2.1 向量的线性运算 2.1.1 向量的概念
1.理解向量、零向量、基线、向量模的意义.(重点)
2.掌握向量的几何表示，会用字母表示向量，用向量表示点的位置. 3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间共线(平行)、相等的关系.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 向量及其几何表示
阅读教材P77～P78“第17行”以上内容，完成下列问题. 1.向量的定义
具有大小和方向的量称为向量. 2.自由向量
只有大小和方向，而无特定的位置的向量叫做自由向量. 3.向量的表示
(1)有向线段：具有方向的线段.
→→
(2)向量可以用有向线段表示，向量AB的大小，也就是向量AB的长度，记作→
|AB|，向量也可以用字母a，b，c，……表示，也可以用有向线段的起点和终点→→
字母表示，如：AB，CD.
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(3)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量可以比较大小.( )
(2)坐标平面上的x轴和y轴都是向量.( ) (3)某个角是一个向量.( )
(4)体积、面积和时间都不是向量.( )
【解析】 因为向量之间不可以比较大小，故(1)错；x轴、y轴只有方向，没有大小，故(2)错；因为角只有大小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时间只有大小没有方向，都不是向量，所以(4)正确.
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ 教材整理2 向量的有关概念
阅读教材P78“第18行”～P79以上内容，完成下列问题.
1.零向量：长度等于零的向量，叫做零向量，记作0.规定：零向量与任意向量平行.
2.相等向量：同向且等长的向量叫做相等向量.
3.平行向量(共线向量)：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行.也就是说方向相同或相反向量叫做平行向量，也叫共线向量.向量a平行于b，记作a∥b.
→
4.位置向量：任给一定点O和向量a，过点O作有向线段OA＝a，则点A相→
对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量OA，又常叫做点A相对于点O的位置向量.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)单位向量都平行.( )
(2)零向量与任意向量都平行.( ) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
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→→
(4)|AB|＝|BA|.( )
【解析】 (1)错误，长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，单位向量有无数多个且每个都有确定的方向，故单位向量不一定平行；(2)正确，零向量的方向是任意的，故零向量与任意向量都平行；(3)错误，若b＝0，则(3)不成立；(4)正确.故只有(2)(4)正确.
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
向量的有关概
念
判断下列命题是否正确，请说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
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(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b； (4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行； (5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.
【精彩点拨】 解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素.
【自主解答】 (1)不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小.
(2)不正确.由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系. (3)正确.因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b. (4)不正确.依据规定：0与任意向量平行.
(5)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定.
求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等.
[再练一题] 1.给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②向量的模一定是正数；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； →→
④向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上. 其中正确命题的序号是________.
【解析】 ①错误.由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系.
②错误.0的模|0|＝0.
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③正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的. ④错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个→→
向量AB，CD必须在同一直线上.
【答案】 ③
向量的表示及应 用 某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东
北方向走了102米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.
→→→
(1)作出向量AB，BC，CD； →
(2)求AD的模.
【精彩点拨】 可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量.→→可把AD放在直角三角形中求得|AD|.
→→→
【自主解答】 (1)作出向量AB，BC，CD，如图所示：
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝102米，CD＝10米，所以BD＝10米.△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝
→
5＋10＝55(米)，所以|AD|＝55米.
2
2
1.向量的两种表示方法：
(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的
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长度确定向量的终点.
(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何
→→
中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB，CD，→EF等.
2.两种向量表示方法的作用：
(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础.
(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算. [再练一题]
2.一辆汽车从点A出发，向西行驶了100公里到达点B，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200公里到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100公里达到点D.
→→→
(1)作出向量AB，BC，CD； →(2)求|AD|.
【导学号：72010039】
→→→
【解】 (1)作出向量AB，BC，CD，如图所示.
→→→→
(2)由题意知AB与CD方向相反，∴AB与CD共线， ∴在四边形ABCD中， AB∥CD， →→又∵|AB|＝|CD|，
∴四边形ABCD为平行四边形， →→
∴|AD|＝|BC|＝200(公里).
[探究共研型]
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相等向量与共线向 量 探究1 向量a，b共线，向量b，c共线，向量a与c是否共线？ 【提示】 向量a与c不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若b＝0，则向量a与c不一定共线.
探究2 两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？
【提示】 不一定.因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关.
(1)(2016·潍坊高一检测)如图2-1-1，在等腰梯形ABCD中.
图2-1-1
→→
①AB与CD是共线向量；
→→→→
②AB＝CD；③AB>CD.以上结论中正确的个数是( ) A.0 C.2
B.1 D.3
(2)下列说法中，正确的序号是________. ①任何两个单位向量都是相等向量； ②零向量都相等；
③任一向量与它的平行向量不相等；
→→
④若四边形ABCD是平行四边形，则AB＝DC； ⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同.
【精彩点拨】 可借助几何图形性质及向量相关概念进行判断.
【自主解答】 ①单位长度是1，长度相等，但方向不一定相同，故不是相等向量，即①不正确；②由①可知②也不正确；③因为两个向量不能比较大小，
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所以③不正确.
→→
(2)因为向量AB与CD是共线向量，它们的基线不一定是同一个，所以A，B，C，D也不一定在一条直线上，所以①错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，即③错误；画出图形，可得→→
AB＝DC，所以④正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以⑤不正确.
【答案】 (1)A (2)②④
相等向量与共线向量需注意的四个问题：
(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量.
(2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合.
(3)平行(共线)向量无传递性(因为有0). →→
(4)三点A，B，C共线⇔AB，AC共线. [再练一题]
3.如图2-1-2所示，O是正六边形ABCDEF 的中心.
图2-1-2
→→→
①分别写出图中与OA，OB，OC相等的向量； →
②与OA的长度相等、方向相反的向量有哪些？
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→→→→→→→
【解】 ①与OA相等的向量有EF，DO，CB；与OB相等的向量有DC，EO，→→→→→FA；与OC相等的向量有FO，ED，AB.
→→→→→②与OA的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE.
1.下列说法中正确的个数是( ) ①身高是一个向量；
②∠AOB的两条边都是向量；
③温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ④物理学中的加速度是向量. A.0 C.2
B.1 D.3
【解析】 只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误，④正确.
【答案】 B
2.在下列判断中，正确的是( ) ①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等；
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④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线. A.①②③ C.①②⑤
B.②③④ D.①③⑤
【解析】 由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确.显然③、⑤正确，④不正确，故选D.
【答案】 D
3.(2016·三明市期末)设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是( ) A.e1＝e2 C.|e1|＝|e2|
B.e1∥e2 D.以上都不对
【解析】 单位向量的模都等于1个单位，故C正确. 【答案】 C
4.在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.正确的命题是________.(填序号)
【解析】 由向量的相关概念可知④⑥正确. 【答案】 ④⑥
5.如图2-1-3所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找→
出与向量AB相等的向量.
图2-1-3
【导学号：72010040】
→→
【解】 由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知DC，ED→→→→与AB的长度相等且方向相同，所以与向量AB相等的向量为DC和ED.
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我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________
学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列说法正确的个数是( )
(1)温度、速度、位移、功这些物理量都是向量； (2)零向量没有方向；
(3)非零向量的单位向量是唯一的. A.0 C.2
B.1 D.3
【解析】 (1)中温度和功不是向量；(2)零向量的方向不确定，而不是没有方向，所以(1)(2)错误.
【答案】 B
2.下列结论正确的是( ) A.向量必须用有向线段来表示 B.表示一个向量的有向线段是唯一的 →→
C.有向线段AB和BA是同一向量 →→
D.有向线段AB和BA的大小相等
【解析】 向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，
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而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，选项B错→→
误；有向线段AB和BA的方向相反，大小相等，不为同一向量，所以选项C错误，D正确.
【答案】 D
3.给出下列四个命题：
①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.
其中正确的命题有( ) A.1个 C.3个
B.2个 D.4个
【解析】 对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定.对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等.只有④正确.故选A.
【答案】 A
→
4.数轴上点A，B分别对应－1、2，则向量AB的长度是( ) A.－1 C.1
B.2 D.3
→
【解析】 易知|AB|＝2－(－1)＝3，故选D. 【答案】 D
→→→→
5.(2016·长春十一中期末)若|AB|＝|AD|且BA＝CD，则四边形ABCD的形状为( )
A.平行四边形 C.菱形
B.矩形 D.等腰梯形
→→
【解析】 由BA＝CD知四边形为平行四边形；
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→→
由|AB|＝|AD|知四边形ABCD为菱形.故选C. 【答案】 C 二、填空题
→→
6.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行向量，与BC是共线向量，则m＝________.
→→→
【解析】 因为A，B，C三点不共线，所以AB与BC不共线，又因为m∥AB→
且m∥BC，所以m＝0.
【答案】 0
7.给出以下五个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是________.(填序号)
【解析】 共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小.很明显仅有①③④.
【答案】 ①③④ 三、解答题
8.O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCF B都是正方形，在如图2-1-4所示的向量中：
图2-1-4
→→
(1)分别找出与AO，BO相等的向量； →
(2)找出与AO共线的向量； →
(3)找出与AO模相等的向量； →→
(4)向量AO与CO是否相等？
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→→→→
【解】 (1)AO＝BF，BO＝AE. →→→→(2)与AO共线的向量有：BF，CO，DE.
→→→→→→→→(3)与AO模相等的向量有：CO，DO，BO，BF，CF，AE，DE. →→
(4)向量AO与CO不相等，因为它们的方向不相同.
9.如图2-1-5所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，→→→→→→又AB＝DC且CN＝MA，求证：DN＝MB.
【导学号：72010041】
图2-1-5
→→
【证明】 因为AB＝DC， →→
所以|AB|＝|DC|且AB∥DC， 所以四边形ABCD是平行四边形， →→
所以|DA|＝|CB|且DA∥CB. →→
又因为DA与CB的方向相同， →→所以CB＝DA.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形， →→所以CM＝NA.
→→→→因为|CB|＝|DA|，|CM|＝|NA|，
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→→所以|MB|＝|DN|. →→
又DN与MB的方向相同， →→所以DN＝MB.
[能力提升]
→→
1.已知向量a，b是两个非零向量，AO，BO分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的是( )
→→A.AO＝BO →→C.AO＝OB
→→→→B.AO＝BO或AO＝OB →→
D.AO与BO的长度相等
→→
【解析】 因为a与b方向关系不确定且a≠0，b≠0，又AO与a同方向，BO与b同方向，
→→
所以AO与BO方向关系不确定，所以A，B，C均不对. →→
又AO与BO均为单位向量， →→
所以|AO|＝|BO|＝1. 【答案】 D
2.已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 0002 km到→→→→
达D地.画图表示向量AB，BC，CD，并指出向量AD的模和方向.
【解】 以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系.
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→
据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量AB，→→
BC，CD如图所示，
由已知可得，
△ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km. 又∠ACD＝45°，CD＝1 0002 km. 所以△ADC为等腰直角三角形， 所以AD＝1 0002 km，∠CAD＝45°.
→
故向量AD的模为1 0002 km，方向为东南方向.
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