大学统计学第七章练习题及答案

第7章 参数估计

练习题

7.1 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。

（1） 样本均值的抽样标准差x等于多少? （2） 在95%的置信水平下，边际误差是多少？

解：⑴已知5,n40,x25

样本均值的抽样标准差xn540100.79 4⑵已知5,n40,x25，x10，195% 4Z2Z0.0251.96

边际误差

EZ2n1.96*101.55 4

7.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客

组成了一个简单随机样本。

（1） 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差； （2） 在95%的置信水平下，求边际误差；

（3） 如果样本均值为120元，求总体均值的95%的置信区间。

解.已知.根据查表得z/2=1.96 （1）标准误差：X（2）．已知z/2=1.96

所以边际误差=z/2*

n15492.14

sn1.96*sn1549=4.2

（3）置信区间：xZ212015491.96115.8,124.2

1

7.3 从一个总体中随机抽取n100的随机样本，得到x104560，假定总体标准差

85414，构建总体均值的95%的置信区间。

Z1.96

2Z2n1.96*8541410016741.144

xZ

2.n10456016741.14487818.856xZ

2.n10456016741.144121301.144置信区间：（87818.856，121301.144）

7.4 从总体中抽取一个n100的简单随机样本，得到x81，s12。（1） 构建的90%的置信区间。 （2） 构建的95%的置信区间。 （3） 构建的99%的置信区间。 解；由题意知n100, x81,s12.

（1）置信水平为190%，则Z1.645.

2由公式xzs811.64512

2n100811.974即811.97479.026,82.974, 则的90%的置信区间为79.026~82.974 （2）置信水平为195%， z1.96

2由公式得xzs2n=811.9612100812.352 即812.352=（78.648，83.352）， 则的95%的置信区间为78.648~83.352

（3）置信水平为199%，则Z2.576.

2 2

s12由公式xz=812.576096

2n100813.即813.1

则的99%的置信区间为

7.5 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。

（1）x25，3.5，n60，置信水平为95%。

（2）x119.6，s23.89，n75，置信水平为98%。 （3）x3.419，s0.974，n32，置信水平为90%。 ⑴X25,3.5,n60,置信水平为95% 解：Z1.96,

2 Z0.89

2n1.963.560 置信下限：XZ250.8924.11

2n 置信上限：XZ.8925.89

2n250置信区间为（24.11，25.89）

⑵X119.6,s23.89，n75，置信水平为98%。 解：Z2.33

2 Zs2.3323.892n756.43

置信下限：XZsn119.66.43113.17

2 置信上限：XZsn119.66.43126.03

2 置信区间为（113.17，126.03）

⑶x=3.419,s=0.974,n=32,置信水平为90%

3

根据t=0.1，查t 分布表可得Z0.05(31)1.645.Z/2(所以该总体的置信区间为

sn)0.283

x/2（

sn)=3.4190.283

即3.4190.283=（3.136 ，3.702） 所以该总体的置信区间为3.136~3.702.

7.6 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。

（1） 总体服从正态分布，且已知500，n15，x8900，置信水平为95%。 （2） 总体不服从正态分布，且已知500，n35，x8900，置信水平为95%。 （3） 总体不服从正态分布，未知，n35，x8900，s500，置信水平为

90%。

（4） 总体不服从正态分布，未知，n35，x8900，s500，置信水平为

99%。

（1）解：已知500，n15，x8900，1-95%，z1.96

2xz2n89001.9650015(8647,9153)

所以总体均值的置信区间为（8647，9153）

（2）解：已知500，n35，x8900，1-95%，z1.96

2xz2n89001.9650035(8734,9066)

所以总体均值的置信区间为（8734，9066）

（3）解：已知n35，x8900，s=500,由于总体方差未知，但为大样本，

可用样本方差来代替总体方差

∵置信水平1—=90% ∴z1.645

2∴置信区间为xz2sn811.64550035(8761,9039)

所以总体均值的置信区间为（8761，9039）

（4）解：已知n35，x8900，s500，由于总体方差未知，但为大样

本，可用样本方差来代替总体方差

4

置信水平1—α=99% ∴z2.58

2∴置信区间为xz2sn89002.5850035(8682,9118)

所以总体均值的置信区间为（8682，9118）

7.7 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽

取36人，调查他们每天上网的时间，得到的数据见Book7.7（单位：h）。求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。 解：已知：x3.3167 s1.6093 n=36 1.当置信水平为90%时，z1.645，

2xz2sn3.31671.6451.6093363.31670.4532

所以置信区间为（2.88，3.76）

2.当置信水平为95%时，z1.96，

2xz2sn3.31671.961.6093363.31670.5445

所以置信区间为（2.80，3.84）

3.当置信水平为99%时，z2.58，

2xz2sn3.31672.581.6093363.31670.7305

所以置信区间为（2.63，4.01）

7.8 从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，各样本值见Book7.8。求总体均值95%

的置信区间。

已知：总体服从正态分布，但未知，n=8为小样本，0.05，t0.05(81)2.365

2根据样本数据计算得：x10,s3.46

5

总体均值的95%的置信区间为： xt2sn102.3653.468102.89，即（7.11，

12.89）。

7.9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样

本，他们到单位的距离（单位：km）数据见Book7.9。求职工上班从家里到单位平均距离95%的置信区间。

已知：总体服从正态分布，但未知，n=16为小样本，=0.05，t0.05/2(161)2.131 根据样本数据计算可得：x9.375，s=4.113 从家里到单位平均距离得95%的置信区间为：

xt/2sn9.3752.1314.113149.3752.191，

即（7.18，11.57）。

7.10 从一批零件中随机抽取36个，测得其平均长度为149.5cm，标准差为1.93cm。

（1） 试确定该种零件平均长度95%的置信区间。

（2） 在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。 解：已知103,n=36, x=149.5,置信水平为1-=95%，查标准正态分布表得

/2=1.96.

根据公式得： x/2103=149.51.96 n3610336=（148.9，150.1）

即149.51.96答：该零件平均长度95%的置信区间为148.9~150.1

（3） 在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。

答：中心极限定理论证。如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这

个总体的分布如何，随着样本容量的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。在现实生活中，一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随即变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件下，样本均值也趋近正态分布，这位抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。

6

7.11 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100g。现从某天生产的

一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量（单位：g）见Book7.11。 已知食品重量服从正态分布，要求：

（1） 确定该种食品平均重量的95%的置信区间。

（2） 如果规定食品重量低于100g属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区

间。 (1)已知:总体服从正态分布，但未知。n=50为大样本。=0.05，0.05/2=1.96 根据样本计算可知 =101.32 s=1.63 该种食品平均重量的95%的置信区间为

/2s/n101.321.96*1.63/50101.320.45

即（100.87，101.77）

（2）由样本数据可知，样本合格率：p45/500.9。该批食品合格率的95%的置信区间为： p/2p(1p)0.9(10.9)=0.91.96=0.90.08，即（0.82，0.98） n50 答：该批食品合格率的95%的置信区间为：（0.82，0.98）

7.12 假设总体服从正态分布，利用Book7.12的数据构建总体均值的99%的置信区间。

根据样本数据计算的样本均值和标准差如下；

x=16.13 =0.8706 E= Z20.8706=2.58*=0.45

5n置信区间为xE 所以置信区间为（15.68，16.58）

7.13 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了18

名员工，得到他们每周加班的时间数据见Book7.13（单位：h）。假定员工每周加班的时间服从正态分布，估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区间。

解：已知x=13.56 7.80 E=*20.1 n=18

n

n, x+2 置信区间=[x-2n]

7

所以置信区间=[13.56-1.645*(7.80/18), 13.56+1.645*(7.80/18)] =[10.36, 16.76] 7.14 利用下面的样本数据构建总体比例的置信区间。

（1）n44，p0.51，置信水平为99%。 （2）n300，p0.82，置信水平为95%。 （3）n1150，p0.48，置信水平为90%。 （1）n44，p0.51，置信水平为99%。 解：由题意,已知n=44, 置信水平a=99%, Za/2=2.58 又检验统计量为： PZ

p(1p)n，故代入数值计算得， PZp(1p)n=（0.316，0.704）， 总体比例的置信区间为（0.316，0.704）

（2）n300，p0.82，置信水平为95%。 解：由题意,已知n=300, 置信水平a=95%, Za/2=1.96 又检验统计量为： PZ

p(1p)n，故代入数值计算得， PZp(1p)n=（0.777，0.863）， 总体比例的置信区间为（0.777，0.863）

（3）n1150，p0.48，置信水平为90%。 解：由题意,已知n=1150, 置信水平a=90%, Za/2=1.645 又检验统计量为： PZ

p(1p)n，故代入数值计算得， 8

PZ

p(1p)=（0.456，0.504）， 总体比例的置信区间为（0.456，0.504） n 7.15 在一项家电市场调查中，随机抽取了200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电

视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比例的置信区间，置信水平分别为90%和95%。

解：由题意可知n=200，p=0.23

（1）当置信水平为1-=90%时，Z/2=1.645 所以pz/2

p(1p)0.23(10.23)0.231.645=0.230.04895 n200 即0.230.04895=（0.1811，0.2789）， （2）当置信水平为1-=95%时，Z/2=1.96 所以pz/2p(1p)0.23(10.23)0.231.96=0.230.05832 n200 即0.230.05832=（0.1717，0.28835）；

答：在居民户中拥有该品牌电视机的家庭在置信水平为90%的置信区间为（18.11%，27.89%），在置信水平为95%的置信区间为（17.17%，28.835%）

7.16 一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额。他假设所有顾客月存

款额的标准差为1000元，要求估计误差在200元以内，应选取多大的样本？ 解：已知

1000,E=1000,199%,z/22.58

z2/2*2由公式n可知n=(2.58*2.58*1000*1000)/(200*200)=167 2E答：置信水平为99%，应取167个样本。 7.17 要估计总体比例，计算下列个体所需的样本容量。

（1）E0.02，0.40，置信水平为96%。 （2）E0.04，未知，置信水平为95%。 （3）E0.05，0.55，置信水平为90%。

9

（1）解：已知E0.02， 0.40,， /2=2.05 由

n/2(1)/2得

222 n2.050.40(10.4)0.02=2522 答：个体所需的样本容量为2522。

（2）解：已知E0.04， /2=1.96 由

n/2(1)/2得

2n1.9620.520.042601

答：个体所需的样本容量为601。

（3）解：已知0.05，

由

20.55， /2=1.645

n/2(1)/2得

n1.64520.550.450.052=268

答：个体所需的样本容量为268。

7.18 某居民小区共有居民500户，小区管理者准备采取一向新的供水设施，想了解居民是

否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了50户，其中有32户赞成，18户反对。 （1） 求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间，置信水平为95%。 （2） 如果小区管理者预计赞成的比例能达到80%，应抽取多少户进行调查？ （1）已知：n=50 Z1.96

2根据抽样结果计算的样本比例为P=32/50=60% 根据（7.8）式得： PP(1P)n64%1.9664%(164%)50

即 64%12.63%(51.37%,76.63%) 答：置信区间为（51.37%，76.63%）

（2）已知80% 10% Z1.96

2 10

Z22*(1)1.962*0.8(10.8)62 则有：n220.1答：应抽取62户进行调查

7.19 根据下面的样本结果，计算总体标准差的90%的置信区间。

（1）x21，s2，n50。 （2）x1.3，s0.02，n15。 （3）x167，s31，n22。 解：已知190%，10%,1) 查表知(n1)67，221220.05,120.95

2(n1)34

由公式

(n1)s2222(n1)s221

2(501)*22(501)*22得，解得（1.72，2.40） 67342) 查表知(n1)23.6848，22212(n1)6.57063

由公式

(n1)s2222(n1)s2212

(151)*0.022(151)*0.022得，解得（0.015，0.029） 23.68486.570633) 查表知(n1)32.6705，22212(n1)11.5913

由公式

(n1)s2222(n1)s221

2(221)*312(221)*312得，解得（24.85，41.73） 32.670511.5913

7.20 顾客到银行办理业务时往往需要等待一些时间，而等待时间的长短与许多因素有关，

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比如，银行的业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等等。为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取了10名顾客，他们在办理业务时所等待的时间（单位：min）见Book7.20。

（1） 构建第一种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。 （2） 构建第二种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。 （3） 根据（1）和（2）的结果，你认为哪种排队方式更好？ 7.21 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：

来自总体1的样本

来自总体2的样本

n114 n27

x153.2 x243.4

s2196.8

s22102.0

（1） 求12的90%的置信区间。 （2） 求12的95%的置信区间。 （3） 求12的99%的置信区间。

7.22 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：

来自总体1的样本

来自总体2的样本

x125 x223

s2116

s2220

（1） 设n1n2100，求1295%的置信区间。

（2） 设n221n210，12，求12的95%的置信区间。 （3） 设n221n210，12，求12的95%的置信区间。 （4） 设n110,n22220，12，求12的95%的置信区间。 （5） 设n22110,n220，12，求12的95%的置信区间。

7.23 Book7.23是由4对观察值组成的随机样本。

（1） 计算A与B各对观察值之差，再利用得出的差值计算d和sd。

12

（2） 设1和2分别为总体A和总体B的均值，构造d12的95%的置信区

间。

7.24 一家人才测评机构对随机抽取的10名小企业的经理人用两种方法进行自信心测试，得

到的自信心测试分数见Book7.24。构建两种方法平均自信心得分之差d12的95%的置信区间。

7.25 从两个总体中各抽取一个n1n2250的独立随机样本，来自总体1的样本比例为

p140%，来自总体2的样本比例为p230%。

（1） 构造12的90%的置信区间。 （2） 构造12的95%的置信区间。

7.26 生产工序的方差是工序质量的一个重要度量。当方差较大时，需要对工序进行改进以

减小方差。两部机器生产的袋茶重量（单位：g）的数据见Book7.26。构造两个总体

方差比12的95%的置信区间。

7.27 根据以往的生产数据，某种产品的废品率为2%。如果要求95%的置信区间，若要求

边际误差不超过4%，应抽取多大的样本？

解：已知P=2% E=4% 当置信区间1-为95%时

22=

2p(1p)n2p(1p) n=

22p

1-=0.95 =0.025=1.96

22p(1p)

N=

22p1.9620.020.98==47.06

0.042答：所以应取样本数48。

7.28 某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约为

120元，现要求以95%的置信水平估计每个购物金额的置信区间，并要求边际误差不超

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过20元，应抽取多少个顾客作为样本？

解：已知120，E20，当a0.05时，z0.05/21.96。

(z/2)221.962*1202139 应抽取的样本量为：n22E20

7.29 假定两个总体的标准差分别为112，215，若要求误差范围不超过5，相应的

置信水平为95%，假定n1n2，估计两个总体均值之差12时所需的样本量为多大。

7.30 假定n1n2，边际误差E0.05，相应的置信水平为95%，估计两个总体比例之差

为12时所需的样本量为多大。

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