等腰三角形——拓展教材内容等腰三角形

课堂教学的总目标是学生的发展，而且是尽可能达到各自的“最近发展区”。因此不要局限于教材规定的内容，可以根据学生的学力水平借助几何直观适当拓展教材内容。《等腰三角形》这节课亦如此，使学生知道了等腰三角形除两条性质定理外，还有反映等腰三角形性质的一些真命题及证明这些真命题的主要依据和方法。例如，学习直角三角形的两条重要性质：①在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。也可以引导学生进行逆向思维，研究其逆命题，让学生知道逆命题也是真命题，拓展学生的思维境域。

下面，让我们通过本节课的教案，具体分析李庾南老师是如何通过课堂教学使学生达到“最近发展区”的。

等腰三角形

八年级上（人教版）

教学目标

1．体会轴对称性在研究图形性质中的应用；

2．在实验操作获得对等腰三角形性质的感性认识的基础上，通过推理论证培养学生的科学精神，提高推理论证能力；

3．掌握等腰三角形的性质，丰富学生的学习感受，激发学习兴趣。

教学重点

等腰三角形的性质

教学难点

将实验操作获得的感性认识进行理性概括

教学过程

一、回顾轴对称图形的性质，动手操作，探究等腰三角形的性质

1．在14.1轴对称的学习中，我们懂得了轴对称图形被对称轴分成的两部分

全等，这两部分关于对称轴对称；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；对应线段或其延长线如果相交，则交点在对称轴上等知识。

（投影）

2．有两边相等的三角形叫做等腰三角形 （给每个学生提供一个等腰三角形纸片）

请同学们通过折叠，根据轴对称图形的定义、性质探讨等腰三角形的性质。 （个人操作研究的基础上，小组交流） 3．全班交流研究结果

等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线。 （即顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线所在的直线） 如图所示，直线AD是等腰△ABC的对称轴，由轴对称性质可得 ①△ABD≌△ACD

故∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC＝90°

∠BAD＝∠CAD，BD＝DC

即等腰三角形的两个底角相等， （投影，并演示翻折变换） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 ②若在腰AB上任取一点E，E在AC上的对称点为F，由轴对称性质可得 AE＝AF，BE＝CF，DE＝DF，△AED≌△AFD，△EBD≌△FCD， 两对全等三角形中的对应边、对应角相等。 BF、CE交点Q在AD上，BF＝CE，QE＝QF， BQ＝CQ，连接EF，

图中有等腰△QBC、△QEF、△AEF……

D ③等腰△ABC的对称轴上的任一点与两腰上的对称点（其中特殊点是腰上高的垂足，腰的中点，底角平分线与腰的交点）的连线都分别相等。 ④以上的猜想都源自等腰三角形的本质特征——轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线，因而我们通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等证明等腰三角形的这些性质。

4．在实验操作获得对等腰三角形性质的感性认识的基础上，推理论证，概

括等腰三角形的性质定理

已知：如图，△ABC中，AB=AC 求证：∠B＝∠C 思路分析

法一：作顶角平分线AD，则△ABD≌△ACD（SAS） 法二：作底边上的高AD，则△ABD≌△ACD（HL） 法三：作底边上的中线AD，则△ABD≌△ACD（SSS） 由全等三角形的性质可证得等腰三角形

性质定理1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 即△ABC中，∵AB＝AC，

∴∠C＝∠B。

性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“等腰三角形三线合一”性质）。

即△ABC中，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC于D，BD＝DC。

或△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC于D，

∴BD＝DC，AD平分∠BAC；

或△ABC中，∵AB＝AC，BD＝DC，

∴AD⊥BC于D，AD平分∠BAC。

二、通过等腰三角形性质定理的应用练习，体会知识的价值，激发进一步研究等腰三角形的兴趣

练习1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。

求：△ABC各角的度数。（在个人练习的基础上，全班交流解题思路）

解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，

∴ ∠ABC＝∠C＝∠BDC ∠A＝∠ABD（等边对等角） 设∠A＝x，则∠ABD＝x ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x

∴∠C＝∠ABC＝∠BDC＝2x

在△ABC中，

∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180° ∴x＋2x＋2x＝180° 解得x＝36°

∴在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°

练习2 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝90°，

AD是BC上的高，说出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数。（在个人练习的基础上，小组交流解题思路）

练习3 如图，在△ABC中，AB＞AC，求证：∠C＞∠B 。

师生共同分析思路：

将“不等关系”转化“相等关系”。

证明：∵AB＞AC，∴在AB上截取AD=AC

连结CD

则∠ADC＝∠ACD（等边对等角） ∵∠ADC是△DBC的外角，

∴∠ADC＞∠B（三角形的一个外角大于与它不相邻的内角） ∴∠ACD＞∠B 又∵∠ACB＞∠ACD ∴∠ACB＞∠B

三、总结

1．等腰三角形的“等边对等角的性质”将同一三角形中边的相等关系转化为角的相等关系；

2．在同一三角形中，以“等边对等角”为依据推出了边角间的不等关系“大边对大角”，即可由边的不等关系转化为角的不等关系。

四、课外作业

1．研究等腰三角形性质定理的逆命题，判断其真假性并证明。 2．练习书本P.143练习3、P.149习题14.3复习巩固1、3、4、6、7。

附：板书设计

教学研究

1．为什么要学生将等腰三角形的纸片折叠？

等腰三角形的本质特征是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线。由轴对称性质，“轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，且关于对称轴对称”；“对称轴是对应点连线的垂直平分线”；“对应线段或其延长线相交，交点在对称轴上”。学生通过折叠对等腰三角形的性质的认识就不只有两条性质定理了。在学习过程中注重引导、指导学生会透过现象研究本质，从而能拓展和深化对问题的研究，提高学生自主获取、自主建构、自我发展、自我超越的热情和能力。 “动手操作，实验验证”是新课程倡导的数学学习方式之一。

我们要善于根据研究对象的本质特征来设计实验模型。例如，研究轴对称，中心对称，全等变换等问题时，都可设计数学实验模型，由模型揭示本质，由本质设计模型。

2．为什么要选用题3练议？ 如图，在△ABC中，AB > AC， 求证：∠C > ∠B。

“等边等角”是反映同一三角形中边角之间相等的转化关系的。在客观世界中“相等”与“不相等”关系是普遍存在的，有时“相等”与“不等”之间

既对立又可以相互转化的，再加上“等边等角”是证明“大边大角”的理论依据，安排此例题，既作为“等边对等角”的应用，又是对学生渗透“对立统一”、“矛盾转化”等辩证唯物主义观点的教育。

数学学科知识充满唯物辩证法和哲学思想、观点，我们教者要学习，多研究教学内容，充分挖掘知识的思想和观点教育的内涵。