材料力学B精选题3

扭 转

1. 一直径为D1的实心轴，另一内径为d, 外径为D, 内外径之比为d2D2的空心轴，若两轴横截面上的扭矩和最大切应力均分别相等，则两轴的横截面面积之比A1A2有四种答案： (A) 1； (B)

23 (C) (1)；

423 (D) [(1)(1)]；

2423(14)212。

2. 圆轴扭转时满足平衡条件，但切应力超过比例极限，有下述四种结论： (A) (B) (C) (D) 切应力互等定理： 成立 不成立 不成立 成立 剪切胡克定律： 成立 不成立 成立 不成立

3. 一内外径之比为dD的空心圆轴，当两端承受扭转力偶时，若横截面上的最大切应力为，则内圆周处的切应力有四种答案：

(A)  ； (B) ； (C) (13)； (D) (14)。

4. 长为l、半径为r、扭转刚度为GIp的实心圆轴如图所示。扭转时，表面的纵向线倾斜了角，在小变形情况下，此轴横截面上的扭矩T及两端截面的相对扭转角有四种答案： (A) TGIpr，lr； (B) Tl(GIp)，lr； (C) TGIpr，lr； (D) TGIpr，rl。 种答案： (A) “平面假设”给出了横截面上内力与应力的关系TAdA； (B) “平面假设”给出了圆轴扭转时的变形规律； (C) “平面假设”使物理方程得到简化； lMeMer5. 建立圆轴的扭转切应力公式TIp时，“平面假设”起到的作用有下列四

(D) “平面假设”是建立切应力互等定理的基础。

6. 横截面为三角形的直杆自由扭转时，横截面上三个角点处的切应力 。 (A) 必最大； (B) 必最小； (C) 必为零； (D) 数值不定。

7. 图示圆轴AB，两端固定，在横截面C处受外力偶矩Me作用，若已知圆轴直径d，材料的切变模量G，截面C的扭转角及长度b2a，则所加的外力偶矩Me，有四种答案：

3πd4G3πd4G(A) ； (B) ； 128a64a43πdG3πd4G(C) ； (D) 。 32a16a

MedAaCbB8. 一直径为D1的实心轴，另一内径为d2，外径为D2，内外径之比为d2D20.8的空心轴，若两轴的长度、材料、所受扭矩和单位长度扭转角均分别相同，则空心轴与实心轴的重量比W2W1 。

9. 圆轴的极限扭矩是指 扭矩。对于理想弹塑性材料， 等直圆轴的极限扭矩是刚开始出现塑性变形时扭矩的 倍。

10. 矩形截面杆扭转变形的主要特征是 。

1-10题答案：1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 6. B 7. B 8. 0.47

9. 横截面上的切应力都达到屈服极限时圆轴所能承担的扭矩；43 10. 横截面翘曲

11. 已知一理想弹塑性材料的圆轴半径为R，扭转加载到整个截面全部屈服，将扭矩卸掉所产生的残余应力如图所示，试证明图示残余应力所构成的扭矩为零。

sOs/3

证：截面切应力 (14)s 0R 3RR截面扭矩 TsdA(1A04)s2πd0证毕。 3R

12. 图示直径为d的实心圆轴,两端受扭转力偶Me作用，其材料的切应力和切应变关系可用C1/m表示，式中C，m为由实验测定的已知常数，试证明该轴的扭转切应力计算公式为：

Me1/m 2πmd(3m1)/m()3m12MeMe证：几何方面 d dxd1/m) dxd/2物理方面 C1/mC(静力方面 MeTdAA0dC1/m()dx1/m2πd

d 2πC()1/mdxd/2d)(3m1)/m(d21/md2πC()1/m2 (3m1)dx0m (Me(3m1)d1/m )(3m1)/mddx2πCm()2Me1/m所以  证毕。

2πmd(3m1)/m()3m1213. 薄壁圆管扭转时的切应力公式为T（R0为圆管的平均半径，为壁22πR0

厚），试证明，当R010时，该公式的最大误差不超过4.53%。 证：薄壁理论 T 22πR0精确扭转理论 maxπ[(R0)2(R0)2][(R0)2(R0)2]222222T(1T(R0)2

2R0) 2πR0(42R02

)2maxR0误差  112maxmax442R011004.53% 证毕。 当R010时， 1145414. 在相同的强度条件下，用内外径之比dD0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少？

解：设空心轴内外直径分别为d2,D2，实心轴直径为d1

Tπ3d116Tπ3D2(14)162 

D2311.02 4d11A1A2D2(12)121.7% 节省材料 2A1d115. 一端固定的圆轴受集度为m的均布力偶作用，发生扭转变形，已知材料的许

用应力[]，若要求轴为等强度轴，试确定轴直径沿轴向变化的表达式d(x)。 解：取自由端为x轴原点,x轴沿轴线方向,则

扭矩方程 T(x)mx 最大切应力 maxT(x)mx[] π3Wp(x)d(x)1616mx π[]轴径 d(x)316. 两段同样直径的实心钢轴，由法兰盘通过六只螺栓连接。传递功率P80 kW，转速n240 rmin。轴的许用切应力为[1]80 MPa， 螺栓的许用切应力为[2]55 MPa。试 (1) 校核轴的强度； (2) 设计螺栓直径。 解：(1)外力偶矩 Me9 549P3 183 Nm n6060180maxMe75MPa[] 安全 π3d16（2）FSMe3 1835 894 N 3D30.18FS[2] dπ2d4

4FS11.7 mm π[2]17. 图示锥形圆轴，承受外力偶Me作用，材料的切变模量为G。试求两端面间的相对扭转角。

ba解： d(x)2(ax)

lMealMeb

Medx 0π4Gd(x)32 l2MeπG2Mel(b2aba2)1 0ba4dx3πGa3b3(ax)l l18. 一半径为R的实心圆轴，扭转时处于弹塑性状态。试证明此轴弹性部分的核心半径r0为 r034R36T/(πs) 式中T为整个截面上的扭矩，f()可按理想弹塑性情况Rsr0下的图计算。 r0 R213223T()2πd2πdπRπr证： SS0  0r0S r0S36于是得 r034R3

6T πS19. 已知图示空心圆截面杆，材料的应力－应变图及截面尺寸如图示，设r1Or2r1/r21/2。试求此圆截面杆外表面处开始屈服时的扭矩与整个截面屈服时的极限扭矩之比。 解：屈服扭矩： TS44ssSIPr2 Aπ(r2r1)S 2r2 r2 r1极限扭矩：TPsdA2Sπ2dTP1.244 TS233πS(r2r1) 3maxss

20. 已知直径D30mm的一根实心钢轴扭转后在内部保持一个

d10mm的弹性核，如图示。若材料

dD/MPasO为理想弹塑性（应力－应变关系如图），

S160MPa。试求当卸除扭矩后，残余应力是多少？并绘出应力分布图。 解：确定初加之扭矩值：

πd3TTeTPsd2s2π d112104 Nmm

162D残余应力： 弹性卸荷 maxT211.26 MPa 3πD/1615 mm处，15(残)21116051 MPa 5 mm处，211570.3 MPa 155(残)16070.389.7 MPa

s=160+max=21151=90(单位:MPa)21. 已知直径D30 mm的一根实心钢轴扭转后在内部保持一个d10 mm的弹性核，如图示。若材料为理想弹塑性（应力－应变关系如图示）， G80 GPa，扭转屈服应力S160 MPa，试求当卸除扭矩后，单位杆长的残余扭转角为多少？

/MPadDsO

解：弹性部分单位长度的扭转角

eTe0.4 rad/m GIps弹性卸载单位长度扭转角

e0.176 rad/m 残余单位长度扭转角

残0.4 rad/m0.176 rad/m0.224 rad/m12.8 ()/m 22. 直径d25 mm的钢圆杆受轴向拉力60 kN作用时，在标距0.2 m的长度内伸长了0.113 mm，受扭转力偶矩0.15 kNm作用时，相距0.2 m两截面的相对扭转角为0.55，求钢材的弹性模量E、切变模量G和泊松比。 解：Fl5.65104, N122.2 MPa

AlTd/2π48.89 MPa, 6104 rad Wpl180则E/216 GPa 解得 G81.5 GPa 又 GE，得0.32

2(1)yTdzO23. 设圆轴横截面上的扭矩为T ，试求1/4截面上扭转剪应力的合力大小，方向及作用点。 解：1 剪力大小和方向

dAdd， dFS dA

FszdFSsin Aπd 22 0 0 sindd4T 3πd同理：FSy4T 3πd

22FSFSzFSy42`T 方向与45矢径垂直。 3πd32πdT  C324 2 合力作用点 CFS24. 已知如图（a）所示半径为R的受扭圆杆，截取一长度为a之隔离体，据横截面上切应力分布规律和切应力互等定理，可得隔离体各截面上的切应力分布如图（b）所示。试证 (1) 纵截面ABCD上切应力所构成的合力偶矩之大小为4Ta/3πR； (2) 图（b）的隔离体满足Mz0这一平衡条件

aTTCBzBAFE(b)CAEDDF4R(a)2T24Ta证：(1) M(maxR)0.5a Ra23πR33πR(2) 在半圆横截面上取面积微元dAr d dr，其上之内力沿垂直和平行于z

方向的分量为dF dAsin，dV dAcos 每一侧半圆截面上dF的合力

R π2Tr4T Fsin rd dr 0 0πR43πR两侧截面上的力F组成的力偶矩为Fa，于是

4Ta4TMMFaa0 z3πR3πR

25. 半径为R的圆截面承受扭矩T，导出处于R/2与3R/4之间的区域内所受扭矩的表达式，用R和max表示结果。 解：maxR

在

3RR与之间取微面积2πd

42T3R4R 2 65πR3max P2πd512226. 一圆钢管套在一实心圆钢轴上，之间为动配合，长度均为l，先在实心圆轴两端加外力偶矩Me，使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的最大切应力。 解：设外管为1,内轴为2

dDT1T2 , 12

21T1MelTlTl12 GIp2GIp1GIp2得 T1T2Me44(Dd) 4DT21,max16Me16Med4(14) , 2,maxπd3Dπ D3

AdalMeB27. 图示圆轴，受Me作用。已知轴的许用切应力[]、切变模量G，试求轴直径d 。 解：MAMBMe

bACCB, MAaMBb 得 MBaMebMe, MA abab16Mea

π (ab)[]当ab时 d3

当ba时 d316Meb

π (ab)[]28. 圆管A套在圆杆B上，将二者焊在一起，它们的切变模量分别为Ga和Gb，当管两端作用外力偶矩Me时，欲使杆B和管A的max相等，试求dB/dA? 解：TaTbMe （1）

MeMelABdBdAAB

TalTlb （2） GIpAGIpB由(1)(2)得 TaMeGAIpAGAIPAGBIpB , TbMeGBIPBGAIpAGBIpB dBGATadA/2TbdB/2得  IpAdAGBIpB 29. 已知钢杆AB和铝杆CD的尺寸相同，且其材料之切变模量之比A,maxB,maxGAB/GCD3:1。BF和DE杆为刚性杆。试求CDAlBCFFaEaD杆的E处所受的约束反力

解：MB(FF1)a, MDF1a

ABCD MBalMDal GABIpGCDIpMB3MD

BaF1AFCF1aDF11F4