解三角形知识总结

1. 正弦定理和余弦定理应用举例 2. 解三角形全章总结

教学目的：

1. 能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。

2. 通过对全章知识的总结提高，帮助学生系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法。

二. 重点、难点：

重点：解斜三角形问题的实际应用；全章知识点的总结归纳。 难点：如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。

知识分析：

一. 正弦定理和余弦定理应用举例 1. 解三角形应用题的基本思路 （1）建模思想

解三角形应用问题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形的边角的大小，从而得出实际问题的解。这种数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：

（2）解三角形应用题的基本思路：

画图解三角形检验、结论实际问题数学问题（解三角形）数学问题的解实际问题的解 2. 解三角形应用题常见的几种情况：

（1）实际问题经抽象概括，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解。

（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个（或两个以上）三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解。

（3）实际问题抽象概括后，涉及到的三角形只有一个，但由已知条件解三角形需选择使用正弦定理或余弦定理去求问题的解。

注意：①解三角形应用题中，由于具体问题中给出的数据通常均为有效近似值，故运算过程一般较为复杂，可以借助于计算器进行运算，当然还应注意达到算法简练、算式工整、计算准确等要求。

②如果将正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话，那么解三角形应用题的实质就是把已知量按方程的思想进行处理，解题时应根据已知量与未知量，合理选择一个比较容易解的方程，从而使解题过程简洁。

3. 实际应用问题中有关的名称、术语

在解决与三角形有关的实际问题时，经常出现一些有关的名词、术语，如仰角、俯角、方位角、方向角、铅直平面等。

（1）铅直平面是指与海平面垂直的平面。

（2）仰角与俯角在同一铅直平面内，视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线之下时，称为俯角（如图所示）。

（3）方位角：从标准方向的北端起,顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角。方位角的取值范围为0°～360°。 如：方位角是60°的图形如图。

（4）方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度。 4. 解三角形应用题的一般步骤：

解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确。 其解题的一般步骤是：

（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语； （2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；

（3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解，并作答。

5. 熟悉三角形中有关公式解三角形主要应用正弦定理和余弦定理，有时也会用到周长公式和面积公式，比如：

Pabc(P为三角形的周长)；

S1aha(ha表示a边上的高)2；

111absinCacsinBbcsinA222；

S

S

abc4R（可用正弦定理推得）； 1r(abc)2（r为内切圆半径）。

S

6. 常见问题及解决办法：

（1）测量一个底部不能到达的建筑物的高度的步骤： 关键点：怎样克服B点不能到达带来的测量不变？

A B θ α C β D m

方法一：（忽略测量仪器的高度）

S1在地面上任取C、D两点，连接CD，AC，AD；

S2测出∠ACD=α、∠ADC=β的大小及在C点测点A的仰角θ和CD的长m；

AC S3在△ACD中，利用正弦定理求得 S4在Rt△ABC中，得ABACsin 方法二：（忽略测量仪器的高度）

msin()sin

A B α C β m D

S1在地面上取点C、D，使C、D与AB在同一个平面内（这样可以保证B、C、D三点共线）；

S2在C、D两点分别测得A点的仰角α、β及CD的长m；

xxmtantan S3设AB=x，则由得

xm11tantan，即为AB的长。

（2）测量底面上两个不能到达的地方之间的距离的步骤：

A B α β γ θ

S1在可到达之地取两点M、N，连接MN, MA, MB, NA, NB；

S2测出∠ANB=α，∠BNM=β，∠AMN=γ，∠AMB=θ，及MN的长m； S3在△AMN中，利用正弦定理求得：

N m M AN

msinsin() msin()sin()

在△BMN中，利用正弦定理求得：

BN

S4在△ABN中，利用余弦定理求得： ABANBN2ANBNcos

二. 全章知识总结 1. 知识网络

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2. 解三角形常见类型及解法

在三角形的6个元素中要知三个（除三角外）才能求解，常见类型及其解法见下表：

已知条件 一边和二角 （如a，B，C） 应用定理 一般解法 由A+B+C＝180°，求角A；由正弦定理求出b 正弦定理 与c。 S两边和夹角 （如a，b，C） 1acsinB在有解时只有一解 2由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所 余弦定理 对的角；再由A+B+C＝180°求出另一角。 S三边 （a，b，c） 1absinC在有解时只有一解 2由余弦定理求出角A、B；再利用A+B+C＝180 余弦定理 °，求出角C S1absinC在有解时只有一解。 2两边和其中一边的对角 由正弦定理求出角B；由A+B+C＝180°，求出 1SabsinC（如a，b，A） 正弦定理 角C；再利用正弦定理求出c边，2可有两解，一解或无解。

3. 三角形解的个数的确定

已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解，两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理。

ab （1）利用正弦定理讨论：若已知 a 、 b 、 A ，由正弦定理sinAsinB得sinBbsinAa。

若sinB1，无解；若sinB＝1，一解；若sinB<1，两解。

222 （2）利用余弦定理讨论：已知a、b、A，由余弦定理abc2bccosA，这可

以看作关于c的一元二次方程。若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解。 4. 三角形形状的判定方法

判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如：

a2RsinA，a2b2c23abcosC等），利用三角变换得出三角形内角之间的关系

进行判断。此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系。如：sinA＝sinBA＝B ; sin

（A－B）＝0A＝B；sin2A＝sin2BA＝B或A+B＝2等；二是利用正弦定理、余弦

ab2c2a2sinA,cosA2R2bc定理，化角为边，如等，通过代数恒等变换，求出三条边

之间的关系进行判断。

5. 解三角形应用题的基本思路

解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决，其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题（如：测量距离、高度、角度等），然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中（目的是发现已知量与未知量之间的关系），最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答。解题时还要注意近似计算的要求。