1995年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

1995年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题

1．已知a＝355，b＝444，c＝533，则有［ ］ A．a＜b＜c

2． 方程组A．1

B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b

xyyz63的正整数解的组数是［ ］

xzyz23 B．2 C．3 D．4

3．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是［ ］

333

A．0≤m≤1 B．m≥ C． ＜m≤1 D． ≤m≤1

444

4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 ［ ］ A．62π B．63π C．64π D．65π

5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△ABC－S△ABD｜，N＝2 S△OAB ，则［ ］

A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定

6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则［ ］ A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0

二、填空题

1．在12，22，32……，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有______个。

a3112．已知a是方程xx0的根，则5的值等于______．

aa4a3a242

3． 设x为正实数，则函数yxx

4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．

21的最小值是______． x

第二试

一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经过A、C、D三点的圆交AB于F（如图）交CB于G 求证：F为△CDE的内心

A

D

F E

C G B

x2x5的二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点为整点，试在二次函数y10109图像上找出满足y≤|x|的所有整点（x，y），并说明理由。

三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。

1995年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题

1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有

c＝(53)11＝12511＜24311＝(35)11＝a＜25611＝(44)11＝b。选C。 利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。

2．讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z＝1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组

xyy63 ① xy23直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。

3．讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为x₁＋x₂＝2＞1。三根能作为一个三角形的三边，须且只须｜x₁－x₂｜＜1又

b24ac|x1x2|44m1

|a|有0≤4－4m＜1．

3331

解得 ＜m≤1 但是作为选择题只需取m＝ 代入，得方程的根为1、、，不能组成三角

44223

形，故包括 的A、B、D均可否定，选C

4

4．讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由

AB2＋AD2＝252＋602＝52×（52＋122） ＝52×132＝(32＋42)×132＝392＋522 ＝BC2＋CD2

故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．

5．讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理由是错误的．比如有的考生取AB为直径，则M＝N＝0，于是就选B．其实，这只能排除A、C，不能排除D．

不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N． 选B．

若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有

｜CE－DF｜＝2OL．

1

两边乘以AB，可得｜S△ABC－S△DAB｜2S△OAB

2

即M＝N．选B．

6．讲解：取a＝－1、b＝2可否定A、C、D，选B．一般地，对已知不等式平方，有

｜a｜(a＋b)＞a｜a＋b｜．

a＋ba

显然｜a｜｜(a＋b)｜＞0（若等于0，则与上式矛盾），有 ＞

｜a＋b｜｜a｜a＋ba

两边都只能取1或－1，故只有1＞－1，即＝1，＝－1

｜a＋b｜｜a｜有a＜0且a＋b＞0，从而b＞－a＞0．选B．

二、填空题

1．讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力．经计算12，22，…，102，知十位数字为奇数的只有42＝16，62＝36．然后，对两位数10a＋b，有

（10a＋b）2＝20a（5a＋b)＋b2．

其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有b＝4或6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1，2，…，95中个位数出现了几次4或6，有2×9＋1＝19．

2.讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把a＝1

由已知，有a2＋a＝ ①

4

(a－1) (a2＋a＋1)(a2＋a)＋1

原式＝ ＝ ＝20

2222 a(a－1) (a＋1) (a＋a)

学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2＋a作为整体代入．这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活．比如，由①有

1

a3＋a2＝a ②

4

1

a5＋a4＝a3 ③

4由②－①，得

1

a3－a＝（a－1） ④

4

由③－②并将④代入，得

11

a5＋a4－a3－a2＝（a3－a）＝（a－1） ⑤

416于是，原式＝

a3－1

1

＝16（a2＋a＋1）＝16（＋1）＝20

4

12代入将造成复杂的计算 21

（a－1）16

1

3．讲解：这个题目是将二次函数y＝x2－x与反比例函数y＝ 作叠加，

x要求学生在掌握二次函数求最值（配方法）得基础上， 做综合性与灵活性得运用，进行两次配方

y(x1)2x1121(x1)2(x)1. xx2当x＝1时，(x1)与(x

1x)2同时取最小值0，因此y的最小值1

4．讲解：此题由笔者提供，原题是求sin∠CAB，让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值sin75°、sin15°．解法如下：

BC

如图，因AB是直径，故∠ACB＝90°，sin∠CAB＝

AB由OC2＝AC •BC得

ACOC＝ OCBC

AC • sin∠CABOCBCOC1

在ABC中，由正弦定理得sin∠AOC＝＝ • ＝＝ .

OCBCABAB2

∴∠AOC＝30°或150°

∴∠CAB＝75°或15°

第二试

一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是：在直角△ABC中，斜边BC上的高，过△ABD的内心与△ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L，△ABC和△AKL的面积分别记为S和T．求证S≥2T．

在这个题目的证明中，要用到AK ＝AL＝AD．

今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AK＝AL＝AD(斜边上的高)，再求证KL通过△

ABD、△ADC的内心（图7）．

其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连FC、FD、FE，然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后证明其中两条垂线段相等．下面是几个有代表性的证法．

证法1：如图6，连DF，则由已知，有

1

∠CDF＝∠CAB＝45°＝∠CDE ，故DF为∠CDE平分线

2连BD、CF，由CD＝CB，知∠FBD＝∠CBD－45°＝∠CDB－45°＝∠FDB，

得FB＝FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线．

由于F是△CDE上两条角平分线的交点，因而就是△CDE的内心．

证法2：同证法1，得出∠CDF＝45°＝90°－45°＝∠FDE之后，由于∠ABC＝∠FDE，故有B、E、D、F 四点共圆．连EF，在证得∠FBD＝∠FDB之后，立即有∠FED＝∠FBD＝∠FDB＝∠FEB，即EF是∠CED的平分线．

本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂． 由这个证明可知，F是△DCB的外心．

1

∠CDF＝∠CAB＝45°＝∠CDE ，故DF为∠CDE平分线，F为CDE内心

2

证法4：如图8，只证CF为∠DCE的平分线．由∠AGC＝∠GBA＋∠GAB＝45°＋∠2，

∠AGC＝∠ADC＝∠CAD＝∠CAB＋∠1

＝45°＋∠1

得∠1＝∠2．

从而∠DCF＝∠GCF，

得CF为∠DCE的平分线．

证法5：首先DF是∠CDE的平分线，故△CDE的外心I在直线DF上．

现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系，并记CA＝CB＝CD＝d,则直线AB是一次函数

y＝－x＋d ①的图象（图9）．若记内心I的坐标为（x₁，y₁），则 x₁＋y₁＝CH＋IH＝CH＋HB＝CB＝d

满足①，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点．由交点的唯一性知I就是F，从而证得F为Rt△CDE的内心．

还可延长ED交⊙O于P₁，而CP为直径来证．

二、讲解：此题的原型由笔者提供．题目是：

x2x5，请找出坐标平面上纵、横坐标均为整数的点称为格点，对二次函数y10109其位于第一象限内，纵坐标小于横坐标的格点． 这个题目的实质是解不等式 1121x+x1995x (x＋1)

1＋2＋……＋x＝ ＝1995＋y 及1≤y＜x，

2

知1＋2＋…＋(x－1)＜1995＜1＋2＋…＋x．

但1953＝1＋2＋…＋62＜1995＜1＋2＋…＋62＋63＝2016，得x＝63，从而y＝21，所求的格点为(21，63)．

经过命题组的修改之后，数据更整齐且便于直接计算．

x2－x＋18

解法1: 已知 ≤│x│，

10有x2－x＋18≤10｜x｜．

当x≥0时，有 x2－11x＋18≤0，

得2≤x≤9，代入二次函数，得合乎条件的4个整点：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);

当x＜0时，有 x2＋9x＋18≤0，

得－6≤x≤－3，代入二次函数，得合乎条件的2个整点：

(－6,6),(－3,3)．

解法2：

x2－x＋18由 y＝ 为整数，知关于模10的余数只能为2（或-8）、7（或-3）、9（或-1）

10对x≥0，取x＝2,4,7,9,12,14,… 顺次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、(9，9)，

且当x＞9时，

1114911149

由 y－x＝[ (x－)2－]＞[ (9－)2－]＝0,知y＞－x，再无满足y≤│x│的解

10241024对x＜0，取x＝－1,－3,－6,－8,…顺次代入，得(－3，3)、(－6，6)，且当x＜－6时，

199199

由 y＋x＝[ (x＋)2－]＞[ (－6＋)2－]＝0,知y＞－x，再无满足y≤｜x｜的解．

10241044

故一共有6个整点，图示略．

解法3：先找满足条件y＝｜x｜的整点，即分别解方程

x2－11x＋18＝0 ① x2＋9x＋18＝0 ②

可得(2，2)、(9，9)、(－6，6)、(－3，3)．

再找满足y＜｜x｜的整点，这时2＜x＜9或－6＜x＜－3， 依次检验得(4，3)、(7，6)．故共有6个整点．

三、讲解：直观上可以这样看，当n＞6时，在2，3，…，n－2中，必有一个数A与n互质(2≤A≤n－2)，记

B＝n－A≥2， 有n＝A＋B．

此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d＞1，则d也是n的约数，从而A与n有大于1的公约数，与A、n互质矛盾．

但是，对于初中生来说，这个A的存在性有点抽象，下面分情况，把它具体找出来． (1)当n为奇数时，有

n＝2＋(n－2)，或n＝n－1n＋1

2＋2

(2)当n为偶数，但不是4的倍数时，有

n＝n－1n＋42＋2

由n＞6知n－4n＋4n－4

2＞1，且2、2均为奇数

（n－4n＋42，2）＝（n－4

2，4）＝1

(3)当n为偶数，且又是4的倍数时，有 n＝n－2n＋22＋2

由n＞6知n－2n－2n＋22＞1，且2、2均为奇数

（n－2n＋2n－2

2，2）＝（2，2）＝1