高中数学第10讲椭圆及双曲线的第二定义

第10讲 椭圆及双曲线的第二定义

一． 椭圆

1. 第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线l（F不在l上）的距离之比等于常数e

（0a2定点F是椭圆的焦点，定直线l叫椭圆的准线（l:x），常数e是椭圆的离心

c率。

2. 焦半径：椭圆上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径

设椭圆焦点在x轴上，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P(x0,y0)是椭圆上任一点，则

（简记为：左+右-） PF1aex0,PF2aex0。3. 焦点弦：过椭圆焦点的弦称为椭圆的焦点弦。

设过椭圆的焦点F1(-c,0)的弦为AB，其中A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB2ae(x1x2)

4. 通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，其长

H1H22b2a

例1. 椭圆

x2100y2641上有一点P，它到右焦点的距离为14，求点P到左准线的距离。

例2. 若椭圆

x24y231内有一点P(1,-1)，F为右焦点，在该椭圆上求一点M，使得

MP2MF最小，并且求最小值

例3. 已知椭圆

少？

二． 双曲线

1. 第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线l（F不在l上）的距离之比等于常数e

（e>1），则动点M的轨迹叫做双曲线。

x225y291，若椭圆上有一点P到右焦点的距离是1，则点P的坐标为多

a2定点F是双曲线的焦点，定直线l叫双曲线的准线（l:x），常数e是双曲线

c的离心率。

2. 焦半径：双曲线上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径

设双曲线焦点在x轴上，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，若P(x0,y0)是双曲线左支上任

一点，则

PF1-a-ex0,PF2aex0。若P(x0,y0)是双曲线右支上任一点，则

PF1aex0,PF2-aex0。

高中数学

3. 通径：过双曲线的焦点与双曲线的实轴垂直的直线被双曲线所截得的线段称为双曲线的

通径，其长H1H24. 共轭双曲线：

2b2a

x2y2x2y2双曲线2-21的共轭双曲线是2-2-1，双曲线与共轭双曲线的离心率

abab分别是e1,e2，则有

111和e1e222 22e1e2性质：(1) 双曲线和它的共轭双曲线有相同的渐近线

(2) 双曲线和它的共轭双曲线有相同的焦距(焦点不同)

例4. 若双曲线

x23-y21右支上一点P到左焦点的距离为43，则P到右准线的距离为

多少？

y2-1，右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9,2),求例5. 已知双曲线

916x2MA3MF2最小值 52y211上求一点P，使得PAPF的值最练习:已知点A(3,1),F(2,0)，在双曲线x-32小

y2-1上，求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的2倍。例6. 在双曲线

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