《土力学》教案

Soil Mechanics

3土中应力计算

为了对建筑物地基基础进行沉降（变形）以及对地基进行强度与稳定性分析，必须知道建筑前后土中的应力分布与变化规律。

土中的应力包括：

土的自重应力：自然状态下土中的应力。 附加应力：外加荷载（如建筑物、车辆、地震等）引起的土的应力变化量。 土中应力计算一般采用弹性理论求解，假定地基土是均匀、连续、各向同性的半

空间线性变形体。当然这种假定与实际土大相径庭。不过，当附加应力不超过一定范围时，土的应力应变关系可近似为直线关系，此时应用弹性理论计算土中应力还是比较准确的。

要求：掌握土的自重应力、附加应力的计算及基底压力计算，了解有效应力的概念。

3.1 土中自重应力

3.1.1均质土的自重应力计算

假设：地基土是弹性半无限空间体（此时土无侧向变形及剪切变形），如P47图3.1所示。

自重应力计算： 土的竖向自重应力为：

czz

土的水平自重应力为：

cxcyK0cz

竖向及水平面上的剪应力为零：

xyyzzx0

2.1.2 其它情况下土自重应力计算 （1） 多层土地基

czihi

ii,hi分别为i层土的重度与厚度。

（2） 有地下水影响时

将地下水面作为一分界面，地下水面以下以土的浮重度代替重度进行计算。因为影响土体变形的是有效应力。 ** 有效应力原理：

u

总应力，孔隙水,,u分别为有效应力，压力。

举例（海底的土表面上的水压力是很大，但土很软，若将水压力该为其它压力，土就会被压实。

（3）自重应力对土体变形的影响：分老土与新土。

P47例3.1

已知：

119kN/m,h12.0m

3sat19.4kN/m,h22.5m 3sat17.4kN/m,h34.5m

求：

绘制自重应力与空隙水压力（静水压力）分布图。

33解：

00kPa

cz11h117.44.538kPa

cz21h12h138(19.49.8)2.562kPacz31h12h23h362(17.49.8)4.596.2kPacz31h12h23h33819.42.517.44.5164.8kPaww(h1h2)9.8768.6kPa

自重应力与空隙水压力（静水压力）分布如上图所示。

3.2基底压力分布与简化计算

基底压力（接触压力）：建筑物荷载通过基础传给地基的压力。

基地压力分布很复杂（涉及上部建筑、基础与地基的相互作用），与基础的刚度、平面形状、大小、埋置深度有关，还与基础上的荷载大小与分布、地基土的性质有关。

1）柔性基础：刚度小，抵抗弯曲变形的能力很小，基础随地基一起变形。柔性基础的基底压力分布与其上部荷载分布情况一致。例如：土坝、路基… 如P48图3.4所示。

2）刚性基础：刚度大，受到外载后基础产生弯曲变形很小。基础下的地基变形一致，随荷载增大基底压力变化如P48图3.5所示。例如：柱式独立基础 P48图3.5

对于工业与民用建筑，当基础尺寸较小时，如柱下单独基础及墙下条形基础等，基地压力可当作直线分布按材料力学公式简化计算。

3.2.1 基底压力的简化计算 1）中心受压基础

作用在基底上的荷载合力通过基底的形心时，基底压力可假定为均匀分布（P49图3.6），此时基底压力计算为：

FGp （2.2.1）

AF-基础上的竖向力设计值

G-基础自重设计值及其上回填土的有效重量

A-基底面积。

P49图3.6

2）偏心受压基础

在单向偏心荷载作用下，设计时通常将基础长边方向定在偏心方向。此时基底边缘压力按材料力学偏心受压公式计算：

pmaxFGMFG6e1pminblWbll

M-基底形心上的力矩设计值 M(FG).e e-荷载偏心矩

W-基础底面的惯性矩，矩形Wbl/6 2P49图3.7

当e1/6时，基底压力呈梯形分布； P49

图

3.7

（

a

当e1/6时，呈三角形分布，pmin0P49图3.7（b）

）

当e1/6时，pmin0，基底与地基部分脱开，这时可根据偏心荷载与基底反力平衡的条件求取。

2(FG) pmax3b(l/2e)P49图3.7（c）

3）基底附加应力：建筑物建成后，作用于

基底上的平均应力减去原土层的自重应力。

一般而言，地基在自重应力作用下，变形早已完成，故只有附加应力才可能引起地基产生附加应力和变形。，附加应力计算为：

p0pcdp0d d——基础埋深 P50图3.8

3.3 地基附加应力计算

计算方法是假定土是均匀、连续、各向

同性的线弹性体，用弹性理论求解。假定很多，求解过程仍然是很复杂的。

3.3.1竖向集中力作用下的附加应力计算。

如P50图3.9

竖向集中力作用于半空间表面时，任一点的应力、位移解由法国力学家J. Boussinesq 求出，较常用的是竖向正应力与位移：

33Fz3F3zcos 522R2RF(1)z1w[32(1)]

2ERR为了计算方便，将前一式变为： 3Fz3Fzz5225/22R2(rz)31F 25/222[(r/z)1]zFa2z ！附加应力与土的力学性质（如弹性模量无关） 系数f(r/z) 见 P51 表3.1。 F——集中力

r——集中力作用点与计算点的水平距离 z——集中力作用点与计算点的竖向距离

P52页例3-2：

332已知：地表面集中力F200kN 求：

1）地面下z3m处水平面上的附加应力；

2）距作用点r1m处竖直面上的附加应力； 解：

Fza2

zf(r/z)

1）已知Z，根据一系列r，定，再求z，结果如P52表3.2。

2）已知r，根据一系列Z，定，再求z，结果如P52表3.3。 P52图3.10

应力扩散的水平与竖向规律（水平方向，离荷载作用轴线越远，附加应力越小；竖向则是离荷载作用面越远，附加应力越小）。三维图。

下面的各种情况计算是以本例为基础的。

？多个集中力作用 叠加原理。

zFiai2 z3.3.2 分布荷载作用下的附加应力 P55例3.3: 图3.16 有一矩形底面基础b=4m, l=6m, 其上作用有均布荷载

p0100kPa, 计算图中点c及点k下6

米处的附加应力.

解：已知集中力的解,怎样求矩形均匀分布区域下的附加应力.

若知道均布矩形荷载角点下的附加应力可以竖向集中力作用下的附加应力计算为基础，大家能知道该怎么做吗。

可根据微积分的思想来求解，以矩形荷

载面角点为原点，在矩形面积内取一微面积dxdy，则该微面积上的均布荷载可看作一集中力，该微面积中心坐标为（x，y），则在角点下任意深度z处的附加应力为：

dFp0dxdy3dFz dz2225/22(xyz)3p0zdxdy2225/22(xyz) zdzcp0A

cc(l/b,z/b)见P54表3.4 1) 角点c处的附加应力:

z=0, l=6,b=4,

cc(l/b,z/b)c(1.5,0)0.25 zcp00.25*100kPa25kPa 2)点k下6米处的附加应力:

33?关键在于:点k不在角点下, 怎么办 与4个面积有关:ksdi,kscr, kiaj,krbj,

c1c(l/b,z/b)c(9/1,6/1)c(9,6)0.05

c2c(l/b,z/b)c(3/1,6/1)c(3,6)0.033c3c(l/b,z/b)c(9/3,6/3)c(3,2)0.131

c4c(l/b,z/b)

c(3/3,6/3)c(1,2)0.084zk(c1c2c3c4)p06.4kPa

3.3.3 其它形式荷载

1)三角形分布矩形荷载作用下的附加应力

P56图3.18

求解方法同样采用微积分原理,只是

p0是变化的。

z1t1p0z2t2p0t1,t2都是l/b，z/b的函数,见P5657，

表3.5前者为小边角点的附加应力, 后者为大边角点的附加应力.

2) 同理可求得均布圆形荷载(P57图3.19)中心与周边的附加应力系数(P57表3.6)

3) 均布条形荷载(P58图3.22)作用下的附加应力系数见P59表3.7.

! 各种荷载形式原理图,及参数.

均布条形荷载与均布方形荷载附加应力比较：见P60 页图3.23 比较影响范围及原因。

P60页例3.5。

已知: 条形基础, 均布荷载250kPa. 求: 1)基底中心下附加应力分布规律 2)深度z=2m的水平面上的附加应力. 解: 均布条形基础下的附加应力计算: zsz(x/b,z/b)p0 1) 已知x=0,z变化 zsz(0,z/2)p0

查表求一系列z对应的系数,然后算出附加应力值.

2) 已知z=0,x变化

zsz(x/2,2/2)p0sz(x/2,1)p0

查表求一系列x对应的系数,然后算出附加应力值.

结果如P61图3.24.

附加应力变化趋势(附加应力的扩散现象)。 2.3.1 双层地基

当地基土性质差异过大时，采用均匀、

连续、各向同性的线性半空间计算误差就很大

（1） 上层软而下层硬时，引起上层应力集中

（2） 上层硬而下层软，引起上层应力扩散。 P66例3.6 图3.30

已知: 粘土厚10米, 其下砂土层为承压水顶部水头为6米.

求:最大开挖深度.

解: 开挖基坑破坏为孔隙水压力超过上覆有效应力:

Asat(10H)uA0 H=6.89

作业:

P66: 3.2,3.4,3.5,3.8.