2018年最新 湖南省2018届高三百校大联考第一次考试数

湖南省2018届高三 百校大联考 第一次考试

数 学 (理) 试 卷

总分：150分 时量：120分钟 2018年3月12日

由 联合命题 醴陵一中；澧县一中；郴州二中；益阳市一中；桃源县一中

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、 已知(1i)zi那么复数z对应的点位于复平面内的（ ） A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中

2、 过点P(1,0)作圆C:(x1)2(y2)21的两切线，设两切点为A、

B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是 （ ）

A、x2(y1)22 B、x2(y1)21 C、(x1)2y24 D、(x1)2y21

x2y2x2y21与双曲线1有相同的准线，则动点3、 已知椭圆

4n8mP(n,m)的轨迹为（ ）

A、椭圆的一部分 B、双曲线的一部分

C、抛物线的一部分 D、直线的一部分 4、 若圆x2+y2=r2(r>0)至少能盖住函数f(x)30sin

x2r

的一个最大值

点和一个最小值点，则r的取值范围是（ ）

A、[30,) B、[6,) C、[2,) D、以上都不对

5、 已知(3x+2)n(n∈N*)的展开式中各项的二次项系数和为Sn，各项系数和为Tn, 则limSnTn的值为 （ ）

nSTnn1 D、－１ 2A、 １ B、 ０ C、

6、 若f(x)log1x,Rf(3212),Sf(),Tf(2),其中a、2abababb为正实数，则R、S、T的大小关系为 （ ）

A、T≥R≥S B、R≥T≥S C、S≥T≥R D、T≥S≥R

7、 已知函数yf(x)的定义域为R，它的反函数为yf1(x)，如果

yf1(xa)与yf(xa)互为反函数且f(a)a （a为非零常

数）则f(0)的值为 （ ）

A、 a B、 0 C、 a D、 2a

8、 一条长椅上有9个座位，若3个人坐，要求相邻2人之间至少有2个空椅子，则共有（ ）种不同的坐法。

A、84 B、72 C、60 D、48

9、 已知A、B、C三点共线，O是这条直线外一点，设

OAa,OBb,OCc,且存在实数m，使ma3bc0成立，则点A

分BC的比为（ ） A 、

1111 B、  C、 D 、

3322

10、 已知

f(x)、g(x)都是定义在

R上的函数,

g(x)≠0,f'(x)g(x)f(x)g'(x),f(x)axg(x)，

f(1)f(1)5，g(1)g(1)2在有穷数列{

f(n)}( n=1,2,„,10）中，任意取前k项相加，则前k项和g(n)大于

15的概率是（ ） 161234A、 B、 C、 D、 5555

二、填空题（每题4分，共20分） 11、 12、 13、

(x1)51lim 。 x0(x1)41已知球的内接正方体的棱长为2，则该球的体积为 ． 已知数列an满足：a111，anan12n2，则a10等2n1于______

14、

函数yAsinxcosAcosxsin2

(A0,0,02)的图象如右，则

=______,=______.

15、 给出如下4个命题：①若α、β是两个不重合

的平面，l、m是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是l⊥α，m⊥β，且l∥m；②对于任意一条直线a，平面α内必有无数条直线与a垂直；③已知命题P：若四点不共面，那么这四点中任何三点都不共线.而命题P的逆否命题是假命题；④已知a、b、c、d是四条不重合的直线，如果a⊥c，a⊥d，b⊥c，b⊥d，则“a∥b”与“c∥d”不可能都不成立.在以上4个命题中，正确命题的序号是______. (要求将所有你认为正确的命题序号都填上)

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数学答卷（理科）

一 、选择题： 序号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 学校 班次 姓名 考号 二、填空题： 11__________12__________13__________14__________15___________ 三、解答题： 16、（本小题12分）设 a(sinx,2sinx,3cosx),b(sinx,cosx,3cosx), 且ab,x[,]，试求sin(2x)的值 23

座位号 17 、 （本小题满分14分）甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概 1率为，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们各自独立地射击两次，设乙命 2 4表示甲与乙命中10环的次数的中 10环的次数为ξ，且ξ的数学期望Eξ=，3 差的绝对值. (1)求s的值及的分布列， (2)求的数学期望.

(本小题满分12分) （本小题满分12分）如图，已知ABCD是正方形，PD⊥平18、 ，PD=AD. 面ABCD (1)求二面角A-PB-D的大小, (2)在线段PB上是否存在一点E,使PC⊥平面ADE?若存在,确定E点的位置,若 不存在,说明理由.

19、 (本小题满分14分)已知a为常数，且a0, m(x,1),n(1,ln(xa)),求函数f(x)mn在区间(0，1]上的最大 值．

20、 （本小题满分14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a12,nan1Snn(n1)， （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn 学校 班次 姓名 考号 Sn，如果对一切正整数n都有bnt，求t的最小值。 2n

座位号 （本小题满分14分）已知曲线C为顶点在原点，以x轴为对称轴，开口向21、 9右的抛物线，又点M（2，1）到抛物线C的准线的距离为， 4 ）求抛物线C的方程； （1 （2 ）证明：过点M的任意一条直线li与抛物线恒有公共点； （3 ）若（2）中的直线li（i=1，2，3，4）分别与抛物线C交于上下两点 又点A1,A2,A3,A4的纵坐标依次成公差不为0的等B 1,A1,B2,A2,B3,A3,B4,A4， A1MA4MAMAM 差数列，试分析与23的大小关系。 MB1MB4MB2MB3

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数学（理科）答案

一、CADBD、ADCAC 二、11、三、

5127 12、 43 13、 14、3， 15、①②④

1104316、(本题满分12分）解：abab0,sin2x2sinxcosx3cos2x0(sinx3cosx)(sinxcosx)0tanx3或tanx1x[2,],tanx1(舍去）sin(2x33sinxcosx3cos2xsin2xcos2xsin2x2cos2xsin2xtanx31tan2x1tan2x21tan2x34310)sin2xcoscos2xsin3

17、解:(1)依题意知ξ∽B(2，s)，故Eξ=2s= ∴s=

4， 32． „„„„2分 3122 的取值可以是0，1，2.

甲、乙两人命中10环的次数均为0次的概率是()()甲、乙两人命中10环的次数均为1次的概率是

1321， 36111121122()()， 222233339甲、乙两人命中10环的次数均为2次的概率是()()∴p(=0)=

121223231， 912113． „„„„6分 369936甲命中10环的次数为2次且乙命中10环的次数为0次的概率是

11111()()， 223336甲命中10环的次数为0次且乙命中10环的次数为2次的概率是

11221()()． 22339115=， ∴p(=2)=

369361351． „„„10分 ∴p(=1)=1p(=0)p(=2)=136362故的分布列是

（2）E=0 0 1 2 p 13 361 25 36„„„12分

1315712． „„„„14分 36236918、 (1)解法一:联结AC交DB于点O. ∵ABCD是正方形,∴AC⊥DB.

又PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD, ∴AC⊥PD, ∴AC⊥平面PBD. 作OF⊥PB于点F,联结AF,则AF⊥PB. ∴∠OFA就是二面角A-PB-D的平面角. „„„„2分

∵PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴PA⊥AB. 令PD=AD=2，则在RTABC中,PA=222222,AB=2. ∴PB=23,∴AFPAAB22226. PB3230 ∴在RTAOF中,sinAF0AO23,∴AF060.

AF2623 ∴二面角A-PB-D的大小为60. „6分 解法二:建立如图所示的直角坐标系. 联结AC,交BD于点O,取PA中点G,联结DG.

∵ABCD是正方形,∴AC⊥DB.

又PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD, ∴AC⊥PD, ∴AC⊥平面PBD.

∵PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴PA⊥AB.

0

∴AB⊥平面PAD.

∵PD=AD,G为PA中点, ∴GD⊥平面PAB.

故向量AC与DG分别是平面PBD与平面PAB的法向量. 令PD=AD=2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，∴AC=(-2，2，0). ∵P(0,0,2),A(2,0,0), ∴G(1,0,1),∴DG=(1,0,1). „„„4分 ∴向量AC与DG的夹角余弦为cosACDGACDG01，

22222∴120,∴二面角A-PB-D的大小为60. „6分

(2)解法一: 当点E是线段PB中点时,

有PC⊥平面ADE. „„„„7分

证明如下:

取PC中点H,联结EH,DH,则有EH∥BC,

又BC∥AD,故有EH∥AD. ∴平面ADE即平

面ADHE. „„„„9分 ∵PD=DC,H为PC中点, ∴PC⊥DH.又∵PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥PC.

∴PC⊥平面ADHE,即PC⊥平面ADE. „„„12分

解法二：建立如图所示的直角坐标系. ∵PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥PC. 设E是线段PB上的一点，令

0zPDEBCPEPB(01).

令PD=AD=2，则

P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),

Axy ∴AP(-2,0,2),PB(2,2,-2),PC(0,2,-2).

∴PE(2,2,2). ∴AEAPPE(22,2,22).„10分 令AEPC0,得222(2-2)=0,得1.

2

∴当1,即点E是线段PB中点时,有AE⊥PC.又∵PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，

2∴AD⊥PC.∴当点E是线段PB中点时,有PC⊥平面ADE. „12分 19、解：∵m(x,1),n(1,ln(xa)),，

∴函数f(x)mn'xln(xa)． „„„„2分

1x2xa(x1)2a1∴f(x)．„4分 2xxa2x(xa)2x(xa)1当x(0，1]时,由于a0,故2x(xa)>0． (1)当a≥1时

f'(x)≥0在区间(0，1]上恒成立， ∴f(x)在区间(0，1]上是增函数．

1a)． „„„8分 ∴f(x)在区间(0，1]上的最大值是f(1)1ln( (2)当0x(0,(11a)2)((11a)2,)． f'(x)＜

0(x1)2a10x((11a)2,(11a)2)． 由于(11a)2＜１，(11a)2＞１，

故函数f(x)在区间(0，(11a)2]上是增函数，在区间（(11a)2，１］上是减函数．

∴f(x)在区间(0，1]上的最大值是f（(11a)2）＝

11aln(221a)．„„„„14分

nan1Snn(n1)18、(本题满分12分)(1)nan1(n1)anan2n20、解： (n1)anSn1(n1)n(n2)an1an2(n2)a12,a2S12a24a2a12综上可知{an}为等差数列an2n

(2)nan1Snn(n1)2n(n1)Snn(n1)Snn(n1)n22n(n1)(n2)n(n1)(n1)(2n)bn1bnn1n222n1b2b3n3bn1bnSnn(n1)bn

33因为b11,b2b3,b1,b2,b3bn的最大值为b2=b3=　2233又因为对于一切正整数n都有bnttt的最小值为2221、解：（1）依题设抛物线C的方程为：y22px(p0) 由条件可知2（

2

）

由

p92p1曲线C的方程为y2x 24题

设

，

过

M

的

li

的

方

程

为

x2t(y1)0y2tyt20 x-2+t(y-1)=0,2yx△=t2+4t+8>0,对于一切t成立，∴过点M的任意一条直线li与C恒有公共点。

(3)设

AiMi,又设Ai(ai2,ai),Bi(bi2,bi)，由定比分点坐标公式得：MBiai2ibi2222iai2ibi21i，消去bi得 1aiibi1iaiibi1i

(1iai)2222(a2a)(1a)0iiiiiii2 22iaii1,(舍去)i(1ai)2(i1,2,3,4)a1,a2,a3,a4成公差不为零的等差数列1-a1,1-a2,1-a3,1-a4亦成公差不为零的等差数列不妨设1-a1,1-a2,1-a3,1-a4分别为a3d,ad,ad,a3d则有 A1MA4MA2MA3M(14)(23)MB1MB4MB2MB3(1a1)2(1a4)2[(1a2)2(1a3)2](a3d)2(a3d)2[(ad)2(ad)2]AMAMAMAM16d21423MB1MB4MB2MB3