《数值计算方法》复习试题
一、填空题：
1、，则 A 的 LU分解为 。
答案：
3 、，则过这三 点的 二次插值多项 式中 的系数为
为
，拉 格朗日插值 多项式
。
答案： -1 ，
4、近似值对于真值有 ( 2 ) 位有效数字；
5、设可微 , 求方程的牛顿迭代格式是 () 答案
；
6、对 , 差商 ( 1 ),( 0 ) 7、计算方法主要研究 (
；
截断 ) 偏差和 ( 舍入 )
偏差；
8、用二分法求非线性方程 f ( x)=0 在区间 ( a, b) 内的根时，二分 n 次后的偏差限为
； ( )
、已知 f ＝ ， f ＝ ，f ＝，则二次 插值多项式中 x 2 系数为 10 2 (2) 3 (4) Newton ( (1)
、 解线性方程组
；
Ax b 的高斯次序消元法知足的充要条件为
A 的各阶次序主子式均
)
11
=
(
不为零 ) 。
12、
为了使计算 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为
。
，为了减少舍入
偏差，应将表达式改写为
13、 用二分法求方程在区间 [0,1] 内的根 , 进行一步后根的所在区间为
两步后根的所在区间为
， 1 , 进行
， 。
，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径
14、 求解方程组的高斯—塞德尔迭代格式为
=
。
，的二次牛顿插值多项式为
15、 设, 则
16、 求积公式的代数精度以 (
度。
22、已知是三次样条函数，则 =( 3 ) ，=（ 3
高斯型 ) 求积公式为最高，拥有
。
( )
次代数精
21、假如用二分法求方程在区间内的根精准到三位小数，需对分（
）， =（ 1
）。
10
）次。
23、是以整数点为节点的 Lagrange 插值基函数，则
( 1 ) ，( ) ，当时 ( ) 。
24、
25、区间上的三次样条插值函数在上拥有直到 26、改变函数 的形式，使计算结果较精准
_____2_____阶的连续导数。
。
1 / 10
数值计算方法试卷试题集及含答案
27、若用二分法求方程在区间 [1,2] 内的根，要求精准到第 28、写出求解方程组的 Gauss-Seidel 迭代公式 3 位小数，则需要对分 10 次。 ，迭代矩阵为 ，此迭代法能否收敛 收
敛 。 31、设 , 则 9 。
32、设矩阵的，则 。 33、若，则差商
3
。
34、线性方程组的最小二乘解为
。
36、设矩阵分解为，则
。
二、单项选择题：
1、 Jacobi 迭代法解方程组的必需条件是（
C ）。
A ． A 的各阶次序主子式不为零 B
．
C．
D
．
2、设，则为 ( C ) ．
、求解线性方程组A ． 2 B ．Ax b 5 的 LU分解法中，C． 7 A 须知足的条件是D
． 3
。
4 = ( B )
A． 对称阵 B． 正定矩阵
C． 随意阵
D ． 各阶次序主子式均不为零
5、舍入偏差是 ( A ) 产生的偏差。
A. 只取有限位数
B ．模型正确值与用数值方法求得的正确值 C． 察看与丈量
D
．数学模型正确值与实质值
6、是π 的有 ( B )
位有效数字的近似值。
A ． 6
B． 5 C
． 4 D
． 7
7、用 1+ x 近似表示 ex 所产生的偏差是 (
C )
偏差。
模型
A．
B ． 观察
C． 截断 D
． 舍入
8 、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是
( A )
。
A．控制舍入偏差
B
． 减小方法偏差
C．防备计算时溢出D
． 简化计算
9 、用
1+近似表示所产生的偏差是 ( D )
偏差。
． 模型
A ． 舍入
B ． 观察
C
D
． 截断
10 、-324 ．7500 是舍入获得的近似值，它有( C )
位有效数字。
A ． 5
B
． 6
C． 7
D
． 8
11、设 f (-1)=1, f (0)=3, f (2)=4, 则抛物插值多项式中
x2 的系数为 ( A )
A 0 5 B 0 5 C D
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。
数值计算方法试卷试题集及含答案
12 、三点的高斯型求 公式的代数精度
( C ) D
。 ． 2
A ． 3
B ． 4 C． 5
13、( D ) 的 3 位有效数字是× 102。 (A) × 103 (B)
×10－ 2 (C)
(D) × 10－1
14、用 迭代法求方程
的根是 ( B ) 。 (A) y=
f(x)=0 的 根，把方程 f(x)=0 表示成 x= (x) ， f(x)=0
(x) 与 x 交点的横坐 (B) y=x 与 y= (x) 交点的横坐
(C) y=x 与 x 的交点的横坐
(D) y=x
3x1
x2 4x3 1
9x3 x3
与 y= (x) 的交点
x1 2x2 4x1 3x2
0
15、用列主元消去法解 性方程
( A ) 。
(A) －4
(B) 3
1
，第 1 次消元， 主元
(C) 4 (D) － 9
16、拉格朗日插 多 式的余 是 ( B
(A) f(x,x0,x1,x2,
), 牛 插 多 式的余 是 ( C ) 。 － x1)(x －x2) ⋯(x － xn－1)(x －xn) ，
)
⋯,xn)(x
Rn ( x) f ( x) Pn (x)
f ( n 1) (
( n 1)!
(B)
(C) f(x,x0,x1,x2,
⋯,xn)(x
－ x0)(x －x1)(x －x2) ⋯(x － xn－1)(x －xn) ，
n 1
(D)
Rn ( x)
f ( x) Pn ( x)
f (n 1) ( )
(n 1)!
( x)
18、用牛 切 法解 方程 f(x)=0 {xn}n=0,1,2,
(A ) f (x0 ) f ( x)
， 初始x0
的根。
足 ( A
), 它的 解数列
⋯必定收 到方程 f(x)=0
0
(B) f ( x0 ) f ( x)
0
(C) f ( x0 ) f ( x) 0 (D) f (x0 ) f ( x) 0
19、 求方程
x3― x2―1=0 在区 [,] 内的一个根，把方程改写成以下形式，并成立相
(A ) 。
1 xk 1
的迭代公式，迭代公式不收 的是
x 2
(A)
1 ,迭代公式 : xk 1 x 1
x
1
1
2 ,迭代公式 : xk 1 1
1 xk
2
2
(B) (C) x
x3
2
迭代公式
: xk 1
1/ 3
1 x , (1 xk )
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x3 1 x2 , 迭代公式 : xk 1
1
(D)
xk2
xk2
xk 1
21、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（ （ 1） , ( 2) , (3) , (4) 23、有以下数表
x f(x)
）。
0 -2
1
2 2
-1
所确立的插值多项式的次数是（ ）。 （ 1）二次； （ 2）三次； （ 3）四次； （ 4）五次 25、取计算，以下方法中哪一种最好（ ） (A) ； (B) ； ( C) ； (D) 。 27、由以下数表进行 Newton 插值，所确立的插值多项式的最高次数是（
）
１ -1
２
３
(A) ； (B) ； (C) 29、计算的 Newton 迭代格式为 ( (A) ；( B) ； (C) ； (D) 。
； )
(
D) 。
30、用二分法求方程在区间内的实根，要求偏差限为，则对分次数起码为 ( A)10 ； (B)12 ； (C)8 ； (D)9 。 32、设是认为节点的 Lagrange 插值基函数，则 ( ) (A) ； （B）； （ C）； （ D）。 35、已知方程在邻近有根，以下迭代格式中在不收敛的是 (A) ； (B) ； ( C) ； (D) 。 36、由以下数据
(
)
( )
0
1 2 4
3 3
4 -5
1 2 确立的独一插值多项式的次数为 ( ) ( A) 4 ； (B)2 ； ； (C)1
、已知察看值
(D)3。
三、是非题（认为正确的在后边的括弧中打 1 2
、用
,
用最小二乘法求 n 次拟合多项式时，的次数
，不然打
）
n 能够随意取。
、表示在节点
( ) 近似表示 x
1- cos 产生舍入偏差。
x1 的二次
拉格朗日 插值基函数。
( )
3 ) ( ) (
4、牛顿插值多项式的长处是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。
(
)
( )
5、矩阵 A=拥有严格对角占优。
四、计算题：
1、用高斯 - 塞德尔方法解方程组 ，取，迭代四次 ( 要求按五位有效数字计算 ) 。
答案：迭代格式
k
0 0 0 0
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1
2
3
4
2、已知
1
3 6
4 5
5 4
2
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值（保存四位小数）。
答案：
差商表为
一阶均差
1 3 4 5
2 6 5 4
2
二阶均差 三阶均差
-1 -1
-1 0
5 、已知
-2 4
-1 2
0 1
1 3
2 5
求的二次拟合曲线，并求的近似值。
答案：解：
0 1 2 3 4
-2 -1 0 1 2 0
4 2 1 3 5 15
4 1 0 1 4 10
-8 -1 0 1 8 0
16 1 0 1 16 34
-8 -2 0 3 10 3
16 2 0 3 20 41
正规方程组为
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6、已知区间 [ ，] 的函数表
如用二次插值求的近似值，怎样选择节点才能使偏差最小并求该近似值。
答案：解： 应选三个节点，使偏差
尽量小，即应使尽量小，最凑近插值点的三个节点知足上述要求。即取节点最好，实质计算结果
，
且
7、结构求解方程的根的迭代格式，议论其收敛性，并将根求出来， 答案：解：令 .
且 ， 故在 (0,1) 内有独一实根 . 将方程变形为
则当时
，
故迭代格式
收敛。取，计算结果列表以下：
n
。
0 1 127 872
2 424 785
6 525 950
3 877 325
7 525 008
n
4 595 993
5 517 340
且知足 . 所以 .
8 ﹑利用矩阵的 LU分解法解方程组 。
答案：解：
令得，得 .
9 ﹑对方程组
（ 1） 试成立一种收敛的 Seidel 迭代公式，说明原因； （ 2） 取初值，利用（ 1）中成立的迭代公式求解，要求。解：调整方程组的地点，使系数矩阵严格对角占优
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故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛 . 迭代格式为
取 , 经 7 步迭代可得：
.
10 、已知以下实验数据
xi
f ( xi )
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。
x
解：当 0 即可，解得 所以 ，所以起码需将 [0,1] 68 等份。 11 、用列主元素消元法求解方程组 。 解： 回代得 。 12 、取节点 , 求函数在区间 [0,1] 上的二次插值多项式 , 并预计偏差。 解： 又 故截断偏差 。 15、用牛顿 ( 切线 ) 法求的近似值。取 x0=, 计算三次，保存五位小数。 解：是的正根，，牛顿迭代公式为 ， 即 取 x0=, 列表以下： 7 / 10 数值计算方法试卷试题集及含答案 1 2 3 16、已知 f (-1)=2 ， f (1)=3 ， f 值，取五位小数。 解： (2)=-4 ，求拉格朗日插值多项式及 f (1 ，5) 的近似 18、用 Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 = ， 取 x(0) =(0,0,0) T, 列表计算三次，保存三位小数。 解： Gauss-Seidel 迭代格式为： 系数矩阵严格对角占优，故 Gauss-Seidel 迭代收敛 . 取 x(0) =(0,0,0) T，列表计算以下 : 1 2 3 20、（ 8 分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据： 19 25 30 38 解： 解方程组 此中 解得： 所以 ， 22、（ 15 分）方程在邻近有根，把方程写成三种不一样的等价形式（ 1）对应迭代格式； (2) 对应迭代 格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算邻近的根，精准到小数点后第三位。 解：（ 1），，故收敛； （ 2），，故收敛； （ 3），，故发散。选择（ 1）：，，，，， ， 23、（ 8 分）已知方程组，此中 ， （ 1） 列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的重量形式。 （ 2） 求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径。 解： Jacobi 迭代法： Gauss-Seidel 迭代法： ， 31、 (12 分 ) 以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项预计偏差。 用 Newton 插值方法：差分表： 100 121 144 10 11 12 8 / 10 数值计算方法试卷试题集及含答案 10+(115-100)(115-100)(115-121) = 33、 (10 分 ) 用 Gauss 列主元消去法解方程组： 0000 34、 (8 分 ) 求方程组 ，， 的最小二乘解。 若用 Householder 变换，则： 最小二乘解： ， T. 37、（ 15 分）已知方程组，此中，， （ 1）写出该方程组的 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的重量形式； （ 2）判断（ 1）中两种方法的收敛性，假如均收敛，说明哪一种方法收敛更快； 解：（ 1） Jacobi 迭代法的重量形式 Gauss-Seidel 迭代法的重量形式 （ 2） Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 ， ，， Jacobi 迭代法收敛 Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵为 ， ，， Gauss-Seidel 迭代法发散 40、 (10 分 ) 已知以下函数表： 0 1 2 3 1 3 9 27 (1) 写出相应的三次 Lagrange 插值多项式； (2) 作均差表，写出相应的三次Newton 插值多项式，并计算的近似值。 解：（ 1） 9 / 10 数值计算方法试卷试题集及含答案 （ 2）均差表： 10 / 10 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容