本章总共分四个模块的内容．模块一：圆的有关性质；模块二：点和圆、直线和圆的位置关系；模块三：正多边形和圆；模块四：弧长和扇形面积．
在对圆的初步认识的基础上，通过画圆引入圆的有关概念，通过类比点和线、线和线的位置关系学习点和圆、直线和圆的位置关系，进一步学习正多边形和圆、弧长和扇形面积，进而学会用圆的有关知识解决一些实际问题．在中考中，本章是考查的重点，主要考查圆的基本性质、与圆有关的位置关系、圆的有关计算．
【本章重点】
圆的有关性质、直线和圆的位置关系及与圆有关的计算． 【本章难点】
垂径定理，弧、弦、圆心角的关系定理，圆周角定理，切线的性质和判定，切线长定理及正多边形与圆的关系．
【本章思想方法】
1．体会和掌握类比的学习方法．如：通过与点和线位置关系的类比，学习点和圆的位置关系．
2．体会数形结合思想：如：点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系通过“数”“形”转化；弧、弦、圆心角、圆周角的关系通过“数”“形”转化．因此，本章应突出数形结合思想，体会数形结合思想的作用．
3．体会分类讨论思想：如：探究平行弦之间的距离、圆心角与圆周角的关系、与圆有关的位置关系．
24.1 圆的有关性质
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.3 正多边形和圆 24.4 弧长和扇形面积
4课时 4课时 1课时 2课时
1
24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆(第1课时)
一、基本目标 【知识与技能】
理解并掌握圆的两种定义及与圆有关的概念，并能够从图形中识别． 【过程与方法】
通过实际操作体会圆的不同定义，数形结合理解与圆有关的概念，掌握学习几何的一些常用方法：实际操作法、数形结合法等．
【情感态度与价值观】
通过实际操作，体会数学中的创造与探索精神，体会圆的有关概念． 二、重难点目标 【教学重点】 圆的有关概念． 【教学难点】 用集合观点定义圆．
环节1 自学提纲，生成问题 【5 min阅读】
阅读教材P79～P81的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】
1．(1)到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆． (2)连结圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做__圆弧__；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__.
2．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦；圆中以点A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．
2
3．什么叫等圆？什么叫等弧？
解：能够重合的两个圆叫做等圆；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)
【例1】下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦，其中正确的是________.(填序号)
【互动探索】(引发学生思考)优弧、劣弧、等圆、直径、等弧的定义分别是什么？圆上的弧可以分为哪几类？
【答案】②
【互动总结】(学生总结，老师点评)由圆的有关概念可知，连结圆上任意两点的线段是弦；过圆心的弦是直径；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧；圆上的弧分为优弧、半圆、劣弧．
【例2】如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝90°，∠D＝90°，点O是AB的中点．求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一圆上．
【互动探索】(引发学生思考)要使A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一圆上，结合圆的集合性定义，圆上各点到定点(圆心O)的距离有什么关系？点A、B、C、D与点O有什么关系？
【证明】连结OC、OD.
∵在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，点O是AB的中点， 1
∴OA＝OB＝OC＝OD＝AB，
2
∴A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一圆上．
【互动总结】(学生总结，老师点评)由圆的集合性定义可知，圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．给出下列说法：①直径是弦；②优弧是半圆；③半径是圆的组成部分；④两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长．其中正确的是__①__.(填序号)
2．如图，点A、B、C、E在⊙O上，点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中有几条弦？分别是哪些？
3
解：图中有3条弦，分别是弦AB、BC、CE.
3．如图，点A、N在半圆O上，四边形ABOC、DNMO均为矩形，求证：BC＝MD.
证明：连结ON、OA.
∵点A、N在半圆O上，∴ON＝OA. ∵四边形ABOC、DNMO均为矩形， ∴ON＝MD，OA＝BC，∴BC＝MD. 【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例3】下列说法：①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为3 cm，且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，以3 cm为半径的圆有无数个，其中错误的有( )
A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
【互动探索】(引发学生思考)结合圆的定义，怎样确定一个圆？确定一个圆的条件有哪些？
【答案】A
【互动总结】(学生总结，老师点评)确定一个圆需要两个要素：一是圆心，确定圆的位置；二是半径，确定圆的大小．两者缺一不可．
【例4】A、B是半径为5的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是( ) A．AB＞0 C．0＜AB＜10
B．0＜AB＜5 D．0＜AB≤10
【互动探索】(引发学生思考)连结圆上任意两点的线段是弦，求弦AB的取值范围，就要知道连结圆上任意两点构成的最长线段和最短线段分别是什么？
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)圆上最长的弦是直径，则圆上不同两点构成的弦长大于0且小于等于直径长．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
4
弦——直径
劣弧弧半圆
圆圆的有关概念
优弧
等圆等弧
圆的集合性定义
请完成本课时对应练习！ 5
24.1.2 垂直于弦的直径(第2课时)
一、基本目标 【知识与技能】
1．理解与掌握圆的对称性、垂径定理及其推论．
2．运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题． 【过程与方法】
经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，获得几何学习的一些常用方法：合情推理、证明、抽象概括等．
【情感态度与价值观】
通过观察、操作、变换和研究的过程，进一步培养学生的思维能力、创新意识和良好的运用数学的习惯和意识．
二、重难点目标 【教学重点】 垂径定理及其推论． 【教学难点】
垂径定理及其推论的运用．
环节1 自学提纲，生成问题 【5 min阅读】
阅读教材P81～P83的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】
1．圆是__轴对称__图形，任何一条直径所在直线都是圆的__对称轴__.
2．垂径定理：垂直于弦的直径__平分__弦，并且__平分__弦所对的两条弧．即一条直线如果满足：①CD经过圆心O且与圆交于C、D两点；②AB⊥CD交CD于M；那么可以推出：③__AM_＝_BM__ ，④__AC＝BC__，⑤__AD＝BD.
3．垂径定理的推论：__平分__弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且__平分__弦所对的两条弧．
6
环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)
【例1】一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水(如图)，此时的水面宽AB为0.6米，求此时的水深(即阴影部分的弓形高)．
【互动探索】(引发学生思考)要求此时的水深，即阴影部分的弓形高，结合垂径定理，考虑怎样作辅助线才能得到水深？
【解答】如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连结OB.
︵1
根据垂径定理，得C是AB的中点，D是AB 的中点，CD就是水深，则BC＝AB＝0.3
2
米．
由题意知，OD＝OB＝0.5米，
在Rt△OBC中，由勾股定理，得OC＝OB2－BC2＝0.4米， 所以CD＝OD－OC＝0.1米， 即此时的水深为0.1米．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在圆中求半径、弦等线段的长时，常常借助垂径定理构造直角三角形，再在直角三角形中运用勾股定理来解决．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，则弦AB的长是多少？
解：连结AO.由题意可知，OA＝OC＝5，则OD＝OC－CD＝5－1＝4.∵OC⊥AB，∴∠ODA＝90°，∴AD＝OA2－OD2＝3.又∵AB为⊙O的弦，∴AB＝2AD＝6.
2．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB＝10 cm，水面宽AB＝16 cm.求截面圆心O到水面的距离．
7
1
解：过点O作OC⊥AB于点C.∵OC⊥AB，AB＝16 cm，∴∠OCB＝90°，BC＝AB＝8
2cm.又∵OB＝10 cm，∴OC＝OB2－BC2＝6 cm，即截面圆心O到水面的距离为6 cm.
3．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心，其中CD＝600 m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为点F，EF＝90 m，求这段弯路的半径．
解：如图，连结OC.设弯路的半径为R m，则OF＝(R－90)m.∵OE⊥CD，CD＝600 m，1
∴∠OFC＝90°，CF＝CD＝300 m．在Rt△OFC中， 根据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，
2即R2＝3002＋(R－90)2，解得R＝545.即这段弯路的半径为545 m.
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例2】已知⊙O的半径为13，弦AB＝24，弦CD＝10，AB∥CD，求这两条平行弦AB、CD之间的距离．
【互动探索】(引发学生思考)要求两条平行弦AB、CD之间的距离，想到垂直，又在圆中已知弦长，则可以想到垂径定理，由此根据这些怎么作图呢？根据题中数据怎样求解呢？
【解答】分两种情况讨论：当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连结OC、OA.
由题意可知，OA＝OC＝13. ∵AB∥CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB. 又∵AB＝24，CD＝10， 11
∴AE＝AB＝12，CF＝CD＝5，
22
∴EO＝OA2－AE2＝5，OF＝OC2－CF2＝12， ∴EF＝OF－OE＝7.
当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，过点O作OF⊥CD于点F，反向延长OF交AB于点E，连结OC、OA.
同(1)可得，EO＝5，OF＝12，∴EF＝OF＋OE＝17. 综上，两条平行弦AB与CD之间的距离为7或17.
8
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧，再结合实际作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【例3】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)求当水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施，那么此时水面到拱顶的距离为多少？怎样求出这个距离？
【解答】不需要采取紧急措施． 理由如下：连结OM，设OA＝R m.
1
由题意知，在Rt△AOC中，AC＝AB＝30 m，CD＝18 m，
2由勾股定理，得R2＝302＋(R－18)2，解得R＝34. 1
在Rt△MOE中，ME＝MN＝16 m，
2∴OE＝OM2－ME2＝30 m， ∴DE＝OD－OE＝4 m.
∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要注意根据垂径定理，利用半径、半弦长、弦心距构造直角三角形，结合勾股定理求解．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
圆的轴对称性
垂直于弦的直径垂径定理
垂径定理的推论
请完成本课时对应练习！
9
24.1.3 弧、弦、圆心角(第3课时)
一、基本目标 【知识与技能】
理解并掌握圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间的关系定理． 【过程与方法】
通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，学习圆心角、弧、弦之间的关系定理． 【情感态度与价值观】
通过探索圆心角、弧、弦之间的关系，培养探索精神，体会分类讨论思想在数学中的应用．
二、重难点目标 【教学重点】
圆心角、弧、弦之间的关系定理及其应用． 【教学难点】
圆心角、弧、弦之间的关系定理的探索和证明．
环节1 自学提纲，生成问题 【5 min阅读】
阅读教材P83～P85的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】
1．圆是中心对称图形，__圆心__就是它的对称中心；把圆绕圆心旋转一个角度，所得的图形与原图形__重合__.
2．顶点在__圆心__的角叫做圆心角．
3．(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__. (2)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角__相等__，所对的弦__相等__.
(3)如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角__相等__，所对的优弧和劣弧分别__相等__.
4．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，若∠AOB＝∠COD，则__AB＝CD，AB＝CD__；
若AB＝CD，则__∠AOB＝∠COD，AB＝CD____；
10
若AB＝CD，则__∠AOB＝∠COD，AB＝CD__.
环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)
【例1】如图所示，A、B、C是⊙O上三点，∠AOB＝120°，C是AB的中点，试判断四边形OACB的形状，并说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)由∠AOB＝120°，C是AB的中点，可想到连结OC，则结合弧、圆心角之间的关系可以知道什么？又同圆中半径相等，可以猜想出四边形OACB的形状是什么？
【解答】四边形OACB是菱形． 理由如下：如图，连结OC. ∵∠AOB＝120°，C是AB 的中点， 1
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°.
2
又∵CO＝BO，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC. 同理可得，△OCA是等边三角形，∴OA＝AC. 又∵OA＝OB，∴OA＝AC＝BC＝BO， ∴四边形OACB是菱形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，由弧中点联想到弧、弦、圆心角的关系定理，作辅助线(连结弧中点和圆心)解决问题．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．如图，在⊙O中，已知AB＝CD，则AC与BD的关系是( A )
︵
A．AC＝BD
11
B．AC＜BD
C．AC＞BD D．不确定
2．如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数．
解：∵BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC.又∵2
AB是⊙O的直径，∴∠BOD＝×180°＝120°.
3
3．如图，在⊙O中，弦AB＝CD，那么∠AOC和∠BOD相等吗？请说明理由．
解：∠AOC＝∠BOD.理由如下：∵在⊙O中，AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD，∴∠AOB－∠COB＝∠COD－∠COB，∴∠AOC＝∠BOD.
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB.求证：AD ＝BD .
︵︵
【互动探索】(引发学生思考)求证AD ＝BD ，由弧、弦、圆心角的关系定理，可以转化为证明什么？转化后的结论又应该怎样证明？
【证明】如图，连结OC、OD.
∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，∴OM＝ON. ∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠OMC＝∠OND＝90°.
OC＝OD，在Rt△OMC和Rt△OND中，∵
OM＝ON，
︵︵
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)， ∴∠COM＝∠DON，∴AD ＝BD .
【互动总结】(学生总结，老师点评)在同圆或等圆中，如果两条弧(一般同为优弧或劣弧)、
︵︵ 12
两条弦、两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【例3】如图，⊙O中，已知∠AOB＝2∠COD，求证：2CD＞AB.
【互动探索】(引发学生思考)求证2CD＞AB，是比较AB与2CD的大小，而题中没有线段长是2CD，无法直接比较，这就需要将2CD进行转化或构造2CD，再进行比较．已知∠AOB＝2∠COD，由弧、弦、圆心角之间的关系定理，想怎样将2CD进行转化或构造2CD，再想比较两边大小时的方法有哪些．
【证明】如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连结AE、BE，∴AE＝BE， 1
∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB.
2又∵∠AOB＝2∠COD， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD， ∴AE＝BE＝CD.
∵在△ABE中，AE＋BE＞AB， ∴2CD＞AB.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要注意分析题中的已知条件，结合问题将条件进行转化，再求解．解本题的关键是根据∠AOB＝2∠COD利用垂径定理将角平分，从而将问题转化为三角形三边关系问题，进而得证．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
圆是中心对称图形
弧、弦、
圆心角
圆心角
弧、弦、圆心角的关系
请完成本课时对应练习！
13
24.1.4 圆周角(第4课时)
一、基本目标 【知识与技能】
1．理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能解决相关问题． 2．理解圆内接多边形和多边形的外接圆，掌握圆内接四边形的性质． 【过程与方法】
1．经历圆周角定理的证明，使学生了解分情况证明命题的思想和方法，体会类比、分类的数学方法．
2．经历圆内接四边形性质的证明，引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力． 【情感态度与价值观】
通过圆周角定理的证明向学生渗透由特殊到一般，由一般到特殊的数学思想方法，体现了辩证唯物主义从未知到已知的认识规律，并在解答问题的活动中获取成功的体验，建立学好数学的信心．
二、重难点目标 【教学重点】
圆周角的概念，圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质． 【教学难点】
探究并论证圆周角定理及其推论．
环节1 自学提纲，生成问题 【5 min阅读】
阅读教材P85～P88的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】
1．顶点在__圆上__，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__一半__.
3. 圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角__相等__ ；半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__,90°的圆周角所对的弦是__直径__.
4．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做__圆内接多边形__，这个圆叫做这个多边形的外接圆．
5．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角__互补__. 环节2 合作探究，解决问题
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【活动1】 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°.若点P为AB 上，求∠P的度数．
︵
【互动探索】(引发学生思考)求∠P的度数，题中只知道∠C的度数，两者有什么关系吗？可以转化为求什么？由⊙O的内接四边形ABCD可以得到什么？这与求∠P的度数有什么关系？
【解答】如图，连结BD.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD＋∠C＝180°， ∴∠BAD＝180°－∠C＝70°. 又∵AB＝AD，
1
∴∠ABD＝∠ADB＝(180°－∠BAD)＝55°.
2∵四边形APBD是⊙O的内接四边形， ∴∠P＋∠ADB＝180°， ∴∠P＝180°－∠ADB＝125°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题的关键是正确作出辅助线，题中可以多次运用圆内接四边形的性质．
【例2】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点(在直径AB的同一侧)，且BC ＝CD ，弦AC、BD相交于点P，如果∠APB＝110°，求∠ABD的度数．
︵︵
【互动探索】(引发学生思考)求∠ABD的度数，∠ABD在△ABP中，又∠APB＝110°，此时想到什么？已知AB是⊙O的直径，BC ＝CD 结合圆周角定理及其推论，可以求出哪些角？
【解答】如图，连结CD、CB. ∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠APB＝∠DPC＝110°，
︵︵ 15
∴∠CBD＝∠DPC－∠ACB＝20°. ∵BC ＝CD ，∴∠CBD＝∠CAB＝20°， ∴∠ABD＝180°－∠APB－∠CAB＝50°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键是正确作出辅助线，利用等弧所对的圆周角相等求出∠CAB的度数．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．在⊙O中，弦AB所对的圆心角的度数为50°，则它所对的圆周角的度数为( C ) A．25° C．25°或155°
B．50° D．50°或130°
︵︵【教师点拨】圆中一条弦(非直径)对应的弧有两条：一条优弧、一条劣弧． 2．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为__70°__.
3．如图，A、B、C为⊙O上的任意三点，若∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为__130°__.
【教师点拨】综合利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求解． 4．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．
解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵∠ACD＝25°，∴∠B＝∠ACD＝25°，∴∠BAD＝90°－∠B＝65°.
5．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．
解：如图，连结OC.∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，∴∠AOC＝∠DAC，∴AO＝AC.1
又∵OA＝OC，∴AO＝AC＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝AD＝3 cm.
2
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
16
【例3】如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为点D，点E为BF上一点，且BE＝CF.
(1)求证：AE是⊙O的直径；
(2)若∠ABC＝∠EAC，AE＝8，求AC的长．
【互动探索】(引发学生思考)(1)要证明AE是⊙O的直径，结合圆周角定理的推论可以转化为证明什么？怎样进行证明？(2)要求AC的长，求线段长的方法有哪些？题中只给出了AE的长，AC的长怎样和AE建立关系？先从哪儿入手呢？
【解答】(1)证明：∵BE＝CF，∴∠BAE＝∠CAF. ∵AF⊥BC，∴∠ADC＝90°， ∴∠FAD＋∠ACD＝90°.
又∵∠E＝∠ACB，∴∠E＋∠BAE＝90°， ∴∠ABE＝90°，∴AE是⊙O的直径． (2)如图，连结OC. ∵∠ABC＝∠CAE，
∴AC ＝BC ，∴∠AOC＝∠EOC. 由(1)知，AE是⊙O的直径， ∴∠AOC＝∠EOC＝90°.
又∵OA＝OC，∴△AOC是等腰直角三角形． 1
∵AE＝8，∴AO＝CO＝AE＝4，
2∴AC＝42.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题时，也可以逆向思考，即由所求结论和问题出发，看由结论和问题可以推出什么，再结合已知条件进行证明或求解，从而使问题得到解决．
【例4】如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝20°，AD＝CD.请连结线段BC，求四边形ABCD各内角的度数．
︵︵
【互动探索】(引发学生思考)求四边形ABCD各内角的度数，由AB是半圆的直径，且
17
∠BAC＝20°，想到圆周角定理及其推论，由此可以求出哪些角的度数？又由题可知，四边形ABCD是圆的内接四边形，由此可以推出什么？
【解答】如图，连结BC.
∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠BAC＝20°，∴∠B＝90°－∠BAC＝70°. ∵四边形ABCD是圆O的内接四边形， ∴∠D＝180°－∠B＝110°. ∵AD ＝CD ，
1
∴∠DAC＝∠DCA＝(180°－∠D)＝35°，
2
∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝55°，∠DCB＝∠DCA＋∠ACB＝125°. 即四边形ABCD各内角的度数为55°，70°，125°，110°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题综合运用了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质．解题时，要仔细审题，明确已知条件和所求问题，一步一步进行推导和计算，做到有理有据．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 圆周角定理
圆周角圆周角定理的推论
圆内接四边形
请完成本课时对应练习！
︵︵
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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系(第1课时)
一、基本目标 【知识与技能】
1．了解点和圆的三种位置关系，掌握点到圆心的距离与半径之间的关系． 2．掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”，并能作出这个圆． 3．了解反证法的意义，会用反证法进行简单的证明． 【过程与方法】
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力． 2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．
【情感态度与价值观】
1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．
2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 二、重难点目标 【教学重点】
1．不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 2．三角形的外接圆和外心． 【教学难点】 反证法的应用．
环节1 自学提纲，生成问题 【5 min阅读】
阅读教材P92～P95的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】
1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔__d＞r__；点P在圆上⇔__d＝r__；点P在圆内⇔__d＜r__. 2．已知⊙O的直径为5，若PO＝5，则点P与⊙O的位置关系是__点P在⊙O外__. 3．过已知点A，可以作__无数__个圆；过已知点A、B，可以作__无数__个圆；过不在
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同一条直线上的三点，可以作__一__个圆．
4．经过三角形的__三个顶点__的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边的__垂直平分线__的交点，叫做这个三角形的外心．
5．锐角三角形的外心在三角形 __内部__；直角三角形的外心是三角形__斜边的中点__；钝角三角形的外心在三角形 __外部__；任意三角形的外接圆有 __一__个，而一个圆的内接三角形有__无数__个．
6．用反证法证明命题的一般步骤： (1)假设命题的结论__不成立__；
(2)从这个假设出发，经过推理论证得出__矛盾__；
(3)由__矛盾__判定假设 __不正确__，从而得到原命题成立． 环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生对学)
【例1】如图，⊙O的半径r＝10，圆心O到直线l的距离OD＝6，在直线l上有A、B、C三点，AD＝6，BD＝8，CD＝53，问A、B、C三点与⊙O的位置关系如何？
【互动探索】(引发学生思考)判断点与圆的位置关系的关键是判断点到圆心的距离与半径的大小关系．
【解答】∵OA＝OD2＋AD2＝62<10， ∴点A在⊙O内．
∵OB＝OD2＋BD2＝10，∴点B在⊙O上． ∵OC＝OD2＋CD2＝111＞10， ∴点C在⊙O外．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断点与圆的位置关系的关键是比较点到圆心的距离与半径的大小．同时注意垂径定理和勾股定理的应用．
【例2】用反证法证明“一个三角形中不可能有两个角是钝角”．
【互动探索】(引发学生思考)用反证法证明命题的步骤是什么？其中最关键的又是哪一步？
【解答】假设△ABC中有两个角是钝角，不妨设∠A、∠B为钝角，
∴∠A＋∠B＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立，原命题正确． 即一个三角形中不可能有两个角是钝角．
【互动总结】(学生总结，老师点评)用反证法证明命题时，准确写出与原命题的结论相反的假设是关键，从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾．
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【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．已知⊙O的直径为8 cm，点A与O距离为7 cm，试判断点A与⊙O的位置关系． 解：∵⊙O的半径为4 cm,4＜7，∴点A在⊙O外．
2．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心(不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹)．
解：在圆上任取两条弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线即可．
3．已知：a、b、c三条直线，a∥c，b∥c，求证：a∥b.
证明：如图，假设a与b相交于点M，则过M点有两条直线平行于直线c，这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾，所以a∥b.
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CB＝8，AD是△ABC的角平分线，过A、D、C三点的圆与斜边AB交于点E，连结DE.
(1)求证：AC＝AE； (2)求△ACD外接圆的直径．
【互动探索】(引发学生思考)证明线段相等的方法有哪些？结合图形，适宜用哪种方法？看到∠ACB＝90°，结合图形能得到哪些结论？对于求直径又该使用哪种方法？
【解答】(1)证明：∵∠ACB＝90°，且∠ACB为⊙O的圆周角，∴AD为⊙O的直径， ∴∠AED＝90°，∴∠ACB＝∠AED. ∵AD是△ABC中∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠EAD，∴CD＝DE，
AD＝AD，在Rt△ACD与Rt△AED中，
CD＝ED，
∴△ACD≌△AED(HL)，∴AC＝AE. (2)∵AC＝6，BC＝8，
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∴AB＝AC2＋BC2＝10 由(1)得，∠AED＝∠BED＝90°.
设CD＝DE＝x，则DB＝BC－CD＝8－x，EB＝AB－AE＝10－6＝4.
在Rt△BED中，根据勾股定理，得BD2＝BE2＋ED2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，∴CD＝3.
∵AC＝6，∴AD2＝AC2＋CD2＝62＋32＝45， ∴AD＝35.
【互动总结】(学生总结，老师点评)全等三角形的对应边相等是常用的证明线段相等的一种方法；利用三角形的外接圆的性质和勾股定理，直角三角形的外接圆直径大小就是直角三角形的斜边长．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
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第3课时 切线的判定和性质
一、基本目标 【知识与技能】
1．掌握切线的判定定理．
2．能判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线． 3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题． 【过程与方法】
通过画图、观察、分析理解切线的判定定理，并能初步运用解决有关问题． 【情感态度与价值观】
1．通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力． 2．通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性． 二、重难点目标 【教学重点】 切线的判定． 【教学难点】 探索圆的切线的性质．
环节1 自学提纲，生成问题 【5 min阅读】
阅读教材P97～P98的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】
1．切线的判定定理：经过半径的__外端__并且__垂直于__这条半径的直线是圆的切线． 2．切线的性质：①切线和圆只有__一个__公共点；②切线到圆心的距离等于__半径__；③圆的切线__垂直于__过切点的半径．
3．如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝3 cm，12
PB＝4 cm，则BC＝____ cm.
5
4．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接__圆心
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__和__切点__，得到半径，那么半径__垂直于__切线．
环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生对学)
【例1】如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点P，E是BC边上的中点，连结PE，则PE与⊙O相切吗？若相切，请加以证明，若不相切，请说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)证PE是圆的切线，结合图形，已知圆心和直线PE与圆的交点P，应该怎样做辅助线呢？
【解答】PE与⊙O相切． 证明：连结OP、BP，则OP＝OB. ∴∠OBP＝∠OPB. ∵AB为直径， ∴BP⊥AC.
在Rt△BCP中，E为斜边中点， 1
∴PE＝BC＝BE，∴∠EBP＝∠EPB.
2
∴∠OBP＋∠PBE＝∠OPB＋∠EPB，即∠OBE＝∠OPE. ∵BE为切线，∴AB⊥BC. ∴OP⊥PE，即PE是⊙O的切线．
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据切线的判定定理， 要判定是否相切，关键是要连结直线与圆的交点和圆心，再借助题目条件判定连线是否与直线相垂直．
【例2】如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.如果∠A＝34°，那么∠C等于__________.
【互动探索】(引发学生思考)已知切线，连接切点与圆心，能得到什么结论？要求∠C，观察发现在等腰△OCB中，利用三角形的哪些性质来求得∠C的度数？
【分析】连结OB，如图．
∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°， ∴∠AOB＝90°－∠A＝90°－34°＝56°.
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∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC. ∵∠AOB＝∠C＋∠OBC， 1
∴∠C＝∠AOB＝28°.
2【答案】28°
【互动总结】(学生总结，老师点评)运用切线的性质来进行计算或证明，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10 cm，小圆半径为6 cm，则弦AB的长为__16__cm.
2．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A＝25°，则∠D＝__40°__.
3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6 cm，如果⊙P以1 cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过__4或8__秒后⊙P与直线CD相切．
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，且CE是⊙O的切线．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若BC＝3，AB＝4，求平行四边形OABC的面积．
【互动探索】(引发学生思考)(1)要证明CD是切线的关键是作出正确的辅助线．(2)已知四边形OABC是平行四边形，有底边长，求其面积，还要得到哪个关键量？有切线就有垂
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直，利用勾股定理能得到那条边长？
【解答】(1)证明：连接OD.
∵CE是⊙O的切线，∴∠OEC＝90°. ∵四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB， ∴∠EOC＝∠A，∠COD＝∠ODA. ∵OD＝OA，∴∠A＝∠ODA， ∴∠EOC＝∠DOC.
OE＝OD，
在△EOC和△DOC中， ∵∠EOC＝∠DOC，
OC＝OC，∴∠ODC＝∠OEC＝90°， ∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线． (2)过点D作DF⊥OC于点F.
在Rt△CDO中，OC＝AB＝4，OD＝OA＝3， 由勾股定理，得CD＝42－32＝7. 11
∵S△CDO＝CD×OD＝OC×DF，
22CD×OD7×337
∴DF＝＝＝，
OC4437
∴S▱DABC＝OC×DF＝4×＝37.
4
【互动总结】(学生总结，老师点评)有关圆的考查中，切线的判定与性质经常综合运用，在此类问题中，要注意分清是运用判定定理还是性质定理，不能混淆．有时还常常运用判定定理得到切线，再运用性质定理求解，注意解答的逻辑性．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
∴△EOC≌△DOC(SAS)，
请完成本课时对应练习！
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第4课时 切线长定理
一、基本目标 【知识与技能】
1．了解切线长的概念，并理解切线长定理．
2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．
3．理解和灵活运用切线长定理以及应用内切圆知识发展解决实际问题的能力． 【过程与方法】
经历探索切线长定理的过程，体会应用内切圆相关知识解决问题，从而渗透转化思想和方程思想．
【情感态度与价值观】
了解数学的价值，培养对数学的好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
二、重难点目标 【教学重点】 切线长定理． 【教学难点】
应用切线长定理解决问题．
环节1 自学提纲，生成问题 【5 min阅读】
阅读教材P99～P100的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】
1．经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间线段的长叫做这点到圆的切线长． 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线__平分__两条切线的夹角．
3．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，若PA＝4，则PB＝__4__.
4．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆．
5．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线__的交点，叫做三角形的__内心__，
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它到三边的距离__相等__.
环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生对学)
【例1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长是__________.
【互动探索】(引发学生思考)AB、AC、BD是⊙O的切线，由切线长定理可以得到哪些线段相等？求BD的长可以转化为求哪条线段的长？
【分析】∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP. ∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD， ∴BD＝PB＝AB－AP＝5－3＝2. 【答案】2
【互动总结】(学生总结，老师点评)切线长定理提供了另一种证明线段相等的方法，注意在解题过程中的等量代换．
【例2】如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝________.
【互动探索】(引发学生思考)三角形内切圆有哪些性质？要求∠DOE的度数，在四边形BDOE中，能否运用四边形内角和定理求解？
【分析】∵∠BAC＝50°，∠ACB＝60°， ∴∠B＝180°－50°－60°＝70°.
∵E、F是切点，∴∠BDO＝∠BEO＝90°， ∴∠DOE＝180°－∠B＝110°. 【答案】110°
【互动总结】(学生总结，老师点评)三角形内切圆问题中，连结各边的切点与圆心，结合切线的性质能产生直角，进而根据问题进行求解．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝__2__. 28
2．如图，AD、DC、BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC＝__90°__.
3．如图，AB、AC与⊙O相切于B、C两点，∠A＝50°，点P是优弧BC上异于B、C的一动点，则∠BPC＝ __65°__.
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，若∠APB＝60°，⊙O半径为3，求阴影部分的面积．
【互动探索】(引发学生思考)阴影部分是不规则图形，要求阴影部分的面积，可以通过规则图形怎样来“割补”？分别连结切点与圆心、交点与圆心，得到直角三角形，如何求得阴影部分的面积？
【解答】连结PO、AO.
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB＝60°， 1
∴OA⊥PA，∠APO＝∠APB＝30°，
2∴∠AOP＝60°.
∵⊙O半径为3，∴OA＝3，PO＝6， ∴PA＝PO2－AO2＝33，
1193∴S△PAO＝AO·PA＝×3×33＝，
22260π×323
S扇形AOC＝＝π，
3602
29
∴S阴影＝2(S△PAO－S扇形AOC)＝2×
933
＝93－3π.
2－2π
【互动总结】(学生总结，老师点评)由切线，作辅助线易得直角三角形，求不规则图形面积时，经常通过规则图形“割补”求得，注意其中数形结合思想的运用．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
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24.2.2 直线和圆的位置关系 第2课时 直线和圆的位置关系
一、基本目标 【知识与技能】
1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系． 2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系． 【过程与方法】
1．通过对直线和圆的三种位置关系的直观演示，向学生渗透分类讨论、数形结合的思想，培养学生能从直观演示中归纳出几何性质的能力．
2．初步培养学生能将点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系互相对应的理论迁移到直线和圆的位置关系上来．
3．让学生通过实践操作、思考、交流探索归纳出切线的判定定理及性质定理． 【情感态度与价值观】
让学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、关注知识的生成，发展与变化的过程，主动探索，勇于发现，从而领悟世界上的一切物体都是运动变化着的，并且在一定的条件下可以转化的辩证唯物主义观点．
二、重难点目标 【教学重点】 直线与圆位置关系． 【教学难点】
直线和圆三种位置关系的性质与判定的应用．
环节1 自学提纲，生成问题 【5 min阅读】
阅读教材P95～P96的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】
1．直线和圆有两个公共点，就说这条直线和圆__相交__，这条直线叫做圆的__割线__. 2．直线和圆只有一个公共点，就说这条直线和圆__相切__，这条直线叫做圆的__切线__，这个点叫做__切点__.
3．直线和圆没有公共点，就说这条直线和圆__相离__.
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4．已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离是4，则⊙O与直线l的关系是__相离__.
环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)
【例1】如果圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径，那么直线l和⊙O的公共点有__________个．
【互动探索】(引发学生思考)直线与圆的位置关系有哪几种？分别满足什么样的条件？ 【分析】∵圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径， ∴直线l与圆O相切，
∴直线l和⊙O的公共点有1个． 【答案】1
【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断直线与圆的公共点的个数，要先确定位置关系，再由位置关系确定交点个数．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系是( C ) A．相离 C．相交
B．相切 D．无法确定
2. 如图，若把太阳看成一个圆，则太阳与地平线l的位置关系是__相交__(填“相交”“相切”“相离”)．
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例2】设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，且直线l与⊙O相切．d、r是一元二次方程(m＋9)x2－(m＋6)x＋1＝0的两根，求m的值．
【互动探索】(引发学生思考)题目中“直线l与⊙O相切”能得到什么结论？再由“d，r是一元二次方程的两根”能说明这个方程满足什么条件？
【解答】∵⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，且直线l与⊙O相切， ∴d＝r.
∵d、r是一元二次方程(m＋9)x2－(m＋6)x＋1＝0的两根， ∴Δ＝ [－(m＋6)]2－4(m＋9)×1＝0， 解得m＝0或－8.
当m＝－8时，x＝－1，不符合题意，舍去， ∴m＝0.
【互动总结】(学生总结，老师点评)将直线与圆的位置关系和一元二次方程根的判别式
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综合，由直线与圆相切可判定d＝r，再由两根相等，得到一元二次方程判别式Δ＝0，进而得解．体现了数形结合的思想方法．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
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24.3 正多边形和圆
一、基本目标 【知识与技能】
1．经历正多边形的形成过程，了解正多边形的有关概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法．
2．理解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正n边形．
3．理解并掌握正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系，并解决正多边形与圆有关的计算问题．
【过程与方法】
1．结合生活中正多边形的图案，发现正多边形和圆的关系，学会用圆的有关知识解决相应的计算问题，从而丰富对正多边形的认识．
2．学会等分圆周，利用等分圆周的方法构造正多边形，并会设计图案，发展实践能力和创新精神．
【情感态度与价值观】
1．通过正多边形与圆的关系定理的教学，培养学生观察、猜想、推理、迁移能力． 2．通过等分圆周构造正多边形的实践活动，使学生在数学学习活动中获得成功的体验，建立自信心．
二、重难点目标 【教学重点】
正多边形的半径、中心角、边心距、边长的概念，用量角器等分圆． 【教学难点】
正多边形与圆的有关计算，用尺规作图作圆内接正方形和正六边形．
环节1 自学提纲，生成问题 【5 min阅读】
阅读教材P105～P107的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】
1．__各边__相等，__各角__也相等的多边形叫做正多边形．
2．一个正多边形的外接圆的__圆心__叫做这个正多边形的中心；外接圆的__半径__叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的__圆心角__叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__距离__叫做正多边形的边心距．
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3. 画正n边形只需先画一个圆，然后把圆__n等分__，依次连接各分点，即可得圆的__内接__正n边形，这个圆就是这个正多边形的__外接__圆．
4．把一个圆分成n等份，连接各点所得到的多边形是__正多边形__，它的中心角等于__360°__.
5．如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为__6__.
6．若正多边形的边心距与边长的比为1∶2，则这个正多边形的边数为__4__. 7．已知正六边形的外接圆半径为3 cm，那么它的周长为__18__cm. 8．你能用尺规作出正六边形吗？
解：以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则可作出正六边形． 环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．
【互动探索】(引发学生思考)(1)要求正六边形的周长，需要知道正六边形的边长．(2)要求正六边形的面积，不能直接求解，则需要通过做辅助线，将其转化为求几个三角形的面积和，那么应该怎么做辅助线呢？
【解答】连结OA、OB，过点O作OM⊥AB于点M. ∵ABCDEF是正六边形， 360°
∴∠AOB＝＝60°，
6∴△OAB是等边三角形， ∴正六边形ABCDEF的周长为6a. 11
在Rt△OAM中，OA＝a，AM＝AB＝a，
22利用勾股定理，可得边心距OM＝a23a
a2－＝， 22
11333a2
∴正六边形ABCDEF的面积＝6×AB×OM＝6×a×a＝. 2222
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决与正多边形有关的问题，通常转化为由正多边形的半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形的计算问题．
【例2】已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．
【互动探索】(引发学生思考)画正多边形有两类工具：量角器和尺规．(1)正三角形需要
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把圆三等分，所以它的中心角为120度，可以用量角器直接量出．(2)用尺规可以作出正六边形，那么用尺规可以作出正三角形吗？
【解答】(方法一)任取一点A，连接OA，用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO＝∠CAO＝30°，点B、C在圆周上，连接A、B、C三点，可得△ABC.
(方法二)用量角器度量，使∠AOB＝∠AOC＝120°，连接A、B、C三点，可得△ABC.
(方法三)用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦，任意顺次连接不相邻的三个点，如点A、C、E，则△ACE即为所求的三角形．
(方法四)在圆上任取一条直径AD，以D为圆心，2 cm为半径画弧，交⊙O于B、C两点，连接A、B、C三点，可得△ABC.
【互动总结】(学生总结，老师点评)作圆内接正三角形的方法有很多种，还可以用量角器和尺规作图两者相结合的方法，如用量角器画圆心角∠BOC＝120°，OB、OC分别交⊙O于B、C两点，再在⊙O上用圆规截取AC＝BC，连接A、B、C三点，可得△ABC.
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是( C )
A．60° C．30°
B．45° D．22.5°
2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是( C )
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A．36° C．72°
B．60° D．108°
3．下列用尺规等分圆周说法正确的个数有( A ) ①在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆； ②作相互垂直的两条直径，就可以四等分圆；
③按①的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分圆； ④按②的方法将圆四等分，再平分四条弧，就可以八等分圆． A．4个 C．2个
4．正八边形共有__8__条对称轴．
5．正n边形的一个外角的度数与它的中心角的度数__相等__. 6．观察下面的图形，说一说是怎么画出来的？
B．3个 D．1个
解：先画一个O为圆心，OA长为半径的圆，取圆的三等分点，分别以三等分点为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于A、B、C三点，即得该图形．
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，点G、H分别是正六边形ABCDEF的边BC、CD上的点，且BG＝CH，AG交BH于点P.求∠APH的度数．
【互动探索】(引发学生思考)要求∠APH的度数，结合图形特点，需要将其转化为求其他角的度数．根据正六边形的性质能得到AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，由得出的等边、等角及BG＝CH所在的三角形，那么可以转化成求哪个角的度数，即可求得∠APH的度数？
【解答】∵在正六边形ABCDEF中，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°， 又BG＝CH， ∴△ABG≌△BCH， ∴∠BAG＝∠HBC.
∵∠BAG＋∠ABP＝∠HBC＋∠ABP， ∴∠APH＝∠ABC＝120°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题从问题本身出发，不容易得到解决问题的方法，
37
则需要将所求问题结合已知条件进行等价转化．结合已知条件和正六边形的性质，很容易得到两个三角形全等，利用三角形的外角可求得∠APH的度数．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 正多边形的相关概念：
(1)中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
请完成本课时对应练习！
38
24.4 弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积
一、基本目标 【知识与技能】
了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题． 【过程与方法】
经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
【情感态度与价值观】
通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣．
二、重难点目标 【教学重点】
弧长及扇形面积计算公式． 【教学难点】
弧长及扇形面积计算公式的推导过程．
环节1 自学提纲，生成问题 【5 min阅读】
阅读教材P111～P113的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】
1．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是__nπR____. 180πR2
2．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是____，n°的圆心角所对应的
360nπR2
扇形面积是____.
36013．半径为R，弧长为l的扇形面积S＝__lR__.
24．已知⊙O的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则∠AOB所对的AB的长是____3π____ . πR__，n°的圆心角所对的弧长是180 39
5．一个扇形所在圆的半径为3 cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积为____3π____cm2.
6．在一个圆中，如果60°的圆心角所对的弧长是6π cm，那么这个圆的半径r＝__18_cm__.
环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米(左右对称)，请计算该秋千所荡过的圆弧长(精确到0.1米)．
【互动探索】(引发学生思考)要求弧长必须知道半径和圆心角，题目中已经给出了半径，即AB的长度，还给出了最低点和最高点离地面的距离，但根据这些条件并不能直接求出圆心角，所以，本题还需要考虑做辅助线．
【解答】由题意得，BE＝2 m，AC＝3 m，CD＝0.5 m. 作BG⊥AC于G，则AG＝AD－GD＝AC＋CD－BE＝1.5 m. ∵AB＝2AG，∴在Rt△ABG中，∠ABG＝30°，∠BAG＝60°. 根据对称性，知∠BAF＝120°.
120π×3∴秋千所荡过的圆弧长是＝2π≈6.3(米)．
180
【互动总结】(学生总结，老师点评)如果已知条件直接给出了半径和圆心角，弧长的计算只要直接代公式就可以解决．如果题目中没有直接给出半径和圆心角，需要结合已经学过的知识求出需要的条件．
【例2】如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，以CD为直径作半圆O，AB＝4 cm，BC＝3 cm，AD＝13 cm.求图中阴影部分的面积：
【互动探索】(引发学生思考)阴影部分是一个半圆，要求阴影部分的面积，需要知道半径，怎样求出半径的长呢？
【解答】∵AB⊥BC，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝5.
∵AC⊥CD，AC＝5，AD＝13，
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∴CD＝12，OC＝6.
180π×62
∴S阴影＝＝18π( cm2)，
360∴阴影部分的面积为18π cm2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题求的是半圆的面积，也可以直接利用圆的面积公式进行计算．扇形的面积公式有两个，一个是利用半径和圆心角进行计算，另一个是利用弧长和半径进行计算．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
4
1．已知半径为2的扇形，面积为π，则它的圆心角的度数＝__120°__.
344
2．已知半径为2 cm的扇形，其弧长为π，则这个扇形的面积S扇＝__π cm2__.
33443．已知半径为2的扇形，面积为π，则这个扇形的弧长＝__π__ .
334．已知扇形的半径为5 cm，面积为20 cm2，则扇形弧长为__8__ cm. 5．已知扇形的圆心角为210°，弧长是28π，则扇形的面积为__336π__ . 【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，两个同心圆被两条半径截得的AB的长为6π cm，CD的长为10π cm，又AC＝12 cm，求阴影部分ABDC的面积．
【互动探索】(引发学生思考)图中的阴影部分是圆环的一部分，要求阴影部分的面积，1
需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积S＝lR，l已知，则需要求两
2个半径OC与OA，因为OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．
【解答】设OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°.
根据已知条件有n
10π＝180πR＋12，
3R
两式相除，得＝. 5R＋12∴3(R＋12)＝5R，∴R＝18. ∴OC＝18＋12＝30.
n
6π＝πR，
180
11
∴S阴影＝S扇形COD－S扇形AOB＝×10π×30－×6π×18＝96π (cm)2.
22
41
所以阴影部分的面积为96π cm2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用我们所学的知识，不能直接求出阴影部分的面积，需要将它转化为两个扇形的面积之差．在求不规则图形的面积时，需要将其转化为规则图形面积的和(差)形式，从而解决问题．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
42
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
一、基本目标 【知识与技能】
1．了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式． 2．理解圆锥全面积的计算公式，并会应用公式解决问题． 【过程与方法】
通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题．
【情感态度与价值观】
1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．
2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际．
二、重难点目标 【教学重点】
圆锥侧面积和全面积的计算． 【教学难点】
探索圆锥侧面积计算公式．
环节1 自学提纲，生成问题 【5 min阅读】
阅读教材P113～P114的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】
1．圆锥是由一个__底面__和一个__侧面__围成的几何体，连接圆锥__顶点__和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，连接顶点和__底面圆心__的线段叫做圆锥的高．
2．圆锥的侧面展开图是一个__扇形__，其半径为圆锥的__母线__，弧长是圆锥底面圆的__周长__.
3．圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式： __l2＝h2＋r2__，圆锥的侧面积S＝__πlr__；圆锥的全面积S全＝S底＋S侧＝__πr2__＋__πlr__. 4．已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为__12π____.
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5．圆锥的底面半径为3 cm，母线长为6 cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是__180°__.
6．如果圆锥的高为3 cm，母线长为5 cm，则圆锥的全面积是__36π__ cm2. 环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生对学)
【例1】圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58 cm，高为20 cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1 cm2)
【互动探索】(引发学生思考)首先理解“纸帽”的侧面展开图是什么？其次要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积，需要哪些条件？
【解答】设纸帽的底面半径为r cm，母线长为l cm. 58
则r＝，l＝
2π
582＋202≈22.03(cm)， 2π
1
S圆锥侧＝πrl≈×58×22.03＝638.87(cm2)．
2638．87×20＝12777.4(cm2)． 至少需要12777.4 cm2的纸．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决实际问题时，首先要考虑求的是圆锥的侧面积还是全面积，确定好以后，找到需要的数据，代入公式计算即可．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是__180°__. 2．一个扇形，半径为30 cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为__10_cm__.
3．如图所示，已知扇形AOB的半径为6 cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥．
(1)求围成的圆锥的侧面积； (2)求该圆锥的底面半径．
120π×62解：(1)圆锥的侧面积＝＝12π(cm2)．
360(2)设该圆锥的底面半径为r.
120π×6
根据题意，得2πr＝，解得r＝2.
180即圆锥的底面半径为2 cm.
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【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝13 cm，一条直角边AC＝5 cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．
【互动探索】(引发学生思考)要求这个几何体的表面积，解题的关键是先分析出这个几何体的表面积由哪些部分组合而成，再选择相应的公式进行求解．
【解答】在Rt△ABC中，AB＝13 cm，AC＝5 cm， ∴BC＝12 cm. ∵OC·AB＝BC·AC，
BC·AC5×1260∴r＝OC＝＝＝(cm)．
AB131360
∴S表＝πr(BC＋AC)＝π××(12＋5)
13＝
1020
π (cm2)． 13
【互动总结】(学生总结，老师点评)在计算组合体的表面积时，需要将其拆分成简单的几何体，分别计算各几何体的表面积，注意重叠的部分不需要计算．
环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
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