信号与系统课后习题答案汇总

绘出下列函数波形草图。

(1) x(t)3e|t|nn012 (2) x(n) nn02n(n) (4) x(n)sin(2)41nx(n)3[(n1)(n4)] (6) 0.5......0x(n)n[(n3)(n1)] (8)

(3) x(t)sin2t(t) (5) x(t)etcos4t[(t)(t4)]

(7) x(t)[(t)(t2)]cost

2(9) x(t)(t)2(t1)(t2)

(11) x(t)(13) x(t)(10) x(n)n[(nn)(n5)]5(n5) (12) x(n)(n5)(n) (14) x(n)n(n)

-3-2-10123d[(t1)(t1)] dt(1)d

t 确定下列信号的能量和功率，并指出是能量信号还是功率信号，或两者均不是。 (1) x(t)3e|t|

解 能量有限信号。信号能量为：

n12(2) x(n)n2n0n0

解 能量有限信号。信号能量为：

(3) x(t)sin2t

解 功率有限信号。周期信号在(,)区间上的平均功率等于在一个周期内的平均功率，sin2t的周期为1。 (4) x(n)sin4n

解 功率有限信号。sin(5) x(t)sin2t(t)

4n是周期序列，周期为8。

解 功率有限信号。由题(3)知，在(,)区间上sin2t的功率为1/2，因此sin2t(t)在(,)区间上的功率为1/4。如果考察sin2t(t)在(0,)区间上的功率，其功率为1/2。 (6) x(n)sin4n(n)

解 功率有限信号。由题(4)知，在(,)区间上sin考察sin4n的功率为1/2，因此sin4n(n)在(,)区间上的功率为1/4。如果

n(n)在(0,)区间上的功率，其功率为1/2。 4t(7) x(t)3e

解 非功率、非能量信号。考虑其功率： 上式分子分母对T求导后取极限得P。 (8) x(t)3e(t)

解 能量信号。信号能量为：

已知x(t)的波形如题图所示，试画出下列函数的波形。

(1) x(t2) 1

-1 0 1 2 t(2) x(t2)

(3) x(2t)

1 1 -1/2 0 1 -2 -1 0 1 2 3 4 1 0 1 2 3 4 1 -3 -2 -1 0 (4) x(题图

(5) x(t)

(6) x(t2)

1

-2 -1 0 1 (7)

1

0 1 2 3 x(t2)(8) x(2t2)

1

0 1 3/2 1 -4 -3 -3 -1 0

(9) x(t2)

12

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 (10)

1 -8 -4 -2 0 x(1t2) 2(11) x(t)x(t2)

12

1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (12) x(2t)x(t)

12(13)

d

1 -1/2 0 1 1

-1 0 3/2 1/2 -1 0 1 2 t

(14)

1t2t1221t2tx()d=320

(1) x1(2t)

1t00t2

t2t1 已知x1(t)及x2(t)的波形如题图所示，试分别画出下列函数的波形，并注意它们的区别。

2 1 -1 0 1 2 1 1 (2) x1(t) 2 0 1 2 3 4 2 1 -2 0 2 2 1 -1/2 1/2 (3) x2(2t) (a) (b) 题图 已知x(n)的波形如题图所示，试画出下列序列的波形。

2 2 1 1 0 4 8 0 1 2 t

(1)x(n4)

2 2 2

1 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 2 2 2 1 1 (2) x(n) -1 0 1 2 3

(3) x(n3) 2 2 2 1 1 题图 -6-5 -4 -3 -2 -1 0 2 2 2 1 1 -3 -2 -1 0 1 (4) x(n3)

2 2 2

1 1 0 1 2 3 4

(5)

x(n3)+x(n3)

2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 -6-5–4 -3–2 –1 0 1 2 3 4

(7) x(n)x(n)x(n1)

(8)

mx(m)

n

1 1

-4 n -1 0 1 2 3 -2 任何信号可

其中xe为偶下式确定：

8 8 8 6

以分解为奇分量和偶分量的和：

4

x(t)xe(t)xo(t) 或 2 … 1 x(n)xe(n)xo(n) -1 0 1 2 3 4 5 分量；xo为奇分量。偶分量和奇分量可以由

xe(t)1[x(t)x(t)] 211xe(n)[x(n)x(n)]， xo(n)[x(n)x(n)]

22(1) 试证明xe(t)xe(t)或xe(n)xe(n)；xo(t)xo(t)或xo(n)xo(n)。

xo(t)(2) 试确定题图(a)和(b)所示信号的偶分量和奇分量，并绘出其波形草图。

(1) 证明 根据偶分离散序列的证明类(2) 根据定义可绘出

1

0 1 2 1

-2 -1 0 1 0 1 2 2 1 1[x(t)x(t)]， 2(a) 设 1 2 3 n

(b) -2 -1 0 题图 -1 -2 -3 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 n 似。 -2 -1 0 -1 下图 -2 2 -3 1 量和奇分量的定义：

1/2

-2 -1 0 1 2 1/2

-2 -1

x(n)2n，试求

0 1 2 t

x(n),x(n),2x(n),2x(n)。

解

判断下列信号是否为周期信号，若是周期的，试(1) x(t)cos(4t)

6解 周期信号，T1

2(2) x(t)sin(2t)(t)

解 非周期信号。 (3) x(t)et 0 1 2 n

x(n)x(n)x(n1) -1 -2 求其最小周期。 -3 2n2n11n22n1 2

-3 3

0 n -3/2 -3/2 cos(2t)

-3/2 2 1 1 2 3 解 非周期信号。 (4) x(t)ej(t3)4

解 周期信号，T18。 (5) x(t)asin(5t)bcos(t) 解 若a0,b0, 则x(t)为周期信号，

若a0,b0, 则x(t)为周期信号，T1a 若a0,b0, 则x(t)为非周期信号。 (6) x(n)cos(25 -3 -2 -1 0 n

-1 -2 -3/2 T1b2；

；

n3) 8解 周期信号，N116。

79解 周期信号，N118。 (8) x(n)con(16n)

(7) x(n)cos(n) 解: 非周期信号。

(9) x(n)ej2n15

解: 周期信号，N115。 (10) x(n)3cos(6n)sin(3n)2sin(n) 43解: 周期信号，最小公共周期为N124。 计算下列各式的值。 (1)

x(tt0)(t)dt

解: 原式(2)

tx(t0)(t)dt=x(t0).

x(t0)()d

解: 原式(3)

x(t0)()dtx(t0)(t)

x(t0t)(t)dt

x(t0)(t)dtx(t0)

x'(t0)

解: 原式(4)

x(tt0)'(t)dt

t0解: 原式x'(tt0)(5)

t0)dt 2t0t0解: 原式(t0)(tt0)dt()

22(tt0)(t(6)

(t0)(2t0)d

t00t0== (t)(t2t)d(t)(t)d(t)(tt)0000000(tt)t000tt解: 原式=(7)

(t)dt

解: 原式1 (8)

(t)dt

00解: 原式0 (9)

(t)dt

解 原式0 (10)

00(t)dt

解 原式1 (11)

(3t3)(t22t1)dt

解 令v3t得：

原式(12)

(v3)[()221]dv[()221]x3v3v3131v33v32 3'(t1)x(t)dt '(t)et''解: 原式x(t)t1x(1)

(13) dt

解: 原式[e]t01 (14)

t'13(2t133)x(t)dt

解: 令v2t得：

原式2v13(v3)x()2223dv＝2v13(v3)x()2223dv

因为

23(v3)dv230，所以: 原式＝0

设x(t)或x(n)为系统的输入信号，y(t)或y(n)为系统的输出信号，试判定下列各函数所描述的系统是否是：(a) 线性的 (b) 时不变的 (c) 因果的 (d) 稳定的 (e) 无记忆的? (1) y(t)x(t4) 解 (a)线性的.

若 x1(t)y1(t)x1(t4);x2(t)y2(t)x2(t4)

则: ax1(t)bx2(t)y(t)ax1(t4)bx2(t4)ay1(t)by2(t)

(b) 时不变的.

若 x(t)y(t)x(t4)

则: x(t)x(t4)

(c) 非因果的.

t时刻的响应取决于t0以后时刻(即t04时刻)的输入. 0(d)稳定的.

若|x(t)|M< 则:|y(t)|M (e)有记忆的

若系统的输出仅仅取决当前时刻的输入，则称此系统为无记忆系统。题给系统显然不满足此条件。 (2) y(t)x(t)x(t) (0，且为常数)

解 (a)线性的.

若 x1(t)y1(t)x1(t)x1(t)，x2(t)y2(t)x2(t)x2(t)

则: ax1(t)bx2(t)y(t)a[x1(t)x1(t)]b[x2(t)x2(t)]=ay1(t)by2(t)

(b) 时不变的.

 若 x(t)y(t)x(t)x(t)

则: x(tt0)x(tt0)x(tt0)y(tt0) (c)当0时为因果的.

 当0时:系统t0时刻的输出仅与t0及t0以前时刻的输入有关. 当0时:系统t0时刻的输出与t0以后时刻的输入有关. (d)稳定的.

若|x(t)|， 则|y(t)| (e)有记忆的.

 系统t0时刻的输出与t0时刻以前的输入有关. (3) y(t)x(t/2)

解:(a)线性的. (说明略) (b)时变的

若x(t)y(t)x() 则: x(t)x()x(t2t2t) 2(c)非因果的.

11y(1)x(). 即t1时刻的输出与t1时刻以后(t)的输入有关.

22(d)稳定的. (说明略)

(e)有记忆的.

11y(1)x(). 即t1时刻的输入与t1时刻以前(t)的输入有关.

222(4) y(t)x(t)

解:(a)非线性的.

 若 x1(t)y1(t)x1(t)， x2(t)y2(t)x2(t)

则: ax1(t)bx2(t)[ax1(t)bx2(t)]ax1(t)bx2(t)ay1(t)by2(t)

22222(b)时不变的.

若x(t)y(t)x(t) 则: x(t)x(t)y(t)

22(c)因果的. (说明略) (d)稳定的. (说明略) (e)无记忆的.

 t0时刻的输出仅取决于t0时刻的输入.

(5) y(t)e2x(t)

解:(a)非线性的. (说明略)

(b)时不变的. (说明略) (c)因果的. (说明略)

(d)稳定的.

 若 |x(t)|M, 则|y(t)|e2M

(e)无记忆的. (说明略) (6) y(t)x(t)sin2t

解: (a)线性的.

 若 x1(t)y1(t)[sin2t]x1(t)，x2(t)y2(t)[sin2t]x2(t) 则: ax1(t)bx2(t)sin2t[ax1(t)bx2(t)]ay1(t)by2(t) (b)时变的.

 若 x(t)y(t)

则: x(t)(sin2t)x(t)y(t)[sin2(t)]x(t) (c)因果的. (说明略)

(d)稳定的.

 若|x(t)|M， 则|y(t)|M|sin2t|M (e)无记忆的. (说明略) (7) y(t)x(t)0x(t)0

解: (a)非线性的.

 若 x(t)(0)y1(t)0

而a0时: ax(t)(0)y2(t)0ay1(t)，即不满足均匀性. (b)时不变的.

若 x(t)y(t) 则: x(tt0)x(tt0)x(tt0)0y(tt0)

0x(tt)00(c)因果的.

t0时刻的输出仅与t0以后时刻的输入无关. (d)稳定的. (说明略) (e)无记忆的. (说明略) (8) y(t)dx(t) dt解:(a) 线性的.  若 x1(t)y1(t)则: ax1(t)bx2(t)(b)时不变的.

dx1(t)dx(t)，x2(t)y2(t)2 dtdtd[ax1(t)bx2(t)]ay1(t)by2(t) dtdx(t) dtdx(t)dx(t)则: x(t)y(t)

dtd(t) 若: x(t)y(t)(c)因果的. (说明略) (d)非稳定的.

(e)无记忆的 (说明略) (9) y(t)tx()d

解: (a)线性的. (说明略) (b)时不变的.

t 若: x(t)y(t)则: x(tt0)x()d

tt0tx(t0)dx(v)dvy(tt0)

(c)因果的. (说明略)

(d)非稳定的.

 若|x(t)||u(t)|1，但|y(t)| (e)有记忆的. (说明略) (10) y(n)x(n)x(n1)

解: (a)非线性的

若 x1(n)y1(n)x1(n)x1(n1)，(b)时不变的.

若 x(n)y(n)x(n)x(n1)

则: x(nN)x(nN)x(nN1)y(nN) (c)因果的.

n0时刻的输出与n0时刻以后的输入无关.

(d)稳定的.

x2(n)y2(n)x2(n)x2(n1)

则: ax1(n)bx2(n)[ax1(n)bx2(n)][ax(n1)bx2(n1)]ay1(n)by2(n)

 若 |x(n)|M, 则: |y(n)|M2

(e)有记忆的.

(11) y(n)nx(n)

n0时刻的输出与n0时刻以前的输入有关.

解: (a)线性的.

若 x(n)y1(n)nx1(n)，x2(n)y2(n)nx2(n) 则: ax1(n)bx2(n)n[ax1(n)bx2(n)]ay1(n)by2(n) (b)时不变的.

若 x(n)y(n)nx(n)

则: x(nN)(nN)x(nN)y(nN) (c)因果的. (说明略)

(d)非稳定的.

 即使|x(n)|M，n时，y(n) (e)无记忆的. (说明略) (12) y(n)5x(n)6

解: (a)非线性的.

若 x1(n)y1(n)5x1(n)6，x2(n)y2(n)5x2(n)6 则: ax1(n)bx2(n)y(n)5[ax1(n)bx2(n)]6ay1(n)6y2(n) (b)时不变的. (说明略) (c)因果的. (说明略) (d)稳定的. (说明略) (e)无记忆的. (说明略)

(13) y(n)x(n)

解: (a)线性的. (说明略) (b)时变的.

若 x(n)y(n)x(n)

则: x(nN)x(nN)y(nN)x[(nN)]

(c)非因果的.

y(1)x(1). 即 n1时刻的输出与 n1以后时刻(n1时刻)的输入有关. (d)稳定的. (说明略)

(e)有记忆的.

y(1)x(1). 即 n1时刻的输出与n1以前时刻(n1时刻)的输入有关.

* 已知x(22t)的波形如题图所示，试画出x(t)的波形。

解 将x(22t)的波形扩展可得x(2t)，将x(2t)的波形翻转得x(2t)，将x(2t)右移2个单位可得x(t)的波形如下:

* 判断下列每个系统是否是可逆的， 2 1 如果是可逆的，试构成其逆系统；如 -6 -4 -2 0 果不是，找出使系统具有相同输出的两个输入信号。 (1) y(t)te(t)x()d

解 原式两边求导得：

上式同原式相加得：x(t)y(t)dy(t)dt 所以系统可逆，逆系统为: x(t)y(t)dy(t)dt

(2) y(n)x(n1)n10n0 x(n)n1解: 系统可逆，逆系统为: x(n)y(n1)n0y(n)n1

(3) y(t)dx(t)dt 解 系统不可逆，因为不能由x(t)唯一地确定y(t)。例如:x1(t)c1,x2(t)c2(c1c2)

ydx1(t)y1(t)1(t)dxdt2(t)d0 (4) y(n)nx(n) 解 系统不可逆，因为当n0时,不论x(n)取何值，y(n)n00。

(5) y(t)tx()d

解 系统可逆，逆系统为x(t)dy(t)dt。 n(6) y(n)(1nk2)x(k) k解 系统可逆，逆系统为x(n)y(n)12(y1)。 [ 或从z域考虑: 即逆系统为: h(n)(n)12(n1) * 对于例中的x(t)和x(n)，请指出下面求解x(2t1)和x(n1)的过程错在何处？ 求解x(2t1)的过程：

2 1 0 1 2 3 4 题图

先将x(t)的波形右移

如题图(a)所示。

求解x(n1)的过程：

1111个单元得到，x(t)的波形，再将x(t)的波形压缩一倍得到x[2(t)]即x(2t1)的波形，2222先将x(n)的波形右移1个单元得到x(n1)的波形，再将x(n1)的波形反转得到x[(n1)]即x(n1)的波形，如题图

(b)所示。

答 设

1 o 1 2 3 4 5 t 1 o 1 2 3 4 5 t (a) 1 o 1 2 3 4 5 t 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -2 -1 o 1 2 3 4 n -1 o 1 2 3 n -5 -4 -3 -2 -1 o 1 n (b) 题图

11g(t)x(t)，则g(2t)x(2t)x(2t1)，所以x(2t1)和x(t1)并不构成压扩关系。类似，x(n1)和x(n1)并不构

222成反转关系。