曲线论,这方面他tan曾得到力学理论的启示工95。活动标架法已是现代的理论,e后来在嘉当(lEiCar(1896一。)1的推动下发展成为流形理论r了解活功标架法有助于我们深入理解流形理论(Ga高斯(ClFriedrieh。Gauss(1777一1855))的贡献反映在2527年他的一篇题为“曲面的一般研究面的一些差别”的著作中。此文现已译成英语,uass〔1965〕)va,如果你了解数学语言方,,就不难阅读这个译本.特别可以参考SiPk(1670vll)所著的o“如何认识高斯Stru”这一节k〔1973iP164,写道〕:高斯“成了整个学术界的导师”。这是因为高斯证明了,许多新的令人敬佩的结果知道关于“高斯造就了一个全新的研究微分几何的方法150多年以来的情。况表明这个研究方法卓有成效的一个曲面至少局部,,—地R3形成了以第一基本形式为基础的内在几何学”欧拉已经(或称高能参数表示为二个变量的函数。的事实。,但高斯强调一个曲球面映射面应以这种方式描述不应视为。中其坐标满足某个关系的一个点集事实上,斯映射)也曾为欧拉所了解比的极限,而高斯却充分地运用了它在高斯的一木著作中球面映射是被他定义的第一个概念,罗德里克很早就发现了曲面面积和球面上对应的区域面积之因此高斯只是第一个确认了这个极限的重要性并且将此极限定义为曲面上一点的曲率察力这是高斯贡献的第二个重要方面。—高斯具有对于什么是有用和重要的东西的非凡洞,可以这样说:高斯以前的几何学家总把曲面看作无穷多条曲线的构成物高斯则把曲面。本身看作一个实体一个方法是外在的方法。。为了更好地理解这句话的含义先求主方向:,,我们来考虑计算曲面曲率的两个方法,:然后计算对应曲率线的法曲率的积e欧拉基本上了解这个。第二个方法是内在的oe利用ThormaEgr“gium,(“了不起”定理)曲率的外在。和内在计算之间的对立是一个十分深刻的哲学上的对立T加or“高斯已经很好地意识到这一点,maEgreg沁m解释了这个现象,同时表现了他对于视为一个整体的曲而的兴趣。,假如一个弯曲的曲面是由另一个任意的曲面展开而成的。则该曲面每点上曲率的测度保持)不变”(于此“展开”的含义是一对一的在上的且保持距离的映射,高斯在内在几何学。的研究方面迈出了惊人的步伐然而当时内在几何学却没有完全被人们所认识由于高斯曲率对于展开曲面是不变量,高斯提出了应对高斯曲率进行研究。。事实上,一个数学家。尔交(Sopllie,Germain(2776一2531))提出应把平均曲率当作主要研究对象),(这是可—捷以理解的因为在他的弹性研究工作中经常出现平均曲率。如果说从1827年到目前的几何史渗透着向个关键的思想同研究途径的一些物理学问题的持续影响的,,那末应该是(。)l决定选择不(2)详解高斯工作的愿望。两者不是毫不相干实际上1821年到1825高斯测量了汉诺威的城界他就将这个实际工作和理论工作结合起并不想一般地讨论微分几何在物理学比ame,来了我们将仅仅举出这方面的一些最有影响的事件力学等方面的应用问题方面进行二几作阿菜洛丫叙2)),。—当时他是一个获益于微分几何的大地测量学者,与维纳一样拉梅(Gaberie(1795一1871)曾在弹性和热理论。阿姆匹雷和卡诺(LarzarauC,ant(175o3一1823))表现了电学的兴趣e“r包括(Alait(1713一1765)),,蒙日阿姆匹雷和庞加菜(H。iPoineare(1854一(Alb一,在内的许多人研究微分几何以期透切地理解偏微分方程理论杜潘的兴趣在于将微分几何应用到力学中去。马勒斯从光学(线汇)角度研究微分几何门,1915年爱因斯坦。t曰”S川“(1879一195)借助于微分几何创立了他的广义相对论Tho在一些新的领域中,橄分儿何也有许多应用Jan对于Reen。m的突变理论的非技术性的评论可参阅新闻周刊。91976。,PP54一55(实际上拓扑比几何更多一些)Zeenran〔2676〕也介绍T突变理论出关于1854年黎曼“(BernardRiemann(2826一1866))在他的二篇光华照人的演讲中再次提,曲面本身是一个重要的实体”的思想。此文的译本可见5pivak〔1970,Vol.兀〕,我们希望读者读一读它指出了黎曼确认的关于微分在本书第“4章和第6章的引言中我们讨论了一些黎曼的基本原理。空间和几何学是不同的”论断在哲学上的重要性他的关于。“二次,(现在我们称为黎曼度量)是流形概念上的附加结构,”的论断具有同样的价值。这样黎卫给出了一个测量距离的无穷小的方式并且在流形上赋予了大量的结构此领域中的贡献。为了评价黎曼在(诱导,我们应该看到一些儿何学家在R3的曲面上安放了一个黎曼度量,,度量)却没有认出这是一个外加的结构出来了。而黎曼确认黎曼度量的极湍重要性并把此概念独立黎曼的贡尽管现在出现许多更广泛的几何概念(如线性联络或纤维丛上的联络)献不会因此而减弱了854年;;到1900年期间绝大多数儿何学家拘泥于微分几何的语言方面。,不甚注意微分几何。1{身1勺份{究e:由利齐(GregorieRieei(1853一1925))和他的学生列维一开维塔(Tullio一正是依。Liv一C二iavt(1873一1941))发展起来的张量分析把这种符号化的倾向推向了顶峰,靠黎曼的抽象的空间观点和张量分析爱因斯坦创立了引力论,.,通常称之为广义相对论这个时期的一个重要的历史性事件是将群论用到微分几何中去(Felix这个统一的观念是由克菜茵一Klein(1549一1925))和索非斯李(Soph。uslie(1842一1899))引入的并且在嘉,当大最的富有创造性的论文中得到了进一步的发展拓扑学理论〔1977〕。可惜由于嘉当写作的时代袂少适当的m,以致他的许多著作十分难读。克菜茵思想的一些现代解释可参阅M1,na对于想了解更近一些时期发生的情况的读者来说篇出色的起原文献,陈省身的研究报告〔1946〕提供了一(下转第3页)从此兴起了又一个改变表示法,“={〔x“,二+l)。x〔一x,一二+l);二任R}`是E的一个矩形”覆盖,(见图).,但我们不能从林中。选一个可数子集卜拓扑空间(lRiLdne,.使卜,覆盖`E从点集拓扑的观点看拓f的,R上所有的开区间为基所成的,息)是满足第二可数公理的。,:必是所以定理一的成立是比较明显的利用在,定理二的证明中从可卜内取出E的可数子覆盖的方法`可去证明R在所有左闭右开区间的基所成的左限拓扑空间(Rl,月)。也是`,Liodelof的月)。,虽然(R`月)不满足第二,,可数公理从(R的Lindelof性再去考察定理二它的成立就比较明显了阅参考书(2〕的第3、有关这方面的进一步讨论4可参两章部分内容。参〔1〕江译坚〔2〕James、考书目吴智泉合编RM.:实变函数论;Topounkres,togyAFirstCours。-今今一一一一一,伞十(上接第36页)即摆脱利齐和列维一齐维塔的局部表示法的运动的一篇重要论文中第一次出现目前的表示形式s的不变量以及由Koz它就是我们曾在第7章略微使用过的这种新。u首先定义的线性联络的表示法l,让我们引用高斯〔1965全书的结尾吧“P45〕在1827年写下的迄今仍然真确的一段话作为这个简述和一。在1954年K.Nomiuz,,尽管几何学家十分关注地作了弯曲曲面的全面研究,并且他们所取得的成果巳经涉及。到高级几何的重要领域么说,然而,到目前为止这个课题决不是没有研究的余地了。可以这这块肥沃的土地仅仅很小的一片得到了耕耘”