[高中数学]立体几何.球专题讲义

☞ 双基练习

1.下列四个命题中错误的个数是 （ ） ．．

①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆 ②球面积是它大圆面积的四倍 ③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长

A.0 B.1 C.2 D.3

2.一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是

A.

100π cm3 3

B.

208π3

cm3

C.

500π3

cm3

D.

4163π3

cm 3

2

3.某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm，该地球仪的半径是_____________cm，表面积是_____________cm.

☞ 知识预备

1. 球心到截面的距离d与球半径R及截面的半径r有以下关系： ．

2. 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 ． 3. 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长

叫 ．

4. 球的表面积表面积S＝ ；球的体积V＝ ． 5. 球面距离计算公式：__________

☞ 典例剖析

（1）球面距离，截面圆问题

例1．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的么这个球的半径为 A.43

练习： 球面上有三点A、B、C，A和B及A和C之间的球面距离是大圆周长的1，B和C之间的球面距离是大圆

41，经过这3个点的小圆的周长为4π，那6

D. 3

B.23 C.2

周长的1，且球心到截面ABC的距离是21，求球的体积．

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例2. 如图，四棱锥A－BCDE中，AD底面BCDE，且AC⊥BC，AE⊥BE． (1) 求证：A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上； (2) 若CBE90,CE3,AD1,求B、D两点间的球面距离．

（2）注意体会立体空间想象能力，不要把图形想象错误

例3. 在底面边长为2的正方体容器中，放入大球，再放入一个小球，正好可以盖住盖子（小球与大球都与盖子相切）， 求小球的半径。

BAEDC

（3）经度，维度问题

例4. 把地球看作半径为R的球，A、B是北纬30°圈上的两点，它们的经度差为60° ，A、B两点间的球面距离为_____________

（4）球的外接与内切问题

例5. 求边长为1的正四面体的外接球的表面积和内切球的体积。

练习：1. 求底面边长为1，侧棱长为2的正三棱锥的外接球的体积和内切球的表面积。

2. 三棱锥O-ABC的三条侧棱两两垂直，且长度分别为3,4,4 ； 求它的外接球和内切球的半径。 小结归纳 1．常考形式有以下几种： （1） 球与截面圆的问题

（2） 球与棱柱，棱锥的结合，通常求体积，表面积； （3） 维度，经度问题。 （4）外接球与内切球问题

2．注意球面距离容易搞错，它是与大圆相关。

3. 注意空间想象力的培养，避免把图形想象错误。

立体几何-球专题训练

A组题：

1、A,B是球面上相异两点，则经过A,B可作的大圆个数为 （ ） (A)只有一个 (B)无数个 (C)两个 (D)一个或无数个 2、半径为5的球被一个平面所截，截面面积为16，则球心到截面的距离为 （ ） (A) 4 (B) 3 (C)2.5 (D) 2

2223、自半径为1的球面上一点Q，作球的三条互相垂直弦QA,QB,QC，则QAQBQC （ ）

(A) 4 (B) 2 (C) 1 (D)不能确定 4、已知地球的半径为R，在南纬的纬度圈上有A,B两点，若沿纬度圈这两点间的 距离为Rcos，则A,B两点间的球面距离为 （ ） (A) R (B) Rcos (C) R (D) R(2) 5、球的半径为R，A,B是球面上两点，且球面距离为

3R，则球心到过A,B的

所有平面的距离中，最大距离为 （ ） (A) R (B)

31R (C) R (D) 不存在 226、两个平行平面去截半径为5的球，若截面面积分别为9,16，则这两个平行平面间的距离是

（ ）

(A) 1 (B) 7 (C) 3或4 (D) 1或7

B组题：

1. 半径为R 的球“紧贴”在墙角处，则球心到墙角顶点的距离为 （ ）

A. R B. 2R C. 3R D。 2R

2. 正四面体的外接球和内切球的体积之比是___________ ， 表面积之比是___________ .

3. 三棱锥O-ABC 的三条棱OA, OB, OC 两两垂直，OA=1，OB=OC=2，则内切球表面积为______ , 外接球体积为_____________ .

4.已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为为 （ ） A.

π，则球心O到平面ABC的距离21 3 B.

3 3 C.

2 3 D.

6 3

5. 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（ ）

A.

16π 9 B.

8π 3 C.4π D.

64π 9

6. 把地球看作半径为R的球，A、B是北纬30°圈上的两点，它们的经度差为60°，A、B两点间的球面距离为_____________ .

7. 已知球面上的三点A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，求球心到平面ABC的距离.

8. 将半径为R的四个球，两两相切的放在桌面上固定，上面再放一个球，求上面一个球的球心到桌面的距离. 9. 在一个轴截面是正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，求这个铁球的半径.

10．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积（ ） A．3 B．2

C．

16 3D．以上都不对

11.在四面体ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外接球半径为（ ）

A、

33 B、3 C、 D、3 2212.已知三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=2，BC=2AD，直线AD与底面BCD所成角为，则此时三棱锥外接球的表3面积为 。 13.已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上,底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4， 则球O的表面积为= 。 14.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=

，侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为 。 15.正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为______． 16.平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD．四面体A′-BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为______。

17.已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，ABBC且PA7，PB5，PC体积。

51，AC10,求球O的

18.已知在三棱锥ABCD中，AD面ABC，BAC120，ABADAC2，求该棱锥的外接球半径。 19. 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（ ）．

A．有且只有一个 B．一个或无穷多个 C．无数个 D．以上均不正确

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