昭觉县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

昭觉县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 若命题p：∃x0∈R，sinx0=1；命题q：∀x∈R，x2+1＜0，则下列结论正确的是（ ）

A．￢p为假命题 B．￢q为假命题 C．p∨q为假命题 D．p∧q真命题

2． 已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ） A．2

B．6

C．4

D．2

3． 在ABC中，若A60，B45，BC32，则AC（ ） A．43 B．23 C. 4． “1＜x＜2”是“x＜2”成立的（ ） A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5． 如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP∥BD；②EP⊥AC；③EP⊥面SAC；④EP∥面SBD中恒成立的为（ ）

3 D．3 2

A．②④ B．③④ C．①② D．①③

x2y26． 已知双曲线C：221（a0，b0），以双曲线C的一个顶点为圆心，为半径的圆

ab2a，则双曲线C的离心率为（ ） 被双曲线C截得劣弧长为362104342A． B． C． D． 55557． 全称命题：∀x∈R，x2＞0的否定是（ ） A．∀x∈R，x2≤0

B．∃x∈R，x2＞0

C．∃x∈R，x2＜0

D．∃x∈R，x2≤0

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8． 已知d为常数，p：对于任意n∈N*，an+2﹣an+1=d；q：数列 {an}是公差为d的等差数列，则￢p是￢q的（ ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9． 直角梯形OABC中,ABOC,AB1,OCBC2,直线l:xt截该梯形所得位于左边图 形面积为，则函数Sft的图像大致为（ ）

10．设f（x）=ex+x﹣4，则函数f（x）的零点所在区间为（ ） A．（﹣1，0）

B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）

11．“m=1”是“直线（m﹣2）x﹣3my﹣1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y+3=0相互垂直”的（ ）

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

12．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（ ） A．

B．

C．4

D．

二、填空题

13．在数列

中，则实数a= ，b= ．

14．递增数列{an}满足2an=an﹣1+an+1，（n∈N*，n＞1），其前n项和为Sn，a2+a8=6，a4a6=8，则S10= ． 15．自圆C：(x3)(y4)4外一点P(x,y)引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则PQ的最小值为（ ） A．

221321 B．3 C．4 D． 1010【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．

16．已知正四棱锥OABCD的体积为2，底面边长为3， 则该正四棱锥的外接球的半径为_________

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17．抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 ．

18．利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是 ．

三、解答题

19．已知（

+）n展开式中的所有二项式系数和为512，

（1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中所有项的系数之和．

20．已知函数y=3﹣4cos（2x+

），x∈[﹣

，

]，求该函数的最大值，最小值及相应的x值．

21．（14分）已知函数f(x)mxalnxm,g(x)（1）求g(x)的极值； 3分

xex1，其中m，a均为实数．

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（2）设m1,a0，若对任意的x1,x2[3,4](x1x2)，f(x2)f(x1)5分

11恒成立，求a的最小值； g(x2)g(x1)（3）设a2，若对任意给定的x0(0,e]，在区间(0,e]上总存在t1,t2(t1t2)，使得f(t1)f(t2)g(x0) 成立，求m的取值范围． 6分

22．（本小题满分12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S990，S15240． （1）求{an}的通项公式an和前n项和Sn； （2）设anbn取值范围．

23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点． （1）证明：EF∥平面PAC； （2）证明：AF⊥EF．

1，Sn为数列{bn}的前n项和，若不等式Snt对于任意的nN*恒成立，求实数t的

(n1)

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24．已知等边三角形PAB的边长为2，四边形ABCD为矩形，AD=4，平面PAB⊥平面ABCD，E，F，G分别是线段AB，CD，PD上的点．

（1）如图1，若G为线段PD的中点，BE=DF=，证明：PB∥平面EFG；

（2）如图2，若E，F分别是线段AB，CD的中点，DG=2GP，试问：矩形ABCD内（包括边界）能否找到点H，使之同时满足下面两个条件，并说明理由．

①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4； ②GH⊥PD．

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昭觉县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A 【解析】解：∴∃x0∈R，sinx0=1； ∴命题p是真命题；

22

由x+1＜0得x＜﹣1，显然不成立；

时，sinx0=1；

∴命题q是假命题；

∴￢p为假命题，￢q为真命题，p∨q为真命题，p∧q为假命题； ∴A正确． 故选A．

2

【点评】考查对正弦函数的图象的掌握，弧度数是个实数，对∀∈R满足x≥0，命题￢p，p∨q，p∧q的真假和

命题p，q真假的关系．

2． 【答案】B

2222

【解析】解：∵圆C：x+y﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）+（y﹣1）=4，

表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．

由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1）， 故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）． ∵AC=

∴切线的长|AB|=故选：B．

【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．

3． 【答案】B 【解析】

=

=2=6．

，CB=R=2，

考点：正弦定理的应用.

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4． 【答案】A

【解析】解：设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}， ∵A⊊B，

故“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件． 故选A．

【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键．

5． 【答案】 A

【解析】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN． 在①中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线， 不可能EP∥BD，因此不正确； ∴SO⊥AC．

在②中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD， ∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD， ∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点， ∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=M，

∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确． 在③中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，

若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾， 因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确． 在④中：由②可知平面EMN∥平面SBD， ∴EP∥平面SBD，因此正确． 故选：A．

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【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

6． 【答案】B

考点：双曲线的性质．

7． 【答案】D

2

【解析】解：命题：∀x∈R，x＞0的否定是：

2

∃x∈R，x≤0．

故选D．

【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．

8． 【答案】A

*

*

【解析】解：p：对于任意n∈N，an+2﹣an+1=d；q：数列 {an}是公差为d的等差数列，

则￢p：∃n∈N，an+2﹣an+1≠d；￢q：数列 {an}不是公差为d的等差数列， 由￢p⇒￢q，即an+2﹣an+1不是常数，则数列 {an}就不是等差数列，

*

若数列 {an}不是公差为d的等差数列，则不存在n∈N，使得an+2﹣an+1≠d，

即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件，

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即后者可以推不出前者， 故选：A．

【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．

9． 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意得，当0t1时，ft1t2tt2，当1t2时， 2t2,0t11ft12(t1)22t1，所以ft，结合不同段上函数的性质，可知选项C符

22t1,1t2合，故选C.

考点：分段函数的解析式与图象. 10．【答案】C

x

【解析】解：f（x）=e+x﹣4， f（﹣1）=e﹣1﹣1﹣4＜0， f（0）=e0+0﹣4＜0， f（1）=e1+1﹣4＜0， f（2）=e2+2﹣4＞0， f（3）=e3+3﹣4＞0， ∵f（1）•f（2）＜0，

∴由零点判定定理可知，函数的零点在（1，2）． 故选：C．

11．【答案】B

【解析】解：当m=0时，两条直线方程分别化为：﹣2x﹣1=0，2x﹣2y+3=0，此时两条直线不垂直，舍去；

当m=2时，两条直线方程分别化为：﹣6y﹣1=0，4x+3=0，此时两条直线相互垂直； 当m≠0，2时，两条直线相互垂直，则

×

=﹣1，解得m=1．

综上可得：两条直线相互垂直的充要条件是：m=1，2．

∴“m=1”是“直线（m﹣2）x﹣3my﹣1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y+3=0相互垂直”的充分不必要条件．

故选：B．

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【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件、充要条件的判定，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．

12．【答案】A

22

【解析】解：由题意双曲线kx﹣y=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线的斜率为，

又由于双曲线的渐近线方程为y=±故

=，∴k=，

x

∴可得a=2，b=1，c=故选：A．

，由此得双曲线的离心率为，

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．

二、填空题

13．【答案】a= a﹣b=26， a+b=15， 解得，a=故答案为：

，b=，

，b= ； ．

．

【解析】解：由5，10，17，a﹣b，37知， 由3，8，a+b，24，35知，

【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用．

14．【答案】 35 ．

【解析】解：∵2an=an﹣1+an+1，（n∈N*，n＞1）， ∴数列{an}为等差数列，

又a2+a8=6，∴2a5=6，解得：a5=3， 又a4a6=（a5﹣d）（a5+d）=9﹣d2=8， ∴d2=1，解得：d=1或d=﹣1（舍去） ∴an=a5+（n﹣5）×1=3+（n﹣5）=n﹣2． ∴a1=﹣1，

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∴S10=10a1+故答案为：35．

=35．

【点评】本题考查数列的求和，判断出数列{an}为等差数列，并求得an=2n﹣1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．

15．【答案】D 【

解

析

】

16．【答案】

11 8

【解析】因为正四棱锥OABCD的体积为2，底面边长为3，所以锥高为2，设外接球的半径为R，依轴截面的图形可知：R2(R2)2(17．【答案】 （ 1，±2

） ．

6211)R 282

【解析】解：设点P坐标为（a，a）

依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2 a2+2=

，求得a=±2

）

∴点P的坐标为（ 1，±2故答案为：（ 1，±2

）．

【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题．

18．【答案】

．

【解析】解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6=36，即（a，b）的情况有36种， 事件“a+b为偶数”包含基本事件：

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（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6）， （3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）

（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个， “在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件： （1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个， 故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P=故答案为：

【点评】本题主要考查概率的计算，以条件概率为载体，考查条件概率的计算，解题的关键是判断概率的类型，从而利用相应公式，分别求出对应的测度是解决本题的关键．

=

三、解答题

19．【答案】

+）n，所有二项式系数和为2n=512，

=C9r2r

﹣r=0，得r=3，

，

【解析】解：（1）对（解得n=9；

设Tr+1为常数项，则： Tr+1=C9r由

33

∴常数项为：C92=672； 99

（2）令x=1，得（1+2）=3．

【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题，是基础题．

20．【答案】

），

【解析】解：函数y=3﹣4cos（2x+由于x∈[﹣所以：

当x=0时，函数ymin=﹣1 当x=﹣π时，函数ymax=7

，

]，

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【点评】本题考查的知识要点：利用余弦函数的定义域求函数的值域．属于基础题型．

e(1x)21．【答案】解：（1）g(x)，令g(x)0，得x = 1．

ex列表如下：

x 1 （∞，1） （1，∞） 0 g(x)  

g（x） ↗ 极大值 ↘ （1） = 1，∴y =g(x)的极∵g大值分

（2）当m1,a0时，f(x)xalnx1，x(0,)．

1exex1(x1)xa∵f(x)，∵h(x)> 00在[3,4]恒成立，∴f(x)在[3,4]上为增函数． 设h(x)g(x)exxx2为1，无极小值． 3

在[3,4]恒成立，

∴h(x)在[3,4]上为增函数． 设x2x1，则f(x2)f(x1)于f(x2)f(x1)h(x2)h(x1)， 即f(x2)h(x2)f(x1)h(x1)．

11等价g(x2)g(x1)1ex设u(x)f(x)h(x)xalnx1，则u（x）在[3,4]为减函数．

exa1ex(x1)ex1x1∴u(x)1恒成立． ≤0在（3，4）上恒成立． ∴a≥xexex2xex1ex1(x1)1123x1x1x1设v(x)xe，∵v(x)1e=1e[()]，x[3，4]，

x24xx21133∴ex1[()2]e21，∴v(x)< 0，v(x)为减函数．

x2442∴v(x)在[3，4]上的最大值为v（3） = 3 e2．

322∴a≥3 e2，∴a的最小值为3 e2． 8分

33（3）由（1）知g(x)在(0,e]上的值域为(0,1]．

∵f(x)mx2lnxm，x(0,)，

当m0时，f(x)2lnx在(0,e]为减函数，不合题意．

2m(x)m，由题意知f(x)在(0,e]不单调， 当m0时，f(x)x22所以0e，即m．①

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此时f(x)在(0,22)上递减，在(,e)上递增， mm∴f(e)≥1，即f(e)me2m≥1，解得m≥由①②，得m≥3．② e13． e12 ∵1(0,e]，∴f()≤f(1)0成立．

m2下证存在t(0,]，使得f(t)≥1．

m2取tem，先证em，即证2emm0．③

m3设w(x)2exx，则w(x)2ex10在[,)时恒成立．

e133∴w(x)在[,)时为增函数．∴w(x)≥w()0，∴③成立．

e1e1再证f(em)≥1．

33∵f(em)memmm≥时，命题成立． 1，∴m≥e1e13综上所述，m的取值范围为[,)． 14分

e122．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查等差数列通项与前n项和、数列求和、不等式性质等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及方程思想与裂项法的应用．

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23．【答案】

【解析】（1）证明：如图， ∵点E，F分别为CD，PD的中点， ∴EF∥PC．

∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，

∴EF∥平面PAC．

（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 又ABCD是矩形，∴CD⊥AD， ∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD． ∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．

∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD． 又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC． ∵EF⊂平面PDC， ∴AF⊥EF．

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【点评】本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．

24．【答案】

【解析】（1）证明：依题意，E，F分别为线段BA、DC的三等分点， 取CF的中点为K，连结PK，BK，则GF为△DPK的中位线， ∴PK∥GF，

∵PK⊄平面EFG，∴PK∥平面EFG， ∴四边形EBKF为平行四边形，∴BK∥EF， ∵BK⊄平面EFG，∴BK∥平面EFG， ∵PK∩BK=K，∴平面EFG∥平面PKB， 又∵PB⊂平面PKB，∴PB∥平面EFG． （2）解：连结PE，则PE⊥AB，

∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB， PE⊂平面PAB，PE⊥平面ABCD， 分别以EB，EF，EP为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系， ∴P（0，0，

），D（﹣1，4，0），

），∵P（0，0，=（﹣1，4，﹣

），

）， ），

=（﹣1，4，﹣D（﹣1，4，0），∵

=

=（﹣，，﹣

），

∴G（﹣，，

设点H（x，y，0），且﹣1≤x≤1，0≤y≤4， 依题意得：

2

∴x＞16y，（﹣1≤x≤1），（i）

，

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又=（x+，y﹣，﹣

，

），

∵GH⊥PD，∴∴﹣x﹣+4y﹣

，即y=

2

，（ii）

把（ii）代入（i），得：3x﹣12x﹣44＞0， 解得x＞2+

或x＜2﹣

，

∵满足条件的点H必在矩形ABCD内，则有﹣1≤x≤1，

∴矩形ABCD内不能找到点H，使之同时满足①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4，②GH⊥PD．

【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．

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