江苏省南京市2020-2021学年第一学期高二期中数学模拟试卷 含答案

二 数 学 2020.10

C．4

D．22 D．等腰直角三角形

一、单选题（本大题共8小题，每小题 4分，共32分）

1．已知P(cos,sin)，Q(cos,sin)，则|PQ|的最大值为（ ▲ ） A．2 A．直角三角形

B．2

2．若△ABC中，sin(A+B)sin(A−B)=sin2C，则此三角形的形状是（ ▲ ）

B．等腰三角形

C．等边三角形

3．设m，n是不同的直线，，，是三个不同的平面，有以下四个命题： ①若m⊥，n⊥，则m//n； ②若③若=m，=n，m//n，则//；

⊥，⊥，则//．

B．②③

C．③④

D．①④

④若//，//，m⊥，则m⊥；其中正确命题的序号是（ ▲ ） A．①③

x2y24．已知双曲线C：2−2=1（a0，b0），过C的右焦点F作垂直于渐近线的直线l交两

abAF5=，则双曲线C的离心率为渐近线于A，B两点，A，B两点分别在一、四象限，若

BF13（ ▲ ） A．

13 12B．13 3C．13 5D．13 5．已知直线x+y−a=0(a0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点，且有

|OA+OB||AB|，那么a的取值范围是（ ▲ ）

A．(2,+)

B．(2,+)

C．[2,22)

D．[2,22)

6．在菱形ABCD中，AB=4,A=60，将△ABD沿对角线BD折起使得二面角A−BD−C的大小为60°，则折叠后所得四面体ABCD的外接球的半径为（ ▲ ）

213134339 B． C． D． 33337．已知点G是ABC的重心，AG=AB+AC(,R)，若A=120，ABAC=−2，

A．则AG的最小值是（ ▲ ） A．3 32B．

2 2C．

2 3D．

3 48．过抛物线y=16x焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆与直线

x=13相切，则直线l的方程为（ ▲ ）

1

A．y=22x−82或y=−22x+82 B．y=4x−16或y=−4x+16 C．y=2x−8或y=−2x+8

D．y=x−4或y=−x+4

二、多选题（本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分） 9．已知sin=−A．tan0 C．sin22，且cos0，则（ ▲ ） 3B．tan2

49cos2

D．sin20

10．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，则下列式子正确的是（ ▲ ） A．a1+c1=a2+c2 C．c1a2a1c2

B．a1−c1=a2−c2 D．

11．如图，在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△CDE是正三角形，M为线段DE的中点，点N为底面ABCD内的动点，则下列结论正确的是（ ▲ ） A．若BC⊥DE，则平面CDE⊥平面ABCD B．若BC⊥DE，则直线EA与平面ABCD所成的角的正弦值为

c1c2 a1a26 4C．若直线BM和EN异面，则点N不可能为底面

ABCD的中心

D．若平面CDE⊥平面ABCD，且点N为底面ABCD的中心，则BM=EN

12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻

，0)，直线l：x=−2，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l觅．已知点M(1的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ▲ ） A．点P的轨迹曲线是一条线段

B．点P的轨迹与直线l'：x=−1是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点) C．y=2x+6不是“最远距离直线” D．y=1x+1是“最远距离直线” 22

三、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分）

13．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2cosAsinB=sinA+2sinC．则B= ▲ .

14．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为

7，SA与圆锥底面所成角为45°，若8SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为 ▲ ．

15．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k0且k1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有

ABC，AC=6，sinC=2sinA，则当ABC的面积最大时，它的内切圆的半径为 ▲ .

216．已知抛物线C:x=2py(p0)的焦点为F，直线l:y=kx+b(k0)与抛物线C交于A，

B两点，且AF+BF=6，线段AB的垂直平分线过点M(0,4)，则抛物线C的方程是

▲ ；若直线l过点F，则k= ▲ . 四、解答题（本大题共6 小题，共 78 分）

17．（10分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且b2+c2−a2=bc.已知 ▲ ，计算ABC的面积.请①a=7，②b=2，③sinC=2sinB这三个条件中任选两

个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可.

18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点P. （1）若点P的横坐标为

3，求cos2−sincos的值5.

（2）若将OP绕点O逆时针旋转

，得到角(即=+)，

44若tan=

1，求tan的值. 219．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P(x,y)为动点，已知点A线PA与PB的斜率之积为定值−(2,0，B−2,0，直

)()1． 2（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）若F(1,0)，过点F的直线l交轨迹E于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程．

3

20．（14分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE合而成，AD⊥AF，AE=AD=2． （Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面ABFE；

（Ⅱ）求正四棱锥P−ABCD的高h，使得二面角

BCF和一个正四棱锥P−ABCD组

C−AF−P的余弦值是

22． 321．（14分）已知点P是抛物线C1:y=4x的准线上任意一点，过点P作抛物线C1的两条切线

2PA、PB，其中A、B为切点.

（1）证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标；

x2y2（2）若直线AB交椭圆C2:+=1于C、D两点，S1、S2分别是△PAB、PCD的面

43S1积，求的最小值.

S2

22．（16分）已知圆C的圆心在直线3x−y=0上，与x轴正半轴相切，且被直线l：x−y=0截得的弦长为27. （1）求圆C的方程；

（2）设点A在圆C上运动，点B(7,6)，且点M满足AM①求的方程，并说明是什么图形；

②试探究：在直线l上是否存在定点T(异于原点O)，使得对于上任意一点P，都有数，若存在，求出所有满足条件的点T的坐标，若不存在，说明理由.

4

=2MB，记点M的轨迹为.

PO为一常PT南京市2020～2021学年度第一学期期中调研模拟卷

高二数学参考答案

1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A 7．C 8．B 9．AB 10．BC 11．ABC 12．BCD 13．

2 314．402π 15．5−1 16．x2=4y 2 217．答案不唯一，见解析 18．（1）（2）−

1513x219．（1）（2）x−y−1=0或x+y−1=0． +y2=1(y0)；

220．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）h=1．

21．（1）定点坐标为(1,0)，证明见解析；（2）

224. 32222．（1）(x−1)+(y−3)=9；（2）①(x−5)+(y−5)=1，是圆；②存在，

4949D,. 10105