2019-2020学年广西河池市高二第二学期期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|2x2﹣4x＜0}，则A∩B＝（ ） A．（1，+∞）
B．（1，4）
C．（2，+∞）
D．（1，2）
2．i（1﹣i）（1+2i）＝（ ） A．﹣1﹣3i
B．﹣1+3i
C．1﹣3i
D．1+3i
3．若a＝20.1，b＝（）﹣0.2，c＝log20.1，则（ ） A．b＞a＞c 4．直线y＝A．
B．b＞c＞a
C．a＞b＞c
D．a＞c＞b
x+1被圆x2+y2＝4截得的弦长为（ ）
B．2
C．
D．
5．将一个正六面体的骰子连掷两次，则它们的点数相同的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
6．三个学生在校园内踢足球，“砰”的一声，不知道是谁踢的球把教室窗户的玻璃打破了，老师跑过来一看，向：“是谁打破了玻璃窗户”． 甲说：“是乙打破的”． 乙说：“是丙打破的”． 丙说：“是乙打破的”．
如果这三个孩子中只有一个人说了实话，则打破玻璃窗户的是（ ） A．甲
7．sin2160°+cos220°+A．
B．乙
C．丙
D．不能确定
sin22.5°cos22.5°＝（ ） B．
C．2
D．
8．《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第二十日所织尺数为（ ） A．18
B．19
C．20
D．21
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
，
10．已知函数f（x）＝2sin（ωx﹣）（ω＞0）图象上相邻的两条对称轴间的距离为
则该函数图象的对称中心可能是（ ） A．（﹣
，0）
B．（﹣
，0）
C．（
，0）
D．（
，0）
11．函数f（x）＝的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．设AB是过抛物线y2＝4x的焦点F的一条弦（与x轴不垂直），其垂直平分线交x轴于点G，设|AB|＝m|FG|，则m＝（ ） A．
B．2
C．
D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量＝（1，16），＝（8，﹣t），且⊥，则t＝ ．
14．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值是 ．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），过双曲线的
右焦点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若四边形FMON为正方形，则双曲线C的离心率为 ．
16．如图，已知正四面体P﹣ABC的棱长为2，动点M在四面体侧面PAC上运动，并且总保持MB⊥PA，则动点M的轨迹的长度为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．A病毒是一种没有细胞结构的特殊生物．它的结构非常简单，由蛋白质外壳和内部的遗传物质组成．A病毒不能独立生存，必须生活在其他生物的细胞内．人体一旦感染病毒，可能会产生各种各样的疾病和症状，对人体健康产生危害．为了检验B药物对感染A病毒的患者的疗效，利用小白鼠做如下试验：将1000只感染A病毒的小白鼠注入相同剂量的B药物，经过一段时间后用某种科学方法测算出小白鼠已经有效吸收B药物的百分比根据试验数据，得到如下频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计小白鼠已经有效吸收B药物的百分比的平均值．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
18．如图，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B＝120°，AD＝2DC＝2． （1）求AC的长；
（2）求△ABC面积的最大值．
19．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an﹣1+n﹣2（n≥2）．
（1）证明：数列{an+n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，PA⊥底面ABCD，E为BP的中点，AB＝2，PA＝AD＝CD＝1． （1）证明：EC∥平面PAD； （2）求二面角E﹣AC﹣P的正弦值．
21．已知函数f（x）＝ax2﹣lnx﹣2，a∈R． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围． 22．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离心率为
，点A（
，
）在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）斜率存在的直线l与椭圆C相交于M、N两点，O为坐标原点，
＝
+
，若
点P在椭圆上，请判断△OMN的面积是否为定值，若为定值，请求出该定值，若不为定值，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|2x2﹣4x＜0}，则A∩B＝（ ） A．（1，+∞）
B．（1，4）
C．（2，+∞）
D．（1，2）
【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可． 解：∵B＝{x|0＜x＜2}， ∴A∩B＝（1，2）． 故选：D．
2．i（1﹣i）（1+2i）＝（ ） A．﹣1﹣3i
B．﹣1+3i
C．1﹣3i
D．1+3i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：i（1﹣i）（1+2i）＝（1+i）（1+7i）＝﹣1+3i． 故选：B．
3．若a＝20.1，b＝（）﹣0.2，c＝log20.1，则（ ） A．b＞a＞c
B．b＞c＞a
C．a＞b＞c
D．a＞c＞b
【分析】直接利用有理指数幂与对数的运算性质比较a，b，c与0和1的大小得答案． 解：∵a＝20.1＞24＝1， b＝（）﹣0.4＝20.2＞20.7， ∴b＞a＞c． 故选：A． 4．直线y＝A．
x+1被圆x2+y2＝4截得的弦长为（ ）
B．2
C．
D．
【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．
解：根据题意，圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝5， 则圆心到直线y＝故选：D．
x+1即x﹣y+1＝2的距离d＝＝，
5．将一个正六面体的骰子连掷两次，则它们的点数相同的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】基本事件总数n＝6×6＝36，它们的点数相同包含的基本事件有6个，利用列举法能求出它们的点数相同的概率． 解：将一个正六面体的骰子连掷两次， 基本事件总数n＝6×6＝36，
（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（3，5），（6，6）， 故选：C．
6．三个学生在校园内踢足球，“砰”的一声，不知道是谁踢的球把教室窗户的玻璃打破了，老师跑过来一看，向：“是谁打破了玻璃窗户”． 甲说：“是乙打破的”． 乙说：“是丙打破的”． 丙说：“是乙打破的”．
如果这三个孩子中只有一个人说了实话，则打破玻璃窗户的是（ ） A．甲
B．乙
C．丙
D．不能确定
【分析】根据三个孩子中只有一个人说了实话，逐个分析即可判断出结果． 解：①若甲说了实话，则丙也说了实话，不符合题意； ②若乙说了实话，则甲，丙都说了假话，符合题意； ③过丙说了实话，则甲也说了实话，不符合题意， 由上可知，打破玻璃的是丙， 故选：C．
7．sin2160°+cos220°+A．
sin22.5°cos22.5°＝（ ） B．
C．2
D．
【分析】利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解． 解：sin2160°+cos220°+＝sin3160°+cos220°+＝． 故选：B．
sin22.5°cos22.5° sin45°
8．《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第二十日所织尺数为（ ） A．18
B．19
C．20
D．21
【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8＝15，S7＝28，利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8＝15，S2＝28， 设公差为d，由a2+a5+a8＝15，得3a6＝15， ∴a4＝4，则d＝a5﹣a4＝1， 故选：C．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一正方体去掉一个三棱锥，结合图中数据求出它的体积．
解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是一棱长为1的正方体，去掉一三棱锥， ∴该几何体的体积是V几何体＝13﹣如图（2）所示； 故选：A．
10．已知函数f（x）＝2sin（ωx﹣
）（ω＞0）图象上相邻的两条对称轴间的距离为
，
×32×1＝；
则该函数图象的对称中心可能是（ ） A．（﹣
，0）
B．（﹣
，0）
C．（
，0）
D．（
，0）
【分析】根据条件先求出函数的周期和ω，结合三角函数的对称性求出对称中心坐标即
可．
解：∵f（x）图象上相邻的两条对称轴间的距离为∴由8x﹣
，即周期T＝π，即＝kπ，k∈Z得x＝
+
，得ω＝2， ，k∈Z，
，
故选：D． 11．函数f（x）＝
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】当x＞0时，根据导数的应用可得0＜f（x）＜1，进而排除选项ABD，即可得答案．
解：由f（﹣x）＝﹣f（x）及函数定义域关于原点对称可知函数f（x）是奇函数， 当x＞0时，f（x）＞0，排除AB选项； 令
，
，
故函数g（x）在区间（0，2）上单调递增，在区间（2，+∞）上单调递减， 故选：C．
12．设AB是过抛物线y2＝4x的焦点F的一条弦（与x轴不垂直），其垂直平分线交x轴于点G，设|AB|＝m|FG|，则m＝（ ） A．
B．2
C．
D．3
【分析】方法一：根据题意，抛物线的准线L，分别从点A、B做L的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，AB中点N，CD中点Q，连接NQ，可证NQFG为平行四边形，从
而有|AB|＝2|FG|故可求．
方法二：设直线AB的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点N（x0，y0），根据韦达定理和抛物线的定义即可求出．
解：方法一：由题意得，抛物线的准线L，分别从点A、B做L的垂线AC、BD，垂足分别为C、D．
AB中点N，CD中点Q，连接NQ， ∵∠AFC＝∠ACF，∠BFD＝∠BDF， 直角三角形CDF中，CQ＝DQ＝FQ， ∴QF⊥AB，
∴NQFG为平行四边形，NQ＝FG， |AB|＝m|FG|，
方法二：设直线AB的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点N（x0，y5）， 则y1+y2＝4t， ∴N（2t2+1，2t）， 令y＝6，解得x＝2t2+3，
又|AB|＝x1+x2+2＝2（y7+y2）+2＝4t2+2， ∴m＝2． 故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量＝（1，16），＝（8，﹣t），且⊥，则t＝ ．
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出t的值． 解：∵向量＝（1，16），＝（8，﹣t），且⊥， ∴•
＝8﹣16t＝0，求得t＝，
故答案为：．
14．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值是 10 ．
【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论． 解：作出不等式组对于的平面区域如图： 由z＝3x+2y，则y＝﹣x+， 由图象可知当直线y＝﹣x+， 在y轴上的截距最大，此时z最大， 此时zmax＝3×2+2×2＝10， 故答案为：10．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），过双曲线的
右焦点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若四边形FMON为正方形，则双曲线C的离心率为
．
【分析】判断双曲线的渐近线的夹角，然后求解离心率即可．
解：双曲线C：条渐近线的垂线，
﹣＝1（a＞4，b＞0），过双曲线的右焦点F分别作双曲线的两
垂足分别为M，N，若四边形FMON为正方形，所以双曲线的渐近线互相垂直，所以a＝b， 故答案为：
．
16．如图，已知正四面体P﹣ABC的棱长为2，动点M在四面体侧面PAC上运动，并且总保持MB⊥PA，则动点M的轨迹的长度为
．
【分析】取PA的中点E，连接EB，EC，推出PA⊥平面BCE，故点M的轨迹为线段CE，不难求解．
解：取PA的中点E，连接EB，EC，因为几何体是正四面体P﹣ABC， 所以BE⊥PA，EC⊥PA，EB∩EC＝E，
∴点M的轨迹为线段CE，正四面体P﹣ABC的棱长为2， 故答案为：
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．A病毒是一种没有细胞结构的特殊生物．它的结构非常简单，由蛋白质外壳和内部的遗传物质组成．A病毒不能独立生存，必须生活在其他生物的细胞内．人体一旦感染病毒，可能会产生各种各样的疾病和症状，对人体健康产生危害．为了检验B药物对感染A病毒的患者的疗效，利用小白鼠做如下试验：将1000只感染A病毒的小白鼠注入相同剂量的B药物，经过一段时间后用某种科学方法测算出小白鼠已经有效吸收B药物的百分比根据试验数据，得到如下频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计小白鼠已经有效吸收B药物的百分比的平均值．（同一组中的数据用该组区
间的中点值为代表）
【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出a的值．
（2）由频率分布直方图的性质能求出小白鼠已经有效吸收B药物的百分比的平均值． 解：（1）由频率分布直方图得：
20×（0.0025+a+0.0075+4.015+0.02）＝1，
（4）小白鼠已经有效吸收B药物的百分比的平均值为：
20×0.0025×10+20×0.005×30+20×0.0075×50+20×0.015×90+20×0.02×70＝66． 18．如图，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B＝120°，AD＝2DC＝2． （1）求AC的长；
（2）求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出AC的长．
（2）利用基本不等式和余弦定理的应用和三角形的面积公式的应用求出结果． 解：（1）如图所示：
所以∠D＝120°，∠B＝60°，AD＝2，DC＝1，
利用余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC•cos∠D＝4+4﹣2×（2）在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC•cos∠B， 利用AB2+BC2≥2AB•BC， 故
19．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an﹣1+n﹣2（n≥2）．
（1）证明：数列{an+n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn． 【分析】（1）通过证明
为常数来证明数列{an+n}为等比数列，再结合数列
．
，
{an+n}的首项和公比即可求出an+n，进而求出数列{an}的通项公式； （2）由（1）知
，再利用分组求和法即可求出数列{an}的前n项和Sn．
解：（1）证明：因为＝，
数列 {an+n} 是首项为 a1+2＝2，公比为2的等比数列， （2）由（1）知＝＝
， ．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，PA⊥底面ABCD，E为BP的中点，AB＝2，PA＝AD＝CD＝1． （1）证明：EC∥平面PAD；
（2）求二面角E﹣AC﹣P的正弦值．
【分析】（1）取AP的中点F，连结EF，DF，推导出四边形EFDC是平行四边形，从而EC∥FD，由此能证明EC∥平面PAD．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣P的正弦值．
解：（1）证明：如图，取AP的中点F，连结EF，DF， ∵BE＝PE，PF＝AF，∴EF∴CD
AB，∴CD
AB，
EF，∴四边形EFDC是平行四边形，
∵DF⊂平面PAD，EC⊄平面PAD，∴EC∥平面PAD．
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， ＝（0，4，1），
＝（1，1，0），
＝（1，2，0），
＝（1，0，），
则，取x＝1，得＝（1，﹣1，0），
则，取a＝1，得＝（1，﹣6，﹣2），
则cosθ＝＝＝，
∴二面角E﹣AC﹣P的正弦值为．
21．已知函数f（x）＝ax2﹣lnx﹣2，a∈R． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．
【分析】（I）求出导函数，函数的定义域，通过①当a≤0时，②当a＞0时，分别求解函数的单调区间即可．
（II）通过a≤0时，当a＞0时，利用函数的单调性结合函数的零点，列出不等式即可求解a的取值范围．
【解答】（本小题满分12分） 解：（I）
…
①当a≤0时，f′（x）＜4，f（x）在（0，+∞）上单调递减；… ②当a＞0时，令f′（x）＝0，解得当
时，f′（x）＞0；
，
（II） 当a≤0时，由（I）知f′（x）＜5，f（x）在（0，+∞）上单调递减， 当a＞0时，由（I）得，函数f（x）在当故若要使函数
所以a的取值范围是（0，e3）… 22．已知椭圆C：
内单调递减，
有两个零点；…
+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（，）在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）斜率存在的直线l与椭圆C相交于M、N两点，O为坐标原点，
＝
+
，若
点P在椭圆上，请判断△OMN的面积是否为定值，若为定值，请求出该定值，若不为定值，请说明理由． 【分析】（1）由e＝＝
，点A（
，
）在椭圆上，列式求得a，b即可；
（2）设直线l方程是y＝kx+m，根据弦长公式，即可求出四边形OMDN的面积． 解：（1）∵椭圆C：
+
＝4（a＞b＞0）的离心率为
，∴e2＝
＝，
∴a2＝2c2＝b2+c2，∴b＝c， ∵点A（
，
）在椭圆上，∴
．．
+
＝1，
故椭圆方程为：
联立，得（1+8k2）x2+4kmx+2m7﹣2＝0，
，，
∵＝+，∴，∴
整理可得：4m2＝2k2+1，
△OMN的面积S＝|MN|•d＝×
×
所以，△OMN的面积为定值
．
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