2019年新课标全国1卷理科数学

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2019年新课标全国I卷 理科数学

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合M{x4x2},N{xx2x60}，则MN=( A．{x4x3 B．{x4x2 C．{x2x2

2．设复数z满足

zi1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则( )

A．(x+1)2y21 B．

(x1)2y21 C．x2(y1)21

3．已知 alog20.2，b20.2，c0.20.3，则( ) A．abc B．acb C．cab

)

D．{x2x3

D．

x2(y+1)21 D．bca

2

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4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

5151（≈0.618，称为黄22金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是

51

．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( ) 2

A．165 cm

B．175 cm C．185 cm D．190 cm

sinxx5. 函数 f ( x )  在[,]的图像大致为( )

2cosxxA．

B．

C．

D．

3

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6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )

5A．

16

11B．

3221C．

3211D．

167．已知非零向量a，b满足a2b，且abb，则a与b的夹角为( )

πA．

6

π B．

32π C．

3

5π D．

6

18．如图是求21122的程序框图，图中空白框中应填入( )

11111A．A= B．A=2 C．A= D．A=

2A12A2AA

4

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9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S40,a55，则( )

212an3n10 C．Sn2n8n D．Snn2n A．an2n5 B． 2

10．已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，

则C的方程为( )

22xyxyxxy21 D．1 1 C．y1 B．A．

432325422222

f(x)sin|x||sin x|11．关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间(,)单调递增

2 ③f(x)在(,)有4个零点 ④f(x)的最大值为2。其中所有正确结论的编号是( )

A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

5

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12．已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E,F分别是PA,AB的中点.∠CEF=90°,则球O的体积为( )

A．86 B．46 C．26 D．6

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

0)处的切线方程为____________． 13．曲线y3(xx)e在点(0，

2x1214．记Sn为等比数列an的前n项和．若a1,aa6，则S5=____________．

34

15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，

甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．

6

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x2y216．已知双曲线C：221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，

abB两点．若F1AAB，F1BF2B0，则C的离心率为____________．

三、解答题

17．(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c设(sinBsinC)sinAsinBsinC. （1）求A；

（2）若2ab2c,求sinC.

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18．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A−MA1−N的正弦值．

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2319．（12分）已知抛物线C：y3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

2（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若AP3PB，求|AB|．

9

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20．（12分）已知函数

'f(x)sinxln(1x)， f ' ( x ) 为 f ( x ) 的导数．证明：

f (（1） x ) 在区间(1,)存在唯一极大值点；

2f (（2） x ) 有且仅有2个零点．

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21．（12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1,,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药

更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2,,7)，其中aP(X1)，bP(X0)，

cP(X1)．假设0.5，0.8．

(i)证明：{pi1pi}(i0,1,2,,7)为等比数列；

(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

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四、选做题（共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分） 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为1t2x1t2（t为参数）．以坐标原点O为极点，y4t1t2建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．

（1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值．

x轴的正半轴为极轴

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23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知 a , b , c 为正数，且满足abc1．证明：

111222（1）abc；

abc（2）(ab)

3(bc)3(ca)324．

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理科数学•参考答案

一、选择题

1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 二、填空题 13．y=3x 14．

1213 15．0.18 16．2

三、解答题

17．解：（1）由已知得sin2Bsin2Csin2AsinBsinC，故由正弦定理得b2c2a2bc．

由余弦定理得cosAb2c2a22bc12． 因为0A180，所以A60．

（2）由（1）知B120C，由题设及正弦定理得2sinAsin120C2sinC，

即

63cosC1sinC2sinC，可得cosC6022222．

由于0C120，所以sinC6022，故

．D 1214

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sinCsinC6060

sinC60cos60cosC60sin60 624．

18．解：（1）连结B1C，ME． 因为M，E分别为BB1，BC的中点， 所以ME∥B11C，且ME=2B1C．

又因为N为A=11D的中点，所以ND2A1D．

由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． （2）由已知可得DE⊥DA．

以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则

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A(2,0,0)，A1(2，0，4)，M(1,3,2)，N(1,0,2)，A1A(0,0,4)，A1M(1,3,2)，设m(x,y,z)为平面AmA1M01MA的法向量，则mA0，

1A所以x3y2z0，4z0．可取m(3,1,0)．

设n(p,q,r)为平面AMN的法向量，则nMN0，1nAN0．

1所以3q0，p2r0．可取n(2,0,1)．

A1N(1,0,2)，MN(0,3,0)．

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于是cosm,nmn2315|m‖n|255，

105所以二面角AMA1N的正弦值为

32．

19．解：设直线l:yxt,Ax1,y1,Bx2,y2．

3（1）由题设得F,0，故|AF||BF|x1x2，由题设可得x1x2．

432523yxt12(t1)229x12(t1)x4t0xx由，可得，则． 21292y3x从而12(t1)57，得t． 9283278所以l的方程为yx． （2）由AP3PB可得y13y2．

3yxt由2，可得y22y2t0．

2y3x所以y1y22．从而3y2y22，故y21,y13．

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代入C的方程得x13,x2． 故|AB|413313．

f'(x)，则g(x)cosx1，g'(x)sinx12(1x)1x20．解：（1）设g(x).

当x时，单调递减，而，可得在1,1,g'(x)g'(x)g'(0)0,g'()0有唯一零点，

222设为.

,则当x(1,)时，g'(x)0；当x时，g'(x)0.

2,1,1,所以g(x)在(1,)单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在g(x)f'(x)存在唯一极大值点.

222（2）f(x)的定义域为(1,).

（i）当x(1,0]时，由（1）知，f'(x)在(1,0)单调递增，而f'(0)0，所以当x(1,0)时，f'(x)0，故f(x)在(1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x0是f(x)在(1,0]的唯一零点.

0,,（ii）当x时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，所以存在f'(x)(0,)f'0f'(0)=0,，，222218

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使得f'()0，且当x(0,)时，f'(x)0；当x时，.故在单调递增，在,f'(x)0f(x)(0,),单调递减.

22又f(0)=0，f，所以当时，.从而， 在1ln10x0,f(x)0f(x)0,没有零点. 2222

（iii）当x时，，所以在单调递减.而，，所以在,f'(x)0f(x)f()0f(x),f0,有唯一零点. 2222（iv）当x(,)时，ln(x1)1，所以f(x)<0，从而f(x)在(,)没有零点. 综上，f(x)有且仅有2个零点. 21．解：X的所有可能取值为1,0,1.

P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)， P(X1)(1)，所以X的分布列为

（2）（i）由（1）得a0.4,b0.5,c0.1.

因此pi=0.4pi1+0.5 pi+0.1pi1，故0.1pi1pi0.4pipi1，即

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pi1pi4pipi1.

又因为p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2,,7)为公比为4，首项为p1的等比数列． （ii）由（i）可得

p8 p8p7p7p6p1p0p0 p8p7p7p6481p1p0p1 .

3由于p8=1，故p13，所以 8414411p4 p4p3p3p2p2p1p1p0p1 .

3257p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为

0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药

更有效的概率为p410.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理. 257222y21t24t2y1t221(x1). 22．解：（1）因为121，且x21，所以C的直角坐标方程为x2241t21t1tl的直角坐标方程为2x3y110.

xcos,（2）由（1）可设C的参数方程为（y2sin为参数，ππ）.

π4cos11|2cos23sin11|3C上的点到l的距离为.

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π当2π时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.

3323．解：（1）因为a2b22ab,b2c22bc,c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbccaabbccaabc1a11bc. 所以1a1b1ca2b2c2.

（2）因为a, b, c为正数且abc1，故有

(ab)3(bc)3(ca)333(ab)3(bc)3(ac)3 =3(a+b)(b+c)(a+c) 3(2ab)(2bc)(2ac)

=24.

所以(ab)3(bc)3(ca)324.