空间向量法解决立体几何问题(学生版)

空间向量法解决立体几何问题

 空间直角坐标系

（1）定义：如图，OBCDD,A,B,C,是单位正方体.以A为原点，分别以OD,OA,,OB的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。这时建立了一个空间直角坐标系O-xyz. 1）O叫做坐标原点

2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴.

3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。

（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z) 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标） （4）空间两点距离坐标公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

一、引入两个重要空间向量

1、直线的方向向量；

把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中, 由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是AB(x2x1,y2y1,z2z1)

2、平面的法向量。

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如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这 时向量n叫做平面α的法向量.

 在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?

如图,设a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a= 0且n·b= 0,则n⊥ α.  求平面的法向量的坐标的步骤:

第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).

x1xy1yz1z0第二步(列):根据n·a= 0且n·b= 0可列出方程组

xxyyzz0222第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.

第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标. 【例题讲解】

例1在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,O是面AC的中心,求平面OA1D1的法向量.



二、常见立体几何问题的类型及解法

1、判断直线、平面间的位置关系；

2

(1)直线与直线的位置关系;

不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b. ①若a∥b,即a=λb,则a∥b. ②若a⊥b,即a·b = 0,则a⊥b

(2)直线与平面的位置关系;

直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且Lα. ①若a∥n,即a=λn,则 L⊥α ②若a⊥n,即a·n = 0,则a∥α.

(3)平面与平面的位置关系;

平面α的法向量为n1 ,平面β的法向量为n2 ①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β ②若n1⊥n2,即n1·n2= 0,则α⊥β

【例题讲解】

例2已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ, 求证: CC1⊥BD

3

例3棱长都等于2的正三棱柱ABCA1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:  (I)A1E⊥平面DBC1;  (II)AB1∥平面DBC1 A1

例4正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面AED⊥面A1FD

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2、求解空间中的角度； （1）异面直线之间的夹角

利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,而是求出两条异面直线

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的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们一般仅取锐角或直角就可以.

(2)直线与与平面所成的角

若n是平面α的法向量,a是直线L的方向向量,则L与α所成的角或a,n2a,n

2

则sincosa,nanan，故arcsinanan

（3）二面角

设n1，n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大 小与法向量n1，n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐 标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免 了二面角的平面角的作图麻烦.



【例题讲解】

（1）求异面直线所成的角

例5如图在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦

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值为_____.

【练习】已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都是1，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，E、F分别为A1B1与BB1的中点，求异面直线BE与CF所成角的余弦值．

【变式】正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点． 求：异面直线AE与CF所成角的余弦值．

（2）求线面角

例6正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,高为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角

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【反思】充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角．或者先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．

【变式】如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦

（3）求二面角

例7 在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2， 求二面角A-SD-C的大小.

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【练习】在棱长为1的正方体Equation.DSMT4 C1BD与底面Equation.DSMT4 C1BDC的平面角正弦值

【反思】几何法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可。 【变式】若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝

D1 C1 A1B1

D C

OAB

【巩固提升】

1、若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．

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2、正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为 ____

3、如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BC和A1D1的中点．

D1 C1

（1）直线CA1与DE所成的角的余弦值为 ； F

A1 B1

（2）直线AD与平面B1EF所成角正弦值为 ；

C D

E

A B

4、如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处，从A、B到直线l (库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d，求库底与水坝所成二面角的余弦值.

B

C

D

A

5、已知正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=（1）求直线DF与平面ACEF所成的角 （1）求直线DF与平面ACEF所成的角

E （2）求二面角F—DB—A的大小；

（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成角是60o． M

F C B

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D

A

3、求解空间中的距离。

(1)异面直线间的距离

 两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.

 如图,设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n, 这时分别在a、b上任取A、B两点,则向量AB在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.

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 ∴dABnnABnn



即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.

（2)点到平面的距离

 A为平面α外一点(如图), n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH.

AHABsinABcosAB,nABABnnABnABn

即点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.

【例题讲解】

例8在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.

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例9 在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=2,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距离.

【会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.】 【例题讲解】

例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB= 4, ∠ABC=60°, 侧棱PA⊥底面AC且PA=4,E是PA的中点,求PC与平面PED间的距离.

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 小结：空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、行、垂直、距离等问题，其方法是不

必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题 。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。

立体几何中的向量方法（求角）

【学习目标】1、掌握用向量方法求解直线与直线、直线与平面、平面与平面夹角问题;

2、体会化归思想和类比思想.

一、导学部分 1. 异面直线成的角：过空间任意一点引两条直线分别 两条异面直线，它们所成的最小角就是异

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面直线所成的角。范围： 。 2. 线面角：斜线和它在平面内的 所成的角叫做斜线和平面所成的角，范围是 特别地，直线垂直于平面，成角 ；直线平行于平面成角 .

3. 二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线 ， 则∠AOB叫做二面角的平面角.。范围： 4.自学检测：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2； 1）直线AC与直线A1B所成角的大小 ； 2）直线A1B与平面A1B1C1D1所成角的大小为 ； B a O a’ A b θ A B C A CB1 AD1 P O A θ B θ B b’ D

二、合作探究：

（1）.异面直线所成的角ion.3 coscosCD,AB BED Equation.3  uation.3 ________ （2）直线与平面所成的角on.3 sincosn,AB quation.3 [0,] on.3 (,] 直线所成22角的求法：cosθ＝|cosφ|＝nθ＝|cosφ|＝求法：设U1、U2是二面角α—l—β的两个面α、β的法向量，则向量U1与U2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.

（3）二面角 .3 coscosU1,U2 ； n.3 coscosU1,U2

三、课堂小结

1、两条异面直线所成角的求法：cosθ＝|cosφ|＝nθ＝|cosφ|＝求法：设U1、U2是二面角α—l—β的两个面α、β的法向量，则向量U1与U2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.

2．直线与平面所成角的求法sinθ＝|cosφ|＝求法：设U1、U2是二面角α—l—β的两个面α、β的法向量，则向量

U1与U2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.

3．二面角的求法：设U1、U2是二面角α—l—β的两个面α、β的法向量，则向量U1与U2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.

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