高等代数线性空间复习题

一、判断题

1、线性空间V的任意两个子空间的并都是V的子空间。（

）

2、实数域R对实数的加法和有理数与实数的乘法构成有理数域Q上的线性空间。（

）

3、有理数域Q对数的加法和乘法构成实数域R上的线性空间。（

）

）

4、不存在只含一个向量的线性空间。（

5、设V是n维线性空间，V1,V2是其子空间，若dimV1dimV2n，则V1V2V。（

）

）

6、若V1V2是直和，则1V1,2V2，1,2线性无关。（

7、设dimVn，W1,W2是向量空间V的两个维数相同的子空间，则W1W2。（

）

8、设W1，W2是V的子空间，若W1W2中每一个向量的分解式都唯一，则W1W2是直和。（二、填空题

1、P[x]n中的多项式f(x)在P[x]n的基1,(xa),,(xa)n1下的坐标为

2、P[x]n中的多项式坐标为

。

(xa)2(xa)n1

f(x)在P[x]n的基1,(xa),,,

2!(n1)!）

下的

。

13、若

VV1V2Vs

，则

VV1V2Vs

ViVjij={0},i1,,s。

4、复数域作为实数域上的线性空间，其维数是的一组基是

5、已知形如

，它

。

aba

的2级实方阵的全体按照通常的矩阵的

2b0

线性运算构成R上的线性空间V，则dimV_________，它的一组基是

。

(rn)，则解空间

6、n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r的维数是

。7、线性空间V的两个子空间V1,V2的并也是V的子空间

________。

8、若V1,V2都是V的子空间，则①V1V2；②V1V2；③V1V2；④

V1V2

；⑤

V1(V1V2)

；⑥

V1(V1V2)

；⑦。

V1(V1V2)

中

一定是V的子空间的是

三、求解题

1、在P4中，求L(1,2)L(1,2)的基与维数，其中1(1,1,0,0)，

2(1,0,1,1)，1(0,0,1,1)，2(0,1,1,0)。

2、在P4中，求L(1,2)L(1,2)的基与维数，其中

1(1,2,1,0)1(2,1,0,1)

2(1,1,1,1)，2(1,1,3,7)。

23、设1(0,1,0,1)，2(1,1,1,0)，3(1,1,1,0)，求生成子空间

L(1,2,3)的维数和一组基。

4、在P4中，求向量在基1,2,3,4下的坐标，其中(1,2,1,1)，

1(1,1,1,1)，2(1,1,1,1)，3(1,1,1,1)，4(1,1,1,1)。3x12x25x34x405、在P4中，求由齐次线性方程组3x1x23x33x40确定的

3x5x13x11x02341解空间的基与维数。

6、已知1(3,1,2)，2(1,1,1)，3(2,3,1)

与

1(1,1,1)

，

2(1,2,3)，3(2,0,1)都是R3的基，求前者到后者的过渡矩阵。

四、证明题

1、证明：任何一个线性空间都不能表示成两个非平凡子空间的并集。

2、设APnn满足A2A，V1和V2分别是齐次线性方程组AX和(EA)X0的解空间，证明：PnV1V2。

0

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