一、选择题：本题共16小题，共42分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最小的是( )
A. 大于3的点数
B. 小于3的点数
C. 大于5的点数
D. 小于5的点数
2.一组数据1，𝑥，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是( )A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
3.如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是( )
A.
B.
C.
D.
4.若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2+2𝑥+1=0有两个不相等的实数根，则反比例函数𝑦=A. 第一、三象限
B. 第二、四象限
C. 第二、三象限
𝑘−3+𝑎的图象在( )𝑥D. 第一、四象限
5.若点(−1,𝑦1)，(1,𝑦2)，(2,𝑦3)在反比例函数𝑦=𝑥(𝑘<0)的图象上，则下列结论中正确的是( )A. 𝑦1>𝑦2>𝑦3B. 𝑦1>𝑦3>𝑦2C. 𝑦3>𝑦1>𝑦2D. 𝑦3>𝑦2>𝑦1第1页，共23页
6.如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为⊙𝑂的内接四边形，已知∠𝐵𝑂𝐷=100°，则∠𝐵𝐶𝐷的度数为( )A. 50°B. 80°C. 100°D. 130°
7.如图，⊙𝑂的直径𝐴𝐵垂直于弦𝐶𝐷，垂足为𝐸，∠𝐴=22.5°，𝑂𝐶=4，𝐶𝐷的长为( )
A. 22B. 4
C. 42D. 8
8.如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=78°，𝐴𝐵=4，𝐴𝐶=6.将△𝐴𝐵𝐶沿图中的线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形与原三角形相似的是( )
A. ①②B. ③④C. ①②③④D. ①②④
9.如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，以原点𝑂为位似中心，把线段𝐴𝐵放大后得到线段𝐶𝐷.若点𝐴(1,2)，𝐵(2,0)，𝐷(5,0)，则点𝐴的对应点𝐶的坐标是( )
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A. (2,5)
B. (2,5)
5C. (3,5)D. (3,6)
4510.如图，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，点𝐷在𝐴𝐶上，∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐴.若𝐴𝐶=4，cos𝐴=，则𝐵𝐷的长度为( )
A. 49B. 512C. 415D. 4
11.如图大坝的横断面，斜坡𝐴𝐵的坡比𝑖=1：2，背水坡𝐶𝐷的坡比𝑖=1：1，若坡面𝐶𝐷的长度为62米，
则斜坡𝐴𝐵的长度为( )
A. 43
B. 63
C. 65D. 24
12.如图，用一个圆心角为𝜃的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8𝜋的圆锥体，则该扇形的圆心角𝜃得大小为( )A. 90°B. 120°C. 150°D. 180°
13.如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，⊙𝑂的半径是𝑅，它的外切正六边形的边长为( )
2 3𝑅A.
3
B. 3𝑅
C. 23𝑅
D. 6𝑅
14.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和等于6的概率是( )A. 31B. 41C. 51D. 163第3页，共23页
15.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是( )A. 14
B. 11
C. 10
D. 9
16.对于题目“抛物线𝑙1：𝑦=−(𝑥−1)2+4(−1<𝑥≤2)与直线𝑙2：𝑦=𝑚(𝑚为整数)只有一个交点，确定𝑚的值”；甲的结果是𝑚=1或𝑚=2；乙的结果是𝑚=4，则( )A. 只有甲的结果正确C. 甲、乙的结果合起来才正确
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.若点𝐶是线段𝐴𝐵的黄金分割点，且𝐴𝐵=2(𝐴𝐶>𝐵𝐶)，则𝐴𝐶=__.(保留根号)18.一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4𝑚时，拱顶距离水面是2𝑚.当水面下降1𝑚后，水面宽度是______𝑚.(结果保留根号)
B. 只有乙的结果正确
D. 甲、乙的结果合起来也不正确
19.曲线𝐿在直角坐标系中的位置如图所示，曲线𝐿是由半径为2，圆心角为120°的𝑂𝐴(𝑂是坐标原点，点𝐴在𝑥轴上)绕点𝐴旋转180°，得到𝐴𝐴1；再将𝐴𝐴1绕点𝐴1旋转180°，得到𝐴1𝐴2；……依此类推，形成曲线𝐿，现有一点𝑃从𝑂点出发，以每秒𝜋个单位长度的速度，沿曲线𝐿向右运动，则点𝐴的坐标为______；在第2020𝑠时，点𝑃的坐标为______．
三、解答题：本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。20.(本小题8分)
已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(2𝑘−1)𝑥+𝑘2+𝑘−1=0有实数根．(1)求𝑘的取值范围；
2(2)若此方程的两实数根𝑥1，𝑥2满足𝑥21+𝑥2=11，求𝑘的值．
21.(本小题8分)
消防车是救援火灾的主要装备．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂𝐴𝐶(20米≤𝐴𝐶≤30米)是可伸缩的，且起重臂𝐴𝐶可绕点𝐴在一定范围内上下转动，张角∠𝐶𝐴𝐸(90°≤∠𝐶𝐴𝐸≤150°)，转动点𝐴距离地面的高度𝐴𝐸为4米．
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(1)当起重臂𝐴𝐶的长度为24米，张角∠𝐶𝐴𝐸=120°时，云梯消防车最高点𝐶距离地面的高度𝐶𝐹的长为______米．
(2)某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由(参考数据： 3≈1.7)(提示：当起重臂𝐴𝐶伸到最长且张角∠𝐶𝐴𝐸最大时，云梯顶端𝐶可以达到最大高度)22.(本小题9分)
有甲、乙、丙三张完全相同的卡片，小明在其正面各写上一个方程，如图，然后将这三张卡片背面朝上洗匀．
(1)从中随机抽取一张，求抽到方程没有实数根的概率；
(2)从中随机抽取一张，记下方程后放回，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的方程都有实数根的概率．
23.(本小题9分)
如图，点𝑃的坐标是(3,−2)，过点𝑃作𝑥轴的平行线交𝑦轴于点𝐴，交双曲线𝑦=𝑥(𝑥>0)于点𝑁，作𝑃𝑀⊥𝐴𝑁交双曲线𝑦=𝑥(𝑥>0)于点𝑀，连接𝐴𝑀.已知𝑃𝑁=4．(1)求𝑘的值；(2)求△𝐴𝑃𝑀的面积．
𝑘𝑘第5页，共23页
24.(本小题10分)
如图，𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，𝑂𝐷为⊙𝑂的半径，⊙𝑂的弦𝐶𝐷与𝐴𝐵相交于点𝐹，⊙𝑂的切线𝐶𝐸交𝐴𝐵的延长线于点𝐸，𝐸𝐹=𝐸𝐶．(1)求证：𝑂𝐷垂直平分𝐴𝐵；
(2)若⊙𝑂的半径长为3，且𝐵𝐹=𝐵𝐸，求𝑂𝐹的长．
25.(本小题12分)
某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量𝑦(千克)与每千克售价𝑥(元)满足一次函数关系𝑦=−2𝑥+160．(1)该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？(2)当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？26.(本小题12分)
如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+3𝑥+𝑐经过𝐴(−1,0)，𝐵(4,0)两点，并且与𝑦轴交于点𝐶．(1)求此抛物线的解析式；(2)直线𝐵𝐶的解析式为______；
(3)若点𝑀是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为𝑡，过点𝑀作𝑥轴的垂线交𝐵𝐶于点𝑁，设𝑀𝑁的长为ℎ，求
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ℎ与𝑡之间的函数关系式及ℎ的最大值；
(4)在𝑥轴的负半轴上是否存在点𝑃，使以𝐵，𝐶，𝑃三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，请证第7页，共23页
明；如果不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】𝐶
【解析】解：掷一枚质地均匀的立方体骰子，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，∴骰子停止后，在骰子向上的一面，有6种等可能的结果．A、点数大于3的数有4，5，6，三种情况，∴𝑃点数大于3=6=2；B、点数小于3的数有1，2，两种情况，∴𝑃点数小于3=6=3；C、点数大于5的数有6，一种情况，∴𝑃点数大于5=6；D、点数小于5的数有1，2，3，4，四种情况，∴𝑃点数小于5=6=3；∵3>2>3>6，∴点数大于5的概率最小，出现可能性最小．故选：𝐶．
根据概率公式，分别求出四个选项中各事件出现的概率，再比较即可．本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
211142121312.【答案】𝐵
【解析】解：∵一组数据1，𝑥，5，7有唯一众数，且中位数是6，∴𝑥=7，
∴平均数是(1+5+7+7)÷4=5，故选：𝐵．
根据中位数、众数、平均数的定义及公式进行计算即可求出答案．
本题考查平均数，众数，中位数，解题的关键是掌握平均数，众数，中位数的意义．
3.【答案】𝐴
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【解析】解：这个组合体的三视图如下：
故选：𝐴．
画出该组合体的三视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．
4.【答案】𝐵
【解析】解：∵一元二次方程𝑎𝑥2+2𝑥+1=0有两个不相等的实数根，∴𝛥=4−4𝑎>0且𝑎≠0，∴𝑎<1且𝑎≠0，
∴−3+𝑎<−2且−3+𝑎≠−3，∴反比例函数𝑦=故选：𝐵．
根据一元二次方程𝑎𝑥2+2𝑥+1=0有两个不相等的实数根，求出𝑎的取值范围，再根据−3+𝑎的取值范围即可判断出答案．
本题考查了根的判别式和反比例函数的图象，一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系：当𝛥>0时，方程有两个不相等的实数根；当𝛥=0时，方程有两个相等的实数根；当𝛥<0时，方程无实数根．
−3+𝑎的图象在第二、四象限．𝑥5.【答案】𝐵
【解析】解：∵𝑘<0，
∴反比例函数𝑦=(𝑘<0)的图象在二、四象限，
∴点(−1,𝑦1)在第二象限，𝑦1>0；(1,𝑦2)，(2,𝑦3)在第四象限，𝑦2<0，𝑦3<0，∵在第四象限内𝑦随𝑥的增大而增大，∴0>𝑦3>𝑦2，∴𝑦1>𝑦3>𝑦2．故选：𝐵．
先判断出反比例函数𝑦=𝑥𝑥的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特点进
𝑘𝑘𝑘𝑥第9页，共23页
行判断即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6.【答案】𝐷
【解析】解：∵∠𝐵𝑂𝐷=100°，∴∠𝐵𝐴𝐷=100°÷2=50°，∴∠𝐵𝐶𝐷=180°−∠𝐵𝐴𝐷=180°−50°=130°故选：𝐷．
首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠𝐵𝐴𝐷的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠𝐵𝐴𝐷的度数，求出∠𝐵𝐶𝐷的度数是多少即可．
此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，此题还考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
7.【答案】𝐶
【解析】解：∵直径𝐴𝐵垂直于弦𝐶𝐷，∴𝐶𝐷=2𝐶𝐸，∵𝑂𝐶=𝑂𝐴，
∴∠𝑂𝐶𝐴=∠𝐴=22.5°，∴∠𝐶𝑂𝐸=∠𝐴+∠𝑂𝐶𝐴=45°，∴△𝐶𝑂𝐸是等腰直角三角形，∴𝐶𝐸=𝑂𝐸，∵𝐶𝐸2+𝑂𝐸2=𝑂𝐶2，∴2𝐶𝐸2=42，∴𝐶𝐸=2 2，∴𝐶𝐷=2𝐶𝐸=4 2．故选：𝐶．
由勾股定理求出𝐶𝐸的长，再由垂径定理得到𝐶𝐷=2𝐶𝐸，即可解决问题．本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理求出𝐶𝐸的长．
8.【答案】𝐷
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【解析】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；②阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例(4−1)：6=(6−4)：4且夹角相等，故两三角形相似．故选：𝐷．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
9.【答案】𝐵
【解析】【分析】
此题主要考查了位似变换，坐标与图形，正确得出对应点的关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为𝑘，那么位似图形对应点的坐标的比等于𝑘或−𝑘.利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．【解答】
解：∵以原点𝑂为位似中心，把线段𝐴𝐵放大后得到线段𝐶𝐷，且𝐵(2,0)，𝐷(5,0)，∴𝑂𝐷=5，∵𝐴(1,2)，∴𝐶(,5)．故选B．
52𝑂𝐵210.【答案】𝐶
【解析】解：∵∠𝐶=90°，𝐴𝐶=4，𝑐𝑜𝑠𝐴=5，∴𝐴𝐵=𝑐𝑜𝑠𝐴=5，∴𝐵𝐶= 𝐴𝐵2−𝐴𝐶2=3，∵∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐴．
∴cos∠𝐷𝐵𝐶=𝑐𝑜𝑠𝐴=𝐵𝐷=5，∴𝐵𝐷=3×=故选：𝐶．
在△𝐴𝐵𝐶中，由三角函数求得𝐴𝐵，再由勾股定理求得𝐵𝐶，最后在△𝐵𝐶𝐷中由三角函数求得𝐵𝐷．本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．
5415，4𝐵𝐶4𝐴𝐶4第11页，共23页
11.【答案】𝐶
【解析】解：过𝐵作𝐵𝐸⊥𝐴𝐷于𝐸，过𝐶作𝐶𝐹⊥𝐴𝐷于𝐹，如图所示：
则四边形𝐵𝐸𝐹𝐶是矩形，∴𝐵𝐸=𝐶𝐹，
∵背水坡𝐶𝐷的坡比𝑖=1：1，𝐶𝐷=6 2米，∴𝐶𝐹=𝐷𝐹=
2𝐶𝐷=6(米)，2∴𝐵𝐸=𝐶𝐹=6米，
又∵斜坡𝐴𝐵的坡比𝑖=1：2=∴𝐴𝐸=2𝐵𝐸=12(米)，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸2+𝐵𝐸2= 122+62=6 5(米)，故选：𝐶．
过𝐵作𝐵𝐸⊥𝐴𝐷于𝐸，过𝐶作𝐶𝐹⊥𝐴𝐷于𝐹，则四边形𝐵𝐸𝐹𝐶是矩形，得𝐵𝐸=𝐶𝐹，由坡比得𝐵𝐸=𝐶𝐹=𝐷𝐹=
𝐵𝐸，𝐴𝐸2𝐶𝐷=6(米)，𝐴𝐸=2𝐵𝐸=12(米)，再由勾股定理解答即可．2本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握坡比的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
12.【答案】𝐷
【解析】解：设圆锥的母线长为𝑙，∴
𝜃⋅𝜋⋅𝑙180=2×𝜋×2，
∴𝑙=𝜃，∵𝜋×2×𝑙=8𝜋，∴
720°×2𝜋𝜃720°=8𝜋，
∴𝜃=180°，故选：𝐷．
根据圆锥侧面积计算公式进行求解即可．
本题主要考查了求圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数，熟知圆锥侧面积公式和弧长公式是解题的关键．
13.【答案】𝐴
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【解析】解：如图，∠𝐴𝑂𝐷=360°÷12=30°，
所以，𝐴𝐷=𝑂𝐷⋅𝑡𝑎𝑛30°=
3𝑅，3 3所以，外切六边形的边长𝐴𝐵=2𝐴𝐷=2𝑅.
3故选：𝐴．
求出∠𝐴𝑂𝐷=30°，然后解直角三角形求出𝐴𝐷，再根据边长𝐴𝐵=2𝐴𝐷计算即可得解．
本题考查了正多边形和圆，主要利用了解直角三角形，熟记正多边形的性质并求出切点与相邻的顶点所对的圆心角的度数是解题的关键．
14.【答案】𝐷
【解析】解：列表如下：
1
1234
(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)
2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)
3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)
4(1,4)(2,4)(3,4) (4,4)
共有16种等可能的结果，其中两次摸出的小球的标号之和等于6的结果有：(2,4)，(3,3)，(4,2)，共3种，∴两次摸出的小球的标号之和等于6的概率为16．故选：𝐷．
列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的小球的标号之和等于6的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
315.【答案】𝐵
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了𝑥个人，依题意得1+𝑥+𝑥(1+𝑥)=144，即(1+𝑥)2=144，
解方程得𝑥1=11，𝑥2=−13(舍去)，故选：𝐵．
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患流行性感冒的人传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了𝑥个人，则第一轮传染了𝑥个人，第二轮作为传染源的是(𝑥+1)人，则传染𝑥(𝑥+1)人，依题意列方程：1+𝑥+𝑥(1+𝑥)=144，解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流行性感冒的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
16.【答案】𝐶
【解析】解：由抛物线𝑙1：𝑦=−(𝑥−1)2+4(−1<𝑥≤2)可知抛物线开口向下，对称轴为直线𝑥=1，顶点为(1,4)，如图所示：
∵𝑚为整数，
由图象可知，当𝑚=1或𝑚=2或𝑚=4时，抛物线𝑙1：𝑦=−(𝑥−1)2+4(−1<𝑥≤2)与直线𝑙2：𝑦=𝑚(𝑚为整数)只有一个交点，
∴甲、乙的结果合在一起正确，故选：𝐶．
画出抛物线𝑙1：𝑦=−(𝑥−1)2+4(−1<𝑥≤2)的图象，根据图象即可判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，作出函数的图象是解题的关键．
17.【答案】 5−1
【解析】解：∵点𝐶是线段𝐴𝐵的黄金分割点，且𝐴𝐵=2(𝐴𝐶>𝐵𝐶)，∴𝐴𝐶=
5−1𝐴𝐵=2 5−1×2=
25−1，
故答案为：5−1．
把线段𝐴𝐵分成两条线段𝐴𝐶和𝐵𝐶(𝐴𝐶>𝐵𝐶)，且使𝐴𝐶是𝐴𝐵和𝐵𝐶的比例中项，叫做把线段𝐴𝐵黄金分割，点𝐶叫做线段𝐴𝐵的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到𝐴𝐶=
5−1𝐴𝐵，然后把𝐴𝐵的长代入计算即可．2本题考查了黄金分割：把线段𝐴𝐵分成两条线段𝐴𝐶和𝐵𝐶(𝐴𝐶>𝐵𝐶)，且使𝐴𝐶是𝐴𝐵和𝐵𝐶的比例中项(即𝐴𝐵：
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𝐴𝐶=𝐴𝐶：𝐵𝐶)，叫做把线段𝐴𝐵黄金分割，点𝐶叫做线段𝐴𝐵的黄金分割点．特别要注意线段𝐴𝐵的黄金分割点有两个．
18.【答案】2 6 【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示，设该抛物线的解析式为𝑦=𝑎𝑥2，由题意可知：点(2,−2)在该函数图象上，∴−2=𝑎×22，解得𝑎=−，∴该抛物线的解析式为𝑦=−𝑥2，
2当𝑦=−3时，−3=−𝑥2，
2解得𝑥1=− 6，𝑥2= 6，
∴当水面下降1𝑚后，水面宽度是： 6−(− 6)= 6+ 6=2 6(𝑚)，故答案为：2 6．
根据题意，建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将𝑦=−3代入函数解析式，求出𝑥的值，然后即可求得水面下降1𝑚后，水面宽度．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
111219.【答案】(2 3,0) (3030 3,0)
【解析】解：如图，设𝑂𝐴的圆心为𝐽，过点𝐽作𝐽𝐾⊥𝑂𝐴于𝐾．
由题意𝐽𝑂=𝐽𝐴=2，∠𝐴𝐽𝑂=120°，∵𝐽𝐾⊥𝑂𝐴，
∴𝑂𝐾=𝐾𝐴，∠𝑂𝐽𝐾=∠𝐴𝐽𝐾=60°，∴𝐾𝑂=𝐾𝐴=𝑂𝐽⋅𝑠𝑖𝑛60°= 3，∴𝑂𝐴=2 3，∴𝐴(2 3,0)，
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∵𝑂𝐴的长=
120⋅𝜋⋅21804=3𝜋，点𝑃的运动路径=2020𝜋，
4又∵2020𝜋÷𝜋=1515，
3∴点𝑃在𝑥轴上，𝑂𝑃的长=1515×2 3=3030 3，∴此时𝑃(3030 3,0)．
故答案为(2 3,0)，(3030 3,0)．
如图，设𝑂𝐴的圆心为𝐽，过点𝐽作𝐽𝐾⊥𝑂𝐴于𝐾.解直角三角形求出𝑂𝐴的长，即可得到点𝐴坐标，再求出点𝑃的运动路径，判断出点𝑃的位置，求出𝑂𝑃可得结论．
本题考查弧长公式，规律型问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(2𝑘−1)𝑥+𝑘2+𝑘−1=0有实数根，
∴𝛥≥0，即[−(2𝑘−1)]2−4×1×(𝑘2+𝑘−1)=−8𝑘+5≥0，解得𝑘≤8．(2)由根与系数的关系可得𝑥1+𝑥2=2𝑘−1，𝑥1𝑥2=𝑘2+𝑘−1，
22222∴𝑥21+𝑥2=(𝑥1+𝑥2)−2𝑥1𝑥2=(2𝑘−1)−2(𝑘+𝑘−1)=2𝑘−6𝑘+3，2∵𝑥21+𝑥2=11，
5∴2𝑘2−6𝑘+3=11，解得𝑘=4，或𝑘=−1，∵𝑘≤，∴𝑘=4(舍去)，
8∴𝑘=−1．
【解析】此题主要考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
(1)根据方程有实数根得出𝛥=[−(2𝑘−1)]2−4×1×(𝑘2+𝑘−1)=−8𝑘+5≥0，解之可得．
(2)利用根与系数的关系可用𝑘表示出𝑥1+𝑥2和𝑥1𝑥2的值，根据条件可得到关于𝑘的方程，可求得𝑘的值，注意利用根的判别式进行取舍．
521.【答案】16
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【解析】解：(1)如图，过点𝐴作𝐴𝐺⊥𝐶𝐹，垂足为𝐹．
由题意知：四边形𝐴𝐸𝐹𝐺是矩形．
∴𝐹𝐺=𝐴𝐸=4米，∠𝐸𝐴𝐺=∠𝐴𝐺𝐶=∠𝐴𝐺𝐹=90°．∵∠𝐶𝐴𝐸=120°，
∴∠𝐶𝐴𝐺=∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐸𝐴𝐺=30°．在𝑅𝑡△𝐴𝐺𝐶中，
∵sin∠𝐶𝐴𝐺=𝐴𝐶，𝐴𝐶的长度为24米，∴𝐶𝐺=𝐴𝐶×𝑠𝑖𝑛30°=24×
𝐶𝐺12=12(米)．∴𝐶𝐹=𝐶𝐺+𝐺𝐹=4+12=16(米)．
答：云梯消防车最高点𝐶距离地面的高度𝐶𝐹的长为16米；故答案为：16；
(2)如图，过点𝐶作𝐶𝐻⊥𝐴𝐸，交𝐸𝐴的延长线于点𝐻．
当𝐴𝐶=30米，∠𝐶𝐴𝐸=150°时，∠𝐻𝐴𝐶=30°．在𝑅𝑡△𝐴𝐻𝐶中，
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∵cos∠𝐻𝐴𝐶=𝐴𝐶，∴𝐴𝐻=cos∠𝐻𝐴𝐶×𝐴𝐶=𝑐𝑜𝑠30°×30
𝐴𝐻=
3×302=15 3≈1.7×15=25.5(米)．∴𝐻𝐸=𝐴𝐸+𝐴𝐻=4+25.5=29.5(米)．
由题意知，四边形𝐻𝐸𝐹𝐶是矩形，∴𝐶𝐹=𝐻𝐸=29.5米，∵29.5>26，
∴该消防车能够实施有效救援．
(1)过点𝐴作𝐴𝐺⊥𝐶𝐹，垂足为𝐹.先在𝑅𝑡△𝐴𝐺𝐶中求出𝐶𝐺，再利用直角三角形的边角间关系求出𝐶𝐹；(2)先计算当𝐴𝐶长30米、∠𝐶𝐴𝐸=150°时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系及线段的和差关系是解决本题的关键．
22.【答案】解：甲：∵𝑥2+1=0，
∴△=02−4×1×1=−4<0，∴方程没有实数根；乙：𝑥2+𝑥=0，
∴△=12−4×1×0=1>0，∴方程有两个不同的实数根；丙：𝑥2+2𝑥+1=0，∴△=22−4×1×1=0=0，∴方程有两个相等的实数根；
(1)∵共有3张卡片，其中没有实数根的有1种，∴抽到方程没有实数根的概率是；(2)设𝐴：抽到甲，𝐵：抽到乙，𝐶：抽到丙，根据题意画图如下：
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共有9种等可能的情况数，其中抽到的方程都有实数根的有4种，则抽到的方程都有实数根的概率是．
【解析】(1)先分别求出甲、乙、丙有没有实数根，再根据概率公式即可得出答案．
(2)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4923.【答案】解：(1)由题意可知𝐴𝑃=3，𝑦𝑁=−2．
∵𝑃𝑁=4，
∴𝐴𝑁=𝐴𝑃+𝑃𝑁=3+4=7，∴𝑥𝑁=7，∴𝑁(7,−2)．
将𝑁(7,−2)代入𝑦=𝑥，得：−2=7 解得：𝑘=−14．(2)由题意可知𝑥𝑀=3．
由(1)可知反比例函数解析式为：𝑦=−𝑥，将𝑥𝑀=3代入𝑦=−𝑥得：𝑦𝑀=−3 ∴𝑃𝑀=𝑦𝑃−𝑦𝑀=−2−(−3)=3，∴𝑆△𝐴𝑃𝑀=2𝐴𝑃⋅𝑃𝑀=2×3×3=4．
【解析】(1)由题意可得出𝐴𝑃=3，𝑦𝑁=−2.再根据𝑃𝑁=4，可求出𝐴𝑁=7，即得出𝑁的坐标，最后将𝑁的坐标代入反比例函数解析式，即可求出𝑘的值；
(2)由题意可得出𝑥𝑀=3，代入所求出的反比例函数解析式，即得出𝑀的纵坐标，从而可求出𝑃𝑀的长，最后由三角形面积公式计算即可．
118148141414𝑘𝑘第19页，共23页
本题考查坐标与图形，求反比例函数的解析式，反比例函数与几何的综合．利用数形结合的思想是解题关键．
24.【答案】(1)证明：如图，连接𝑂𝐶，
∵𝐶𝐸切⊙𝑂于点𝐶，∴𝑂𝐶⊥𝐶𝐸，
∴∠𝑂𝐶𝐹+∠𝐸𝐶𝐹=90°，∵𝑂𝐶=𝑂𝐷，𝐸𝐹=𝐸𝐶，
∴∠𝑂𝐶𝐹=∠𝑂𝐷𝐹，∠𝐸𝐶𝐹=∠𝐸𝐹𝐶，又∵∠𝑂𝐹𝐷=∠𝐸𝐹𝐶，∴∠𝑂𝐷𝐹+∠𝑂𝐹𝐷=90°，∴∠𝐷𝑂𝐹=90°，∴𝑂𝐷⊥𝐴𝐵，∵𝑂𝐴=𝑂𝐵，∴𝑂𝐷垂直平分𝐴𝐵；
(2)解：设𝐵𝐹=𝐵𝐸=𝑥，则𝐸𝐶=𝐸𝐹=2𝑥，𝑂𝐸=3+𝑥，在𝑅𝑡△𝑂𝐶𝐸中，𝑂𝐶2+𝐶𝐸2=𝑂𝐸2，∴32+(2𝑥)2=(3+𝑥)2，解得：𝑥1=2，𝑥2=0(舍去)，∴𝑂𝐹=𝑂𝐵−𝐵𝐹=3−2=1．
【解析】(1)连接𝑂𝐶，根据切线的性质可得∠𝑂𝐶𝐹+∠𝐸𝐶𝐹=90°，然后根据等边对等角，等量代换求出∠𝑂𝐷𝐹+∠𝑂𝐹𝐷=90°，证得𝑂𝐷⊥𝐴𝐵即可；
(2)设𝐵𝐹=𝐵𝐸=𝑥，则𝐸𝐶=𝐸𝐹=2𝑥，𝑂𝐸=3+𝑥，在𝑅𝑡△𝑂𝐶𝐸中，利用勾股定理构建方程求出𝑥，然后根据𝑂𝐹=𝑂𝐵−𝐵𝐹计算得出答案．
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本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解一元二次方程，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
25.【答案】解：(1)由题意得：(𝑥−20)(−2𝑥+160)=1000，
整理得：𝑥2−100𝑥+2100=0，解得：𝑥1=30，𝑥2=70，
又∵每千克售价不低于成本，且不高于40元，即20≤𝑥≤40，答：每千克樱桃的售价应定为30元；(2)设超市日销售利润为𝑤元，𝑤=(𝑥−20)(−2𝑥+160)，=−2𝑥2+200𝑥−3200，=−2(𝑥−50)2+1800，∵−2<0，
∴当20≤𝑥≤40时，𝑤随𝑥的增大而增大，
∴当𝑥=40时，𝑤取得最大值为：𝑤=−2(40−50)2+1800=1600，答：当每千克樱桃的售价定为40元时日销售利润最大，最大利润是1600元． 【解析】(1)根据“日销售利润=每千克利润×日销售量”列方程求解即可；
(2)根据“日销售利润=每千克利润×日销售量”列出函数解析式，再根据函数的性质和𝑥的取值范围求函数最值．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
26.【答案】𝑦=−𝑥+4
【解析】解：(1)∵物线𝑦=𝑎𝑥2+3𝑥+𝑐经过𝐴(−1,0)，𝐵(4,0)两点，𝑎−3+𝑐=0
∴16𝑎+3×4+𝑐=0，𝑎=−1解得𝑐=4，
∴抛物线的解析式为：𝑦=−𝑥2+3𝑥+4；(2)当𝑥=0时，𝑦=4，∴𝐶(0,4)，
设直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)，将点𝐵(4,0)、𝐶(0,4)代入得：
{{第21页，共23页
𝑘+𝑏=0
，{4𝑏=4
𝑘=−1解得{𝑏=4，
∴直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=−𝑥+4，故答案为：𝑦=−𝑥+4；(3)如图，
∵点𝑀是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为𝑡，∴𝑀(𝑡,−𝑡2+3𝑡+4)，∵𝑀𝑁⊥𝑥轴，∴𝑁(𝑡,−𝑡+4)，
∴𝑀𝑁=(−𝑡2+3𝑡+4)−(−𝑡+4)=−𝑡2+4𝑡，∴ℎ=−𝑡2+4𝑡=−(𝑡−2)2+4(0<𝑡<4)，∴当𝑡=2时，ℎ的值最大，最大值为4；(4)存在，理由如下：当𝑃𝐶=𝐵𝐶时，∵𝑂𝐶⊥𝐵𝑃，∴𝑂𝑃=𝑂𝐵，
∵𝐵(4,0)，点𝑃在𝑥轴的负半轴上，∴𝑃(−4,0)，当𝑃𝐵=𝐵𝐶时，∵𝐵(4,0)，𝐶(0,4)，∴𝑂𝐶=𝑂𝐵=4，
∴𝐵𝑃=𝐵𝐶= 42+42=4 2，∴𝑂𝑃=𝐵𝑃−𝑂𝐵=4 2−4，∵点𝑃在𝑥轴的负半轴上，
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∴𝑃(4−4 2,0)；
当𝑃𝐶=𝑃𝐵时，点𝑃位于𝐵𝐶的垂直平分线上，∵𝑂𝐵=𝑂𝐶=4，
∴点𝑂位于𝐵𝐶的垂直平分线上，
∴此时点𝑃与点𝑂重合，不合题意，舍去；
综上，在𝑥轴的负半轴上存在点𝑃(−4,0)或(4−4 2,0)，使以𝐵，𝐶，𝑃三点为顶点的三角形为等腰三角形．(1)将点𝐴(−1,0)，𝐵(4,0)代入抛物线解析式，解方程即可；
(2)由抛物线解析式得出点𝐶坐标，利用待定系数法求出直线𝐵𝐶的解析式；
(3)由题意知𝑀(𝑡,−𝑡2+3𝑡+4)，𝑁(𝑡,−𝑡+4)，则𝑀𝑁=(−𝑡2+3𝑡+4)−(−𝑡+4)=−𝑡2+4𝑡，从而得出答案；
(4)分当𝑃𝐶=𝐵𝐶或𝑃𝐵=𝐵𝐶或𝑃𝐶=𝐵𝐶三种情形，分别求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，运用分类思想、数形结合思想是解题的关键．
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