第2课时 等式的性质与不等式的性质
教材要点
要点一 等式的性质 性质1 性质2 性质3 性质4 性质5 要点二 不等式的性质 性质 别名 1 对称性 2 传递性 3 可加性 如果a＝b，那么b＝a 如果a＝b，b＝c，那么________ 如果a＝b，那么a±c＝________ 如果a＝b，那么ac＝bc a如果a＝b，c≠0，那么＝________ c性质内容 a＞b⇔________ a＞b，b＞c⇒________ a＞b⇔____________ 注意 可逆 不可逆 可逆 4 可乘性 c的符号 5_ 6 7 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 a＞b＞0⇒______ (n∈N，n≥2) 同向 同正 同向
状元随笔 (1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a＋b＞c ⇒a＞c －b.性质3是可逆性的，即a＞b ⇔a＋c＞b＋c.
(2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．
(3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”显然成立”的思维定势．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若a＞b，则ac＞bc.( ) (2)a＞b⇔ac2＞bc2.( )
(3)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( ) (4)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3.( )
2．已知x＜a＜0，则一定成立的不等式是( ) A．x2＜a2＜0 B．x2＞ax＞a2
C．x2＜ax＜0 D．x2＞a2＞ax
3．(多选)若a＞b＞0，d＜c＜0，则下列不等式成立的是( ) A．ac＞bc B．a－d＞b－c
11
C．＜ D．a3＞b3
4．用不等号填空．
11
(1)如果a＞b ＞0，那么a2________b2； (2)如果a＞b＞c＞0，那么a________b.
c
c
d
c
题型1 利用不等式的性质判断命题的真假
例1 (1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( ) A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若c＞c，则a＞b
a
b
C．若a3＞b3且ab＜0，则a＞b D．若a2＞b2且ab＞0，则＜ (2)(多选)设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是( )
11
A．ac2＞bc2 B．a2＜b2 C．a－c＞b－c D．c2+1＞c2+1
a
ba
b1
1
11
方法归纳
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
跟踪训练1 (1)已知实数0＜a＜1，则下列正确的是( )
11A．＞a＞a2 B．a＞a2＞
a
C．a2＞a＞a D．a＞a2＞a
11
a
(2)(多选)已知实数a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列不等式一定成立的是( ) A．ab＞ac B．c(b−a)＞0 C．ac(a−c)＜0 D．cb2＜ab2
题型2 证明不等式 例2 若bc－ad≥0，bd＞0，求证：
a+bb
≤
c+dd
.
方法归纳
1．不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小．
2．证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导．
跟踪训练2 (1)已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc.
(2)若a＜b＜0，求证：a＜b.
b
a
题型3 利用不等式的性质求范围
例3 已知－2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列代数式的取值范围： (1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.
方法归纳
利用不等式性质求范围的一般思路 (1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； (2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
(3)结合不等式的传递性进行求解．
跟踪训练3 已知实数x，y满足：1＜x＜2＜y＜3， (1)求xy的取值范围； (2)求x－2y的取值范围．
易错辨析 多次使用同向不等式相加致误
例4 已知－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，求2a－4b的取值范围． 解析：2a－4b＝3(a－b)－(a＋b)，
因为－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，所以－5＜－(a＋b)＜1， －12＜3(a－b)＜6， 所以－17＜2a－4b＜7. 易错警示 易错原因 错解：－1＜a＋b＜5① －4＜a－b＜2② －2＜b－a＜4③ 57①＋②再除以2得－2＜a＜2 ①＋③再除以2得－＜b＜ 22所以－23＜2a－4b＜13 错误在于“－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2\\”5739与“－2＜a＜2，－2＜b＜2\\”并不等价． 39纠错心得 同向(异向)不等式的两边可以相加(减)，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所以我们选用不等式的性质求代数式的取值范围时务必小心谨慎，必要时改换求解的思路和方法． 课堂十分钟
1．与a＞b等价的不等式是( ) A．|a|＞|b| B．a2＞b2
a
C．b＞1 D．a3＞b3
2．下列结论正确的是( )
A．若a＞b，c＞b，则a＞c B. 若a＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D. 若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d 3．(多选)如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是( )
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A．√a＞√b B. a2＜b2 C．ac2＞bc2 D. a－c＞b－c
4．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下：________． 5．已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3.求a＋3b的取值范围．
第2课时 等式的性质与不等式的性质
新知初探·课前预习
要点一
a＝c b±c
𝐜
要点二