勾股定理及常见题型分类

勾股定理及常见题型分类

一、知识要点： 1、勾股定理

2、勾股定理证明方法及勾股树 3、勾股定理逆定理 4、勾股定理常见题型回顾 二、典型题

题型一：“勾股树”及其拓展类型求面积

1. 右图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）

A.13B.26C.47D.94

2.如图，直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的边长分别为6和8，求b的面积。

3. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

4、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）

A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3< S1 D. S2- S3=S1

甲 乙

图1

S1S2S3

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.

5、在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是

、

=_____________。

题型二：勾股定理与图形问题

1、已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是．

2.如图，求该四边形的面积

3.如图2，已知，在△ABC中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC的长为．

4.某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由 .

EDCBA FGC3B4A12D135.如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。

题型三：在直角三角形中，已知两边求第三边

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1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为 ． 2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，斜边上的高是． 4、在Rt△ABC中，∠C=90°

①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；

④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。

5、如果直角三角形的两直角边长分别为n21，2n（n>1），那么它的斜边长是（ ） A、2nB、n+1C、n－1D、n1

2

26、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ） A、24cmB、36 cmC、48cmD、60cm

7、已知x、y为正数，且│x-4│+（y-3）=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）

A、5B、25C、7D、15 题型四：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高

2

2

2

22221、如图1所示，等腰的长；②ΔABC的面积．

中，，是底边上的高，若，求 ①AD

题型五：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）

A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17 2、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（ ） A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7 3、下面的三角形中：

①△ABC中，∠C=∠A－∠B；

②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3； ③△ABC中，a：b：c=3：4：5；

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④△ABC中，三边长分别为8，15，17． 其中是直角三角形的个数有（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a－b)(a+b－c)＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 题型六:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题

2

2

2

2

2

1、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红

色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 ．

题型七、利用列方程求线段的长（方程思想）

１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？

A 2、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸

B 60 A C B 120 （单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为.

C 140 第5题图7 4 / 7

60 .

8米 2米 8米 第6题图 6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米．

题型八：折叠问题

1、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC•于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．

3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。

A

4、如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

ADD E

B F

C

EBFC

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5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？

6、如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。

（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长

二、平面展开-最短路径问题

1.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是________________

2.在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm．（结果保留π）

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3.如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是_________________

4.如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是_____________

5.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是______________

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