一、选择题
1．在△ABC中，A＝π3，AB＝2，S△ABC＝3
2，那么BC的长为( )
A．7 B．7 C．3 D．3 [答案] C
[解析] ∵S△ABC＝1
2AB·AC·sinA
＝12×2×AC×32＝3
2，∴AC＝1. 那么BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA ＝22＋12－2×2×1×12＝3 ∴BC＝3，应选C．
2．锐角三角形ABC中，|AB→|＝4，|AC→|＝1，△ABC的面积为3，那么→AB·→
AC的值为( A．2 B．－2 C．4
D．－4
[答案] A
[解析] 由题意，得S△ABC＝1→→
2|AB|·|AC|·sinA
＝1
2×4×1×sinA＝3， ∴sinA＝
32，又∵A∈(0，π
2
)， ∴cosA＝1
2
. ∴→AB·→AC＝|AB→|·|→
AC|·cosA＝4×1×12
＝2. 3．在△ABC中，lga－lgb＝lgsinB＝－lg2，∠B为锐角，那么∠A的值是( ) A．30° B．45°
) C．60° D．90° [答案] A
a2
[解析] 由题意得＝sinB＝，又∵∠B为锐角，
b2asinA221
∴B＝45°，又＝＝，sinA＝sinB×＝， bsinB222∴∠A＝30°.
4．(2021·Ⅰ)锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，那么b＝( ) A．10 B．9 C．8
D．5
[答案] D
11
[解析] 由倍角公式得23cos2A＋cos2A＝25 cos2A－1＝0，cos2A＝，△ABC为锐角三角形cosA＝，由余
25512
弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2－b－13＝0，即5b2－12b－65＝0，解方程得b＝5. 55．在△ABC中，周长为7.5 cm，且sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，以下结论： ①a∶b∶c＝4∶5∶6 ②a∶b∶c＝2∶5∶6 ③a＝2 cm，b＝2.5 cm，c＝3 cm ④A∶B∶C＝4∶5∶6 其中成立的个数是( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 [答案] C
[解析] 由正弦定理知a∶b∶c＝4∶5∶6，故①对，②错，④错；结合a＋b＋c＝，知a＝2，b＝，c＝3，
∴③对，∴选C．
6．在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，△ABC的面积为3，那么
83239
B． 813263
3
D．27
a
为( ) sinA
A．C．
[答案] B
1
[解析] 由bcsinA＝3得c＝4. 2
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝13， 故a＝13.
a13239所以＝＝，选B．
sinA33
2二、填空题
1
7．(2021·文，12)在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，那么c＝________；sinA＝________.
4[答案] 2
15 8
[解析] 此题考查了余弦定理，同角根本关系式及正弦定理． 1
c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×＝4， 4∴c＝2，
115∵cosC＝，∴sinC＝， 44
1215由正弦定理得＝，∴sinA＝，
sinA815
4在△ABC中，A∈(0，π)，所以sinA>0恒成立．
8．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，那么AD的长度等于________． [答案]
2
[解析] 在△ABC中，由余弦定理得：
AC2＋BC2－AB24＋12－43cosC＝＝＝， 2·AC·BC2×2×232∴∠C＝30°.
ADAC在△ADC中由正弦定理，得：＝，
sinCsin∠ADCAD2
∴＝.故AD＝2. 1222三、解答题
9．(2021·全国大纲)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝aC． (1)求B；
3－1
，求C． 4
(2)假设sinAsinC＝
[解析] (1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－aC． a2＋c2－b21
由余弦定理cosB＝＝－，
2ac2因此B＝120°.
(2)由(1)知A＋C＝60°，所以 cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC ＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC ＝cos(A＋C)＋2sinAsinC 13－1
＝＋2× 24＝3. 2
故A－C＝30°或A－C＝－30°， 因此C＝15°或C＝45°.
π110．(2021·理，15)如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.
37(1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的长．
[解析] (1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝1
7， 所以sin∠ADC＝437
，
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B) ＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB ＝
431137×2－7×2＝33
14
. (2)在△ABD中，由正弦定理得
8×
33BD＝AB·sin∠BAD14
sin∠ADB＝43
＝3，
7在△ABC中，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB ＝82＋52－2×8×5×1
2＝49.
所以AC＝7. 一、选择题
1．锐角三角形的边长分别为1,3，a，那么a的取值范围是( A．(8,10) B．(22，10) C．(22，10) D．(10，8)
[答案] B
[解析] 假设a是最大边，那么
1＋3>a
12＋32>a2
，
∴3≤a<10.
假设3是最大边，那么
1＋a>3
12＋a2>32
，
∴3>a>8，∴22 B．(－∞，0) 11 C．(－，0) D．(，＋∞) 22[答案] D [解析] 由正弦定理知a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，又因为三角形两边之和大于第三边， k＋k＋1>2k ∴k＋1＋2k>kk＋2k>k＋1 1 ，所以k>，应选D． 2 3．在△ABC中，2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 D．正三角形 C．等腰直角三角形 [答案] B [解析] ∵2sinAcosB＝sin(A＋B)，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B． 4．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝60°，如果△ABC有两解，那么x的取值范围是( ) A．x>2 B．x<2 4343 C．2 5．(2021·Ⅰ理，16)a，b，c分别为 △ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，那么△ABC面积的最大值为________． 3 [答案] [解析] 此题考查正弦定理和三角形的面积公式以及根本不等式，由正弦定理可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即2a－2b＋ab＝b2＋c2－bc，将a＝2代入可得b2＋c2－bc＝4，所以4≥bC．当且仅当b＝c＝2时等号成立，1 所以S△ABC＝bcsinA，当角A＝60°时有最大值为3.当一个式子中出现正弦函数以及边的关系时，要注意 2运用正弦定理转化为边的关系或者正弦函数得到形式，到达化简的目的，利用根本不等式，特别要注意等号成立的条件，否那么容易出错． 6．△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，那么△ABC的面积为________． [答案] 153 [解析] 此题主要考查等差数列的概念，余弦定理的应用与三角形的面积公式． 设三角形的三边依次为a－4，a，a＋4，∴a＋4的边所对的角为120°. 由余弦定理得(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)cos120°，那么a＝10，所以三边长为6,10,14， 1 S△ABC＝×6×10×sin120°＝153. 2三、解答题 7．(2021·理，18)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7. (1)求cos∠CAD的值； 721，sin∠CBA＝，求BC的长． 146 (2)假设cos∠BAD＝－ [解析] (1)由△DAC关于∠CAD的余弦定理可得 AD2＋AC2－DC21＋7－427 cos∠CAD＝＝＝， 2AD·AC72×1×727所以cos∠CAD＝. 7 (2)因为∠BAD为四边形内角，所以sin∠BAD>0且sin∠CAD>0，那么由正余弦的关系可得 18921且sin∠CAD＝1－cos2∠CAD＝， 147 sin∠BAD＝1－cos2∠BAD＝再有正弦的和差角公式可得 sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD) ＝sin∠BADcos∠CAD－sin∠CADcos∠BAD 189272173333 ×－×(－)＝＋＝， 1477147147 ＝ 再由△ABC的正弦定理可得 ACBC ＝⇒BC＝ sin∠CBAsin∠BAC 7216 36＝. 77 × π1 8．在△ABC中，C－A＝，sinB＝. 23(1)求sinA的值； (2)设AC＝6，求△ABC的面积． π [解析] (1)由C－A＝和A＋B＋C＝π， 2ππ 得2A＝－B,0 6 . 3 BCAC ＝， sinAsinB 33 ACsinA∴BC＝＝sinB 6×13 ＝32. ππ ∵C－A＝，∴C＝＋A， 22π6∴sinC＝sin(＋A)＝cosA＝， 23 116 ∴S△ABC＝AC·BC·sinC＝×6×32×＝32. 223 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容