《平行四边形》专题练习
一．填空题
1．若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为 ．
2．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=5，∠ABC=60°，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥AD，则OE= ．
3．如图，在▱ABCD中，AD=6，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF= ．
4．如图，将△ABC沿它的中位线MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A=30°，∠B=115°，则∠A′NC= °．
5．如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为R的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积为 （结果保留π）
6．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=30°，那么∠1+∠2= °．
7．已知：如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，CF平分∠BCD交AD于F，若AB=3，BC=5，则EF= ．
8．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交边CD于点E，AB=5cm，BC=3cm，则EC= cm． 9．如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运
动时间为t（s）当t= s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=220°，则∠P= °．
11．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= ．
12．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：
（1）∠DCF+∠D=90°；（2）∠AEF+∠ECF=90°；（3）S△BEC=2S△CEF；（4）若∠B=80°，则∠AEF=50°． 其中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
13．如图，▱ABCD的对角线相交于O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为 ．
14．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是 ．
15．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为 ．
16．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD= ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是 ．
18．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是 ．
二．解答题
19．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．
20．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．
（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；
（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．
21．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，
与DC的延长线相交于点H． （1）求证：△BEF≌△CEH； （2）求DE的长．
22．如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF． （1）求证：DE=CF；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=9cm．M是CD的中点，P是BC边上的一动点（P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q． （1）试说明△PCM≌△QDM．
（2）当点P在点B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．
24．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．
25．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．
（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；
（2）如果BC平分∠DBF，∠F=45°，BD=2，求AC的长．
26．如图，在▱ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E． （1）试说明CD=CE；
（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．
27．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB=1，BC=（1）求平行四边形ABCD的面积S□ABCD； （2）求对角线BD的长．
．
28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，求：
（1）当t为何值时，PQ∥CD？ （2）当t为何值时，PQ=CD？
29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B﹦90°，AB﹦8cm，AD﹦24cm，BC﹦26cm，点p从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t s． （1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（等腰梯形的两腰相等，两底角相等）
30．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB、CD于点E、F． （1）求证：OE=OF；
（2）若AB=7，BC=5，OE=2，求四边形BCFE的周长．
参考答案与试题解析
一．填空题
1．（2017•无锡一模）若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为 6 ．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，外角和等于360°列出方程求解即可．
【解答】解：设多边形的边数是n， 根据题意得，（n﹣2）•180°﹣360°=360°， 解得n=6． 故答案为：6．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．
2．（2017•新城区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=5，∠ABC=60°，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥AD，则OE= ．
【分析】作CF⊥AD于F，由平行四边形的性质得出∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，求出∠DCF=30°，由直角三角形的性质得出DF=CF=
DF=2
CD=2，求出
，证出OE是△ACF的中位线，由三角形中位线定理得出OE的长
即可．
【解答】解：作CF⊥AD于F，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC， ∴∠DCF=30°，
∴DF=CD=2， ∴CF=
DF=2
，
∵CF⊥AD，OE⊥AD，CF∥OE， ∵OA=OC，
∴OE是△ACF的中位线， ∴OE=CF=故答案为：
； ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出OE是三角形的中位线是解决问题的关键．
3．（2017春•徐州期中）如图，在▱ABCD中，AD=6，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF= 3 ．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC=AD=8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=6，
∵点E、F分别是BD、CD的中点， ∴EF=BC=×6=3． 故答案为：3．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，
注意掌握数形结合思想的应用．
4．（2017春•宜兴市期中）如图，将△ABC沿它的中位线MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A=30°，∠B=115°，则∠A′NC= 110 °．
【分析】先利用内角和定理求∠C，根据三角形的中位线定理可知MN∥BC，由平行线的性质可求∠A′NM、∠CNM，再利用角的和差关系求∠A′NC． 【解答】解：∵∠A=30°，∠B=115°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣115°=35°， ∵MN是三角形的中位线， ∴MN∥BC，
∴∠A′NM=∠C=35°，∠CNM=180°﹣∠C=180°﹣35°=145°， ∴∠A′NC=∠CNM﹣∠A′NM=145°﹣35°=110°． 故答案为：110．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
5．（2017春•宜兴市期中）如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为R的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积为 2πR2 （结果保留π）
【分析】根据多边形的内角和定理计算出六边形的内角和为720°，再根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵六个扇形的圆心角的和=（4﹣2）×180°=720°，
∴S阴影部分=故答案为：2πR2．
=2πR2．
【点评】此题主要考查了本题考查了多边形的内角和定理和扇形的面积公式，牢记公式是解答本题的关键．
6．（2017春•工业园区期中）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=30°，那么∠1+∠2= 72 °．
【分析】分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．
【解答】解：如图，
∵∠3=30°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，
∴∠4=180°﹣60°﹣30°=90°， ∴∠5+∠6=180°﹣80°=90°，
∴∠5=180°﹣∠2﹣108° ①， ∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，
∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=90°， 即∠1+∠2=72°． 故答案为：72．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．
7．（2017春•邗江区期中）已知：如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，CF平分∠BCD交AD于F，若AB=3，BC=5，则EF= 1 ．
【分析】先证明AB=AE=3，DC=DF=3，再根据EF=AE+DF﹣AD即可计算． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=3，BC=AD=5，AD∥BC，
∵BE平分∠ABC交AD于E，CF平分∠BCD交AD于F， ∴∠ABF=∠CBE=∠AEB，∠BCF=∠DCF=∠CFD， ∴AB=AE=3，DC=DF=3， ∴EF=AE+DF﹣AD=3+3﹣5=1． 故答案为1．
【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．
8．（2017春•东台市期中）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交边CD于点E，AB=5cm，BC=3cm，则EC= 2 cm．
【分析】直接利用角平分线的性质结合平行四边形的性质得出∠DAE=∠DEA，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC=5cm，BC=AD=3cm，AB∥DC，
∴∠BAE=∠DEA，
∵∠BAD的平分线AE交边CD于点E， ∴∠DAE=∠BAE， ∴∠DAE=∠DEA， ∴AD=DE=3cm，
∴EC=DC﹣DE=5﹣3=2（cm）． 故答案为：2．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行四边形的性质，正确得出∠ADE=∠DEA是解题关键．
9．（2017春•柯桥区校级期中）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t= 2或6 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm， 则CF=BC﹣BF=6﹣2t（cm）， ∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t=6﹣2t， 解得：t=2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm， 则CF=BF﹣BC=2t﹣6（cm）， ∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t=2t﹣6， 解得：t=6；
综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故答案为：2或6．
【点评】此题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．
10．（2017春•泰兴市校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=220°，则∠P= 20 °．
【分析】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC=140°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP=∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）=90°+（∠DAB+∠ABC）=160°，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可．
【解答】解：如图，∵∠D+∠C=220°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D=360°， ∴∠DAB+∠ABC=140°．
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP=∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）=90°+（∠DAB+∠ABC）=160°，
∴∠P=180°﹣（∠PAB+∠ABP）=20°． 故答案是：20．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是360°”是解题的关键．
11．（2017春•高港区校级月考）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= 540° ．
【分析】根据三角形的内角和与四边形的内角和公式得∠3+∠4+8=180°①，∠6+∠7+∠10+∠11=360°②，∠1+∠2+∠5+∠9=360°③，三式相加，再由邻补角的性质即可得出答案． 【解答】解：如图， ∵∠3+∠4+8=180°①， ∠6+∠7+∠10+∠11=360°②， ∠1+∠2+∠5+∠9=360°③，
∴①+②+③得，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠9+∠10+∠11+∠12=900°， ∵∠8+∠10=180°，∠9+∠11=180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7 =900°﹣180°﹣180° =540°．
故答案为：540°．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理以及三角形外角的性质，是基础知识要熟练掌握．
12．（2017春•建湖县校级月考）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：
（1）∠DCF+∠D=90°；（2）∠AEF+∠ECF=90°；（3）S△BEC=2S△CEF；（4）若∠B=80°，则∠AEF=50°．
其中一定成立的是 （1）（2）（4） （把所有正确结论的序号都填在横线上）
【分析】由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出（1）正确；
由ASA证明△AEF≌△DMF，得出EF=MF，∠AEF=∠M，由直角三角形斜边上的中线性质得出CF=EM=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF，得出（2）正确；
证出S△EFC=S△CFM，由MC＞BE，得出S△BEC＜2S△EFC，得出（3）错误； 由平行线的性质和互余两角的关系得出（4）正确；即可得出结论． 【解答】解：（1）∵F是AD的中点， ∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB， ∴AF=FD=CD， ∴∠DFC=∠DCF， ∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，∠BCD+∠D=180°， ∴∠DCF=∠BCF， ∴∠DCF=∠BCD， ∴∠DCF+∠D=90°， 故（1）正确；
（2）延长EF，交CD延长线于M，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠MDF， ∵F为AD中点， ∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA）， ∴EF=MF，∠AEF=∠M， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠ECD=90°， ∵FM=EF， ∴CF=EM=EF， ∴∠FEC=∠ECF，
∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°， 故（2）正确； （3）∵EF=FM， ∴S△EFC=S△CFM， ∵MC＞BE， ∴S△BEC＜2S△EFC 故（3）错误； （4）∵∠B=80°， ∴∠BCE=90°﹣80°=10°， ∵AB∥CD，
∴∠BCD=180°﹣80°=100°， ∴∠BCF=∠BCD=50°， ∴∠FEC=∠ECF=50°﹣10°=40°， ∴∠AEF=90°﹣40°=50°， 故（4）正确．
故答案为：（1）（2）（4）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的
判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明△AEF≌△DMF是解题关键．
13．（2017春•泉山区校级月考）如图，▱ABCD的对角线相交于O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为 20 ．
【分析】由平行四边形的性质得出AB=CD，BC=AD，OB=OD，再根据线段垂直平分线的性质得出BE=DE，由△CDE的周长得出BC+CD=6cm，即可求出平行四边形ABCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，BC=AD，OB=OD， ∵OE⊥BD， ∴BE=DE，
∵△CDE的周长为10，
∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10，
∴平行四边形ABCD的周长=2（BC+CD）=20； 故答案为：20．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
14．（2016秋•海宁市校级月考）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是 ．
【分析】根据直角三角形性质求出CE长，利用勾股定理即可求出AB的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB=CD， ∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB=DE=CD， 即D为CE中点， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC=90°， ∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠ABC=60°， ∴∠CEF=30°， ∵EF=3， ∴CE=∴AB=
，
． =2
，
故答案为：
【点评】本题考查了平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强．
15．（2016•武汉）如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为 36° ．
【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D=∠B=52°，
由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°， ∴∠FED′=108°﹣72°=36°； 故答案为：36°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．
16．（2016•常德）如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD= 55° ．
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD，得出∠D1AD=∠BAE=55°即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=∠C，
由折叠的性质得：∠D1AE=∠C， ∴∠D1AE=∠BAD， ∴∠D1AD=∠BAE=55°； 故答案为：55°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质；由平行四边形和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD是解决问题的关键．
17．（2016•东营）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是 4 ．
【分析】首先证明BC∥AE，当DE⊥BC时，DE最短，只要证明四边形ABDE是矩形即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ADCE是平行四边形， ∴BC∥AE，
∴当DE⊥BC时，DE最短， 此时∵∠B=90°， ∴AB⊥BC， ∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠B=90°，
∴四边形ABDE是矩形， ∴DE=AB=4， ∴DE的最小值为4． 故答案为4．
【点评】本题考查平行四边形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是找到DE的位置，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型．
18．（2016•镇江二模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是 9 ．
【分析】延长EF交BC于点H，可知EF，FH，FG、EG分别为△BDC、△ABC、△BDC和△ACD的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG，可求得答案．
【解答】解：连接AE，并延长交CD于K， ∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK，
∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．∴BE=DE，
在△AEB和△KED中，
，
∴△AEB≌△KED（AAS），
∴DK=AB，AE=EK，EF为△ACK的中位线， ∴EF=CK=（DC﹣DK）=（DC﹣AB）， ∵EG为△BCD的中位线，∴EG=BC， 又FG为△ACD的中位线，∴FG=AD， ∴EG+GF=（AD+BC），
∵两腰和是12，即AD+BC=12，两底差是6，即∴EG+GF=6，FE=3， ∴△EFG的周长是6+3=9． 故答案为：9．
DC﹣AB=6，
【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
二．解答题
19．（2017•江都区一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F． （1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用ASA即可证明．
（2）结论：CH⊥DG．利用三角形中位线定理，证明CH∥AF即可解决问题． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠B=∠ECF ∵E为BC的中点， ∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，
∴△ABE≌△FCE．
（2）结论：CH⊥DG．理由如下： ∵△ABE≌△FCE，
∴AB=CF， ∵AB=CD， ∴DC=CF，
∵H为DG的中点， ∴CH∥FG ∵DG⊥AE， ∴CH⊥DG．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（2017•大石桥市校级一模）在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG． （1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；
（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，又由∠EAB=60°，可证得△AGH是等边三角形，继而证得结论；
（2）首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，继而可得△AGH
是等腰直角三角形，则可求得答案．
【解答】（1）证明：如图①，作∠GAH=∠EAB交GE于点H． ∴∠GAB=∠HAE．
∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG， ∴∠ABG=∠AEH． 在△ABG和△AEH中，
，
∴△ABG≌△AEH（ASA）． ∴BG=EH，AG=AH． ∵∠GAH=∠EAB=60°， ∴△AGH是等边三角形． ∴AG=HG． ∴EG=AG+BG；
（2）EG=AG﹣BG．
如图②，作∠GAH=∠EAB交GE于点H． ∴∠GAB=∠HAE． ∵∠EGB=∠EAB=90°，
∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°． ∴∠ABG=∠AEH． ∵又AB=AE， ∴△ABG≌△AEH． ∴BG=EH，AG=AH． ∵∠GAH=∠EAB=90°， ∴△AGH是等腰直角三角形． ∴
AG=HG．
AG﹣BG．
∴EG=
【点评】此题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
21．（2017•南雄市校级模拟）如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H． （1）求证：△BEF≌△CEH； （2）求DE的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，由AAS证明△BEF≌△CEH即可； （2）由平行四边形的性质得出CD=AB=3，BC=AD=4，AB∥CD，由平行线的性质得出∠HCE=∠B=60°，证出EF⊥DH，由含30°角的直角三角形的性质得出CH=CE=1，求出EH=
CG=
，DH=CD+CH=4，由勾股定理求出DE即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，
∵EF⊥AB∴EF⊥CD，∴∠BFE=∠CHE=90°， ∵E是BC的中点， ∴BE=CE，
在△BEF和△CEH中，∴△BEF≌△CEH（AAS）；
，
（2）解：∵EF⊥AB，∠ABC=60°，BE=BC=AD=2． ∴BF=1，EF=
．
∵△BEF≌△CEH， ∴BF=CH=1，EF=EH=∵∠CHE=90°， ∴DE2=EH2+DH2． ∴DE=
=
．
，DH=4，
【点评】本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由含30°角的直角三角形的性质求出CG是解决问题的关键．
22．（2017•赤壁市一模）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF． （1）求证：DE=CF；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．
【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），得出四边形CEDF是平行四边形，即可得出结论；
（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC．
又∵F是AD的中点，∴FD=AD． ∵CE=BC， ∴FD=CE． 又∵FD∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形． ∴DE=CF．
（2）解：过D作DG⊥CE于点G．如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，CD=AB=4，BC=AD=6． ∴∠DCE=∠B=60°．
在Rt△CDG中，∠DGC=90°， ∴∠CDG=30°， ∴CG=CD=2． 由勾股定理，得DG=∵CE=BC=3， ∴GE=1．
在Rt△DEG中，∠DGE=90°， ∴DE=
=
．
=2
．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
23．（2017•正定县一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=9cm．M是CD的中点，P是BC边上的一动点（P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．
（1）试说明△PCM≌△QDM．
（2）当点P在点B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．
【分析】（1）要证明△PCM≌△QDM，可以根据两个三角形全等四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS中的ASA．利用∠QDM=∠PCM，DM=CM，∠DMQ=∠CMP即可得出；
（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC ∴∠QDM=∠PCM ∵M是CD的中点， ∴DM=CM， ∵∠DMQ=∠CMP， 在△PCM和△QDM中 ∵
，
∴△PCM≌△QDM（ASA）．
（2）解：当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ， ∵BC﹣CP=AD+QD， ∴9﹣CP=5+CP， ∴CP=（9﹣5）÷2=2．
∴当PC=2时，四边形ABPQ是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．
24．（2017•无锡一模）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E
为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC． （1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．
【分析】（1）根据已知和角平分线的定义证明∠ADE=∠BAD，得到DE∥AB，又AE∥BD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；
（2）设BF=x，根据勾股定理求出x的值，再根据勾股定理求出AF，根据AC=2AF得到答案
【解答】（1）证明：∵AE⊥AC，BD垂直平分AC， ∴AE∥BD， ∵∠ADE=∠BAD， ∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形； （2）解：∵DA平分∠BDE， ∴∠BAD=∠ADB， ∴AB=BD=5， 设BF=x，
则52﹣x2=62﹣（5﹣x）2， 解得，x=， ∴AF=∴AC=2AF=
． =
，
【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理以及勾股定理是解题的关键．
25．（2017•通州区一模）如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB． （1）求证：四边形DBFC是平行四边形；
（2）如果BC平分∠DBF，∠F=45°，BD=2，求AC的长．
【分析】（1）由这一天就证出BD∥CF，CD∥BF，即可得出四边形DBFC是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质得出CF=BD=
，由等腰三角形的性质得出AE=CE，作
CM⊥BF于F，则CE=CM，证出△CFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出CM=
CF=
，得出AE=CE=
，即可得出AC的长．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB． ∴BD∥CF，CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；
（2）解：∵四边形DBFC是平行四边形， ∴CF=BD=
，
∵AB=BC，AC⊥BD， ∴AE=CE， 作CM⊥BF于F， ∵BC平分∠DBF， ∴CE=CM， ∵∠F=45°，
∴△CFM是等腰直角三角形， ∴CM=∴AE=CE=
CF=，
，
∴AC=2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
26．（2017春•海州区校级期中）如图，在▱ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E．
（1）试说明CD=CE；
（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质得出和角平分线得出∠DEC=∠CDE，根据等角对等边可得CD=CE；
（2）证出BE=AB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠AEB，再由平行线的性质即可得出∠DAE=∠AEB=50°．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD∥BC， ∴∠ADE=∠DEC，
∵DE是∠ADC的平分线， ∴∠ADE=∠CDE， ∴∠DEC=∠CDE， ∴CD=CE；
（2）解：∵BE=CE，CD=CE， ∴BE=CD，
∵AB=CD， ∴BE=AB，
∴∠AEB=∠BAE=（180°﹣∠B）=50°， ∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=50°．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解题的关键．
27．（2017春•高安市期中）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB=1，BC=
．
（1）求平行四边形ABCD的面积S□ABCD； （2）求对角线BD的长．
【分析】（1）先求出AC，根据平行四边形的面积=底×高，进行计算即可． （2）在Rt△ABO中求出BO，继而可得BD的长． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC=则S□ABCD=AB×AC=2．
=2，
（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，BO=OD， ∴AO=1，
在Rt△ABO中，BO=∴BD=2
．
=
，
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分的性质．
28．（2017春•岳池县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，
AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，求： （1）当t为何值时，PQ∥CD？ （2）当t为何值时，PQ=CD？
【分析】（1）由当PQ∥CD时，四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t=3t，解此方程即可求得答案；
（2）根据PQ=CD，一种情况是：四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t=3t，一种情况是：四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC﹣PD=QC﹣EF=QF+EC=2CE，即3t=（24﹣t）+4时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案． 【解答】解：根据题意得：PA=t，CQ=3t，则PD=AD﹣PA=24﹣t， （1）∵AD∥BC，即PD∥CQ，
∴当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形， ∴PQ∥CD， 即24﹣t=3t， 解得：t=6，
即当t=6时，PQ∥CD；
（2）若要PQ=CD，分为两种情况： ①当四边形PQCD为平行四边形时， 即PD=CQ 24﹣t=3t， 解得：t=6，
②当四边形PQCD为等腰梯形时， 即CQ=PD+2（BC﹣AD） 3t=24﹣t+4
解得：t=7，
即当t=6或t=7时，PQ=CD．
【点评】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
29．（2017春•个旧市期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B﹦90°，AB﹦8cm，AD﹦24cm，BC﹦26cm，点p从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t s． （1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（等腰梯形的两腰相等，两底角相等）
【分析】（1）根据题意可得PA=t，CQ=3t，则PD=AD﹣PA=24﹣t，当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t=3t，解此方程即可求得答案； （2）过点D作DE⊥BC，则CE=BC﹣AD=2cm当CQ﹣PD=4时，四边形PQCD是等腰梯形．即3t﹣（24﹣t）=4，求出t的值即可． 【解答】解：（1）运动时间为ts． AP=t，PD=24﹣t，CQ=3t，
∵经过ts四边形PQCD平行四边形 ∴PD=CQ，即24﹣t=3t，解得t=6． 当t=6s时，四边形PQCD是平行四边形；
（2）如图，过点D作DE⊥BC，则CE=BC﹣AD=2cm
∵当CQ﹣PD=4时，四边形PQCD是等腰梯形．即3t﹣（24﹣t）=4， ∴t=7．
∴经过7s四边形PQCD是等腰梯形．
【点评】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
30．（2017春•广安月考）如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB、CD于点E、F． （1）求证：OE=OF；
（2）若AB=7，BC=5，OE=2，求四边形BCFE的周长．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，则可证得△AOE≌△COF（ASA），继而证得OE=OF；
（2）由△AOE≌△COF（ASA），可得EF=2OE=4，BE+CF=AB=7，继而求得答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，AB∥CD， ∴∠OAE=∠OCF， 在△OAE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE=OF；
（2）∵△AOE≌△COF，
∴CF=AE，OE=OF， ∵AB=7，BC=5，OE=2，
∴EF=2OE=4，BE+CF=BE+AE=AB=7，
∴四边形BCFE的周长为：EF+BE+BC+CF=4+7+5=16．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
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