线面平行问题
一．选择题（共12小题）
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（ ） A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交
2．A，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题 ①④
⇒a∥b ②⇒α∥β ⑤
⇒a∥b ③⇒α∥a ⑥
⇒α∥β ⇒α∥a
其中正确的命题是（ ） A．①②③ B．①④⑤ C．①④ 3．下列说法正确的是（ ） A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面 C．梯形一定是平面图形
D．过平面外一点只有一条直线与该平面平行 4．能保证直线与平面平行的条件是（ ） A．直线与平面内的一条直线平行 B．直线与平面内的某条直线不相交 C．直线与平面内的无数条直线平行 D．直线与平面内的所有直线不相交
5．如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（ ）
D．①③④
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
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6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A． B． C． D．
7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则下列直线中与平面ACE平行的是（ ） A．BA1 B．BD1 C．BC1 D．BB1
8．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H，G分别是BC，CD的中点，则（ ）
A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形 B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形 D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
9．在三棱锥S﹣ABC中，E，F分别为SB，SC上的点，且EF∥面ABC，则（ ） A．EF与BC相交
B．EF∥BC C．EF与BC异面 D．以上均有可能
10．如图是某几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，以下结论一定成立的是（ ）
A．直线 BE∥PF
B．B．直线EF∥平面PBC
C．平面BCE⊥平面PAD
D．D．直线PB与DC所成角为60°
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11．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD：DB=AE：EC，如图，则BC与α的位置关系是（ ）
A．异面 B．相交 C．平行或相交 D．平行
12．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E是边AB的中点，将△ADE沿DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在翻折过程中，有下列四个命题：①存在某个位置，使MB∥平面A1DE；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置使DE⊥A1C；④BM的长是定值，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④
二．解答题（共18小题）
C．①③④ D．②③④
13．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点． （Ⅰ）求证：FG∥平面PBD； （Ⅱ）求证：BD⊥FG．
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14．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB=2，PC与平面ABCD所成角是45°．F是AD的中点，M是PC的中点，求证．DM∥平面PFB．
15．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点． （1）求证：PQ∥平面SAD；
（2）若SA=AB=2，求三棱锥S﹣ABC的体积．
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16．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若D为BB1上一点，M为AB的中点，N为BC的中点．求证：MN∥平面A1C1D．
17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点． （1）求证：DE∥平面PBC； （2）求证：AB⊥PE；
（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．
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18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，M，N分别是A1B1，BC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC1A1； （II）求二面角M﹣AN﹣B的余弦值．
19．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点． （1）求证：BN∥平面A1MC；
（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．
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20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，为线段AD，PB的中点． （1）证明：PD∥平面CEF；
（2）若PE⊥平面ABCD，PE=AB=2，求四面体P﹣DEF的体积．
，E，F分别
21．如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE=AB，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点． （1）求证：MN∥平面BEC； （2）求证：AH⊥CE．
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22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=2，D为棱CC1的中点AB1∩A1B=O． （1）证明：C1O∥平面ABD； （2）已知AC⊥BC，△ABD的面积为求
．
，E为线段A1B上一点，且三棱锥C﹣ABE的体积为，
23．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点 （1）求证：PB∥平面EFG； （2）求证：BC⊥EG．
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24．如图，在几何体ABC﹣A1B1C1中，点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，且AB⊥BC，AA1=BB1=4，AB=BC=CC1=2，E为AB1中点， （Ⅰ）求证；CE∥平面A1B1C1，
（Ⅱ）求证：求二面角B1﹣AC1﹣C的大小．
25．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等边三角形，AB=2，∠A1AB=∠A1AC=60°，M，N分別为AB，A1C1的中点． （1）证明：MN∥平面BCC1B1； （2）若MN=
，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积．
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26．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为菱形，∠BAD=120°，AB=2，E，F为CD，AA1中点． （1）求证：DF∥平面B1AE；
（2）若AA1⊥底面ABCD，且直线AD1与平面B1AE所成线面角的正弦值为，求AA1的长．
27．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，BC1∩B1C=E．求证：
（Ⅰ）DE∥平面AA1C1C； （Ⅱ）BC1⊥AB1．
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28．四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面ABCD，E是PC的中点． （1）求证：PA∥平面BDE； （2）求证：BD⊥PC．
29．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点． （1）求证：B1D1∥平面A1BD； （2）求证：MD⊥AC．
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30．如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（1）求证：AC∥平面BEF； （2）求四面体BDEF的体积．
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参考答案
一．选择题（共12小题）
1．解：根据线面平行的定义可知直线与平面无交点 ∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α没有公共点
从而直线a与平面α内任意一直线都没有公共点，则不相交 故选：D．
2．解：根据平行公理可知①正确； 根据面面平行的判定定理可知④正确； 对于②错在a、b可能相交或异面． 对于③错在α与β可能相交， 对于⑤⑥错在a可能在α内． 故选：C．
3．解：∵不在一条直线上的三点确定一个平面，三点在一条直线上时不能确定平面∴A不正确； ∵点在直线上时，不能确定平面，∴B不正确；
∵梯形有两条边平行，两条平行线确定一个平面，梯形的两腰也在平面内，∴C正确； ∵过平面外一点与平面平行的平面内，过该点的直线都符合条件，∴D不正确． 故选：C．
4．解：A不正确，因为由直线与平面内的一条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内． B不正确，因为由直线与平面内的某条直线不相交，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内，也可能和平面相交．
C不正确，因为由直线与平面内的无数条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内． D正确，因为由直线与平面内的所有直线不相交，依据直线和平面平行的定义可得直线与平面平行． 故选：D．
5．解：如图，任取线段A1B上一点M，过M作MH∥AA1，交AB于H，过H作HG∥AC交BC于G， 过G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数个． 故选：D．
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6．解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意； 对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意； 对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意； 所以选项A满足题意， 故选：A．
7．解：连结BD1，AC、BD，设AC∩BD=O，连结OE， ∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点， ∴O是BD中点，∴OE∥BD1， ∵OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE， ∴BD1∥平面ACE． 故选：B．
8．解：如图， 由条件知，EF∥BD，∴EF∥HG，且
；
，GH∥BD，且
；
∴四边形EFGH为梯形；
EF∥BD，EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD； ∴EF∥平面BCD；
若EH∥平面ADC，则EH∥FG，显然EH不平行FG； ∴EH不平行平面ADC； ∴选项B正确． 故选：B．
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9．证明：如图∵E，F分别为SB，SC上的点，且EF∥面ABC， 又∵EF⊂平面SBC，平面SBC∩平面ABC=BC， ∴EF∥BC． 故选：B．
10．解：如图所示，连接EF，BE∥PF显然不正确，是异面直线；
∵E、F分别为PA、PD的中点，∴EF∥AD，∵AD∥BC，∴EF∥BC，∴直线EF∥平面PBC，选项B正确； EF∥BC，∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，④由于不能推出线面垂直，故平面BCE⊥平面PAD不成立．选项C不正确；
直线PB与DC所成角就是PB与AB所成角， 不确定为60°，选项D不正确； 故选：B．
11．证明：∵AD：DB=AE：EC， ∴DE∥BC，
∵DE⊂平面α，BC⊄平面α， ∴BC∥平面α． 故选：D．
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12．解：对于①：
取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE， ∴平面MBF∥平面A1DE， ∴MB∥平面A1DE，故①正确 对于②： ∵B是定点，
∴M是在以B为球心，MB为半径的球上，故②正确， 对于③：
若③成立，则由 DE⊥CE，可得 DE⊥面A1EC ∴DE⊥A1E，而这与DA1⊥A1E矛盾，故③错误． 对于④：
由∠A1DE=∠MFB，MF=A1D=定值，FB=DE=定值，
由余弦定理可得MB2=MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故④正确． 故正确的命题有：①②④， 故选：B．
二．解答题（共18小题）
13．证明：（Ⅰ）连接PE，G、F为EC和PC的中点，
∴FG∥PE，FG⊄平面PBD，PE⊂平面PBD， ∴FG∥平面PBD…（6分） （Ⅱ）∵菱形ABCD，∴BD⊥AC， 又PA⊥面ABCD，BD⊂平面ABCD，
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∴BD⊥PA，
∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且PA∩AC=A， ∴BD⊥平面PAC，FG⊂平面PAC， ∴BD⊥FG…（14分）
14．证明：∵PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB=2，PC与平面ABCD所成角是45°． F是AD的中点，M是PC的中点，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴， 建立空间直角坐标系，
D（0，0，0），M（0，1，1），P（0，0，2）， F（1，0，0），B（2，2，0）， =（0，1，1），=（2，2，﹣2），
设平面PFB的法向量=（x，y，z）， 则
，
=（1，0，﹣2），
取z=1，得=（2，﹣1，1）， ∵
=0，DM⊄平面PFB，
∴DM∥平面PFB．
第17页（共29页）
15．证明：（1）取CD中点G，连结PG、QG，
∵在四棱锥S﹣ABCD中，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点． ∴PG∥SD，QG∥AD， ∵PG∩QG=G，SD∩AD=D， ∴平面PGQ∥平面SDA，
∵PQ⊂平面PGQ，∴PQ∥平面SAD．
（2）∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°， SA=SD，SA=AB=2， ∴SE⊥AD，SE=
，
∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD， ∴SE⊥平面ABC， ∵S△ABC=
∴三棱锥S﹣ABC的体积V=
=
，
=
=1．
16．证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为AB的中点，N为BC的中点， ∴MN∥AC， 又AC∥A1C1， ∴MN∥A1C1，
又MN⊄面A1C1D，A1C1⊂面A1C1D， ∴MN∥面A1C1D．
17．证明：（1）∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE∥BC，
又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴DE∥平面PBC． （2）连接PD，
第18页（共29页）
∵DE∥BC，又∠ABC=90°， ∴DE⊥AB，
又PA=PB，D为AB中点， ∴PD⊥AB，
又PD∩DE=D，PD⊂平面PDE，DE⊂平面PDE， ∴AB⊥平面PDE，又PE⊂平面PDE， ∴AB⊥PE．
（3）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD⊂平面PAB， ∴PD⊥平面ABC，
∵△PAB是边长为2的等边三角形，∴PD=∵E是AC的中点， ∴
．
，
18．解：
解法一：依条件可知AB、AC，AA1两两垂直， 如图，以点A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz．
根据条件容易求出如下各点坐标：A（0，0，0），B（0，2，0），C（﹣1，0，0），A1（0，0，2），B1（0，2，2），C1（﹣1，0，2），M（0，1，2），（I）证明：∵
是平面ACCA1的一个法向量， 且所以
，
又∵MN⊄平面ACC1A1，∴MN∥平面ACC1A1
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（II）设=（x，y，z）是平面AMN的法向量， 因为
，
由
得
解得平面AMN的一个法向量=（4，2，﹣1） 由已知，平面ABC的一个法向量为=（0，0，1）
∴二面角M﹣AN﹣B的余弦值是 解法二：
（I）证明：设AC的中点为D，连接DN，A1D ∵D，N分别是AC，BC的中点， ∴又∵∴
∴A1D∥MN
∵A1D⊂平面ACC1A1，MN⊄平面ACC1A1 ∴MN∥平面ACC1A1
（II）如图，设AB的中点为H，连接MH， ∴MH∥BB1 ∵BB1⊥底面ABC， ∵BB1⊥AC，BB1⊥AB， ∴MH⊥AC，MH⊥AB
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，
，∴四边形A1DNM是平行四边形
∴AB∩AC=A ∴MH⊥底面ABC
在平面ABC内，过点H做HG⊥AN，垂足为G 连接MG，AN⊥HG，AN⊥MH，HG∩MH=H ∴AN⊥平面MHG，则AN⊥MG ∴∠MGH是二面角M﹣AN﹣B的平面角 ∵MH=BB1=2， 由△AGH∽△BAC，得所以所以
∴二面角M﹣AN﹣B的余弦值是
19．证明：（1）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AB∥A1B1，且AB=A1B1， 又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB∥A1N．
所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M∥BN． 又BN⊄平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN∥平面A1MC；
（2）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1， 所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．
又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．
则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB， CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．
又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM． 又AB1⊥A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1M∩MC=M，
第21页（共29页）
所以AB1⊥平面A1MC． 又A1C⊂平面A1MC，所以AB⊥A1C．
20．（1）证明：连接BE、BD，BD交CE于点O， ∵E为线段AD的中点，AD∥BC，∴BC∥ED，
∴四边形BCDE为平行四边形， ∴O为BD的中点，又F是BP的中点， ∴OF∥PD，
又OF⊂平面CEF，PD⊄平面CEF， ∴PD∥平面CEF；
（2）解：由（1）知，四边形BCDE为平行四边形，∴BE∥CD， ∵四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，∴AB=AE=BE，
∴三角形ABE是等边三角形， ∴
，
，
， ，
做BH⊥AD于H，则
∵PE⊥平面ABCD，PE⊂平面PAD， ∴平面PAD⊥平面ABCD，
又平面PAD∩平面ABCD=AD，BH⊥AD，BH⊂平面ABCD， ∴BH⊥平面PAD， ∴点B到平面PAD的距离为又∵F为线段PB的中点，
∴点F到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离的一半，即
，又
，
，
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∴=．
21．证明：（1）取CD中点F，连结NF、MF，
∵矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直， M，N，H分别为DE，AB，BE的中点． ∴NF∥BC，MF∥CE， ∵NF∩MF=F，BC∥CE=C，
NF、MF⊂平面MNF，BC、CE⊂平面BCE， ∴平面BCE∥平面MNF，
∵MN⊂平面MNF，∴MN∥平面BEC． （2）∵AE=AB，H为BE的中点，∴AH⊥BE．
∵矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直， ∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AH， ∵BE∩BC=B，∴AH⊥平面BCE， ∴AH⊥CE．
第23页（共29页）
22．证明：（1）取AB的中点F，连接OF，DF， ∵侧面ABB1A1为平行四边形，∴O为AB1的中点， ∴
，又
，∴
，
∴四边形OFDC1为平行四边形，则C1O∥DF． ∵C1O⊄平面ABD，DF⊂平面ABD，∴C1O∥平面ABD． 解：（2）过C作CH⊥AB于H，连接DH， ∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AB．
又CH∩CD=C，∴AB⊥平面CDH，∴AB⊥DH． 设BC=x，则
，
，
，
∴△ABD的面积为
设E到平面ABC的距离为h， 则
∴E与O重合，
．
，∴x=2．
，∴h=1，
23．证明：（1）∵点F，G分别为BC，PC，的中点， ∴GF∥PB，
∵PB⊄平面EFG，FG⊂平面EFG， ∴PB∥平面EFG．
（2）∵在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC， 点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点， ∴EF∥AC，GF∥PB， ∴EF⊥BC，GF⊥BC，
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∵EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG， ∵EG⊂平面EFG，∴BC⊥EG．
24．（Ⅰ）证明：∵点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C， ∴AA1∥BB1∥CC1，
取A1B1中点F，连接EF，FC，则EF∥A1A，EF=A1A， ∵AA14，CC1=2，∴CC1∥A1A，CC1=A1A， ∴CC1∥EF，CC1=EF，
∴四边形EFC1C为平行四边形， ∴CE∥C1F，
∵CE⊄平面A1B1C1，C1F⊂平面A1B1C1， ∴CE∥平面A1B1C1；
（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），B1（0，0，4），C1（0，2，2）， ∴
=（﹣2，2，0），
=（0，0，2），
=（﹣2，0，4），
，
=（0，2，﹣2）．
设平面ACC1的法向量为=（x，y，z），则令x=1，则=（1，1，0）．
同理可得平面AB1C1的法向量为=（2，1，1）， ∴cos＜，＞=
=
．
由图可知二面角B1﹣AC1﹣C为钝角， ∴二面角B1﹣AC1﹣C的大小为150°．
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25．证明：（1）如图，取BC中点P，连接MP，C1P． ∵M为AB的中点，∴MP∥AC，且MP=AC． 又AC∥A1C1，AC=A1C1，且NC1=∴NC1∥MP，且NC1=MP．
∴四边形MNC1P为平行四边形，∴NM∥PC1． 又PC1⊂平面BCC1B1，MN⊄平面BCC1B1， ∴MN∥平面BCC1B1．…………（4分）
解：（2）如图，作BH⊥A1A，交AA1于H，连接CH． ∵AC=AB，∠A1AB=∠A1AC，AH为公共边， ∴△ABH≌△ACH，∴∠CHA=∠BHA． ∴BH⊥AA1，⊥AA1．
而BH∩CH=H，∴A1A⊥平面BCH，A1A⊥BC． 又A1A∥C1C，∴C1C⊥BC． 在直角△C1CP中，CP=
=1，C1P=MN=
．
．……（12分）
，∴C1C=
．
，
在直角△ABH中，BH=ABsin60°=
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积S=4×
26．证明：（1）设G为AB1的中点，连EG，GF， 因为FG
，又DE
，所以FG
DE，
所以四边形DEGF是平行四边形， 所以DF∥EG
又DF⊄平面B1AE，EG⊂平面B1AE， 所以DF∥平面B1AE．
第26页（共29页）
解：（2）因为ABCD是菱形，且∠ABD=60°， 所以△ABC是等边三角形 取BC中点G，则AG⊥AD， 因为AA1⊥平面ABCD， 所以AA1⊥AG，AA1⊥AD
建立如图的空间直角坐标系，令AA1=t（t＞0）， 则A（0，0，0），
，
设平面B1AE的一个法向量为则取
，
且
，
，，
，
，D1（0，2，t），
，
设直线AD1与平面B1AE所成角为θ， 则
解得t=2，故线段AA1的长为2．
，
第27页（共29页）
27．证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1∩B1C=E， ∴E是B1C的中点，
∵AB1的中点为D，∴DE∥AC， ∵AC⊂平面AA1C1C，DE⊄平面AA1C1C， ∴DE∥平面AA1C1C．
（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=CC1， ∴BC1⊥B1C，AC⊥CC1，又AC⊥BC，BC∩CC1=C， ∴AC⊥平面BCC1B1，∴AC⊥BC1， ∵AC∩B1C=C，∴BC1⊥平面ACB1， ∴BC1⊥AB1．
28．证明：（1）连接AC，OE，则AC经过正方形中心点O， 且O是AC的中点，又E是PC的中点， ∴OE∥PA，又OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE， ∴PA∥平面BDE．
（2）∵PO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴PO⊥BD，
四边形ABCD是正方形， ∴BD⊥AC，
又PO∩AC=O，PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC， ∴BD⊥PC．
29．（1）证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1， 又∵BB1=DD1，∴BB1D1D是平行四边形， ∴B1D1∥BD．
第28页（共29页）
而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD， ∴B1D1∥平面A1BD．
（2）证明∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴BB1⊥AC．
又∵BD⊥AC，且BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1D． 而MD⊂平面BB1D，∴MD⊥AC．
30．证明：（1）设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG， 所以，OG∥DE，且OG=DE． 因为AF∥DE，DE=2AF， 所以AF∥OG，且OG=AF，
从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA． 因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，
所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（6分） 解：（2）因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
所以AB⊥平面ADEF．因为AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2AF=2 所以△DEF的面积为S△DEF=×ED×AD=2，
所以四面体BDEF的体积V=•S△DEF×AB=（12分）
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