2021年中考数学压轴题提升训练：折叠与落点有迹性

AB'BPC

5【答案】10或.

2【解析】解:点B’的运动轨迹是以点A为圆心以AB的长为半径的圆,圆与BC的垂直平分线的交点即为所求的落点B’,

如图作出图形,

B'AB'BC

分两种情况计算:

△连接BB’,过B’作B’E△BC于E,如下图所示,

AB'BPEC

由题意知,BB’=B’C,BP=B’P,BE=EC=4,BB’△AP,

△△B’BC=△B’CB,△B’BC+△APB=90°,△B’CB+△CB’E=90°, △△APB=△CB’E,△△CB’E△△APB,△

ABBP5BP,即, 4B'ECEB'E4设BP=x,则B’P=x,EP=4－x,B’E=x,

52452在Rt△B’PE中,由勾股定理得:xx4x,解得:x=10(舍)或x=,

2525即BP=；

2△过A作AH△MN于H,如图所示,

MB'AHBGNCP

△AB=AB’=5,AH=4,GH=5, △B’H=3,B’G=8,

设BP=x,则B’P=x,PG=x－4,

在Rt△PGB’中,由勾股定理得:x282x4, 解得:x=10,即BP=10;

25综上所述,答案为:10或.

2【变式】如图,在边长为 3 的等边三角形ABC中,点D为AC上一点,CD=1,点E为边AB 上不与A,B重合的一个动点,连接DE,以DE为对称轴折叠△AED,点 A 的对应点为点 F,当点 F 落在等边三角形ABC的边上时,AE 的长为 ．

【答案】1或5－13.

【解析】解:第一步:确定落点,点F在以D为圆心,以线段AD的长为半径的弧上,如下图所示,

AFBFDC

第二步,根据落点确定折痕(对称轴)

(1)△AD=DF=2,△A=60°,△△ADF是等边三角形, △DE平分△ADF, △AE=EF=1；

AEFBDC

(2)如下图所示,

AEDBFC

由对称知,△EFD=△A=60°,△△EFB+△DFC=120°, △△DFC+△FDC=120°,△△EFB=△FDC, △△B=△C=60°, △△BEF△△CFD, △

BEEFBF, CFDFCD设AE=x,则BE=3－x,

3xxBF, CF2123xx△BF=,CF=,

x2即

△BF+CF=3,

即

x23x+=3,

x2解得:x=5+13(舍)或x=5－13, 综上所述,答案为:1或5－13.

1.如图,P 是边长为 3 的等边△ABC 的边 AB 上一动点,沿过点 P 的直线折叠△B,使点 B 落在 AC 上,对应点为 D,折痕交 BC 于点 E,点 D 是 AC 的一个三等分点,PB 的长为

．

【答案】1或5－13.

【解析】解:第一步确定落点,AC的三等分点有两个,所以有两种情况；第二步根据落点确定折痕,方法:作BD的垂直平分线即为折痕所在的直线；

(1)如下图所示,

ADPBEC

由折叠性质得:△B=△EDP=60°, △△CDE+△ADP=120°,

△△A=△C=60°,△△ADP+△APD=120°, △△APD=△CDE, △△CED△△ADP, △

CECDDE, ADAPDP设BP=DP=x,则AP=3－x, △

CE2DE, 13xx△CE=

22x,DE=, 3x3x△DE=BE,

△CE+DE=CE+BE=3, 即

22x+=3, 3x3x7解得:x=；

5(2)如下图所示,当CD=1时,

APDBEC

同理可得: △

CECDDE, ADAPDP设BP=DP=x,则AP=3－x,

CE1DE, 23xx2x△CE=,DE=,

3x3x△△

2x+=3, 3x3x7解得:x=；

477综上所述,PB的长为或.

542.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=6,E．F分别是线段AD,BC上的点,连接EF,使四边形ABFE为正方形,若点G是AD上的动点,连接FG,将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上,对应点为P,则线段AP的长为 ．

【答案】4或4﹣22．

【解析】解:如图1所示:

由翻折的性质可知PF=CF=4, △ABFE为正方形,边长为2, △AF=22． △PA=4﹣22． 如图2所示:

由翻折的性质可知PF=FC=4． △ABFE为正方形,

△BE为AF的垂直平分线． △AP=PF=4．

故答案为:4或4﹣22．

3.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点E为AB上一点,AE=23,点F在AD上,将△AEF沿EF折叠,当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时,折痕EF的长为 ．

【答案】4或43．

【解析】解:第一步,确定落点,以E为圆心,AE的长为半径画弧,与BC的垂直平分线的交点即为A’,

A'AEA'

第二步,作出折痕,求解. (1) 如下图所示,

由折叠性质知:A′E=AE=23,AF=A′F,△FA′E=△A=90°,

1AM=AD=3,

2过E作EH△MN于H,则四边形AEHM是矩形, △MH=AE=23, 由勾股定理得:A′H=3, △A′M=3, 由MF2+A′M2=A′F2, 得(3﹣AF)2+(3)2=AF2, 解得:AF=2,

在Rt△AEF中,由勾股定理得:EF=4； (2)如下图所示,

可得:A′E=AE=23,AF=A′F,△FA′E=△A=90°,

过A′作HG△BC交AB于G,交CD于H,则四边形AGHD是矩形, △DH=AG,HG=AD=6,A′H=A′G=3, 在Rt△A’EG中,由勾股定理得:EG=3, △DH=AG=AE+EG=33,

在Rt△A’HF中,由勾股定理得:A′F=6, 在Rt△AEF中,由勾股定理得:EF=43； 故答案为:4或43．

4.在矩形ABCD中,AB＝6,BC＝12,点E在边BC上,且BE＝2CE,将矩形沿过点E的直线折叠,点C,D的对应点分别为C′,D′,折痕与边AD交于点F,当点B,C′,D′恰好在同一直线上时,AF的长为 ．

【答案】823,823．

【解析】解:由折叠的性质得,△EC′D′＝△C＝90°,C′E＝CE, △点B、C′、D′在同一直线上, △△BC′E＝90°, △BC＝12,BE＝2CE, △BE＝8,C′E＝CE＝4, 在Rt△BC′E中,△C′BE＝30°,

△当点C′在B、D’之间时,过E作EG△AD于G,延长EC′交AD于H,则四边形ABEG是矩形,

△EG＝AB＝6,AG＝BE＝8, △△C′BE＝30°,△BC′E＝90°, △△BEC′＝60°,

由折叠的性质得,△C′EF＝′CEF,

△△C′EF＝△CEF＝60°, △AD△BC

△△HFE＝△CEF＝60°, △△EFH是等边三角形,

△在Rt△EFG中,EG＝6,GF＝23, △AF═8+23；

△当点D′在B、C’之间时,过F作FG△AD于G,D′F交BE于H,

同理可得:AF＝8﹣23, 故答案为:823或823．

5.如图,在矩形ABCD中,AB＝5,BC＝3,点E为射线BC上一动点,将△ABE沿AE折叠,得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上,则BE的长为 ．

5【答案】15或.

3【解析】解:第一步:确定落点,以A为圆心,AB的长为半径画弧,交射线CD于B’, 分两种情况讨论；

DB'B'CAB

第二步,根据落点作出折痕,求解；

(1)如下图所示,

DB'CEAB

由折叠知:AB′＝AB＝5,B′E＝BE, △CE＝3﹣BE, △AD＝3, △DB′＝4,B′C＝1,

由勾股定理知:B′E2＝CE2+B′C2, △BE2＝(3﹣BE)2+12,

5△BE＝；

3(2)如下图所示,AB′＝AB＝5,

△CD△AB, △△1＝△3, △△1＝△2, △△2＝△3, △AE垂直平分BB′, △AB＝BF＝5, △CF＝4, △CF△AB, △△CEF△△ABE,

CFCE, ABBE4CE即, 5CE3△△CE＝12, △BE＝15,

5故答案为:或15．

36.如图,在等边三角形ABC中,AB＝23cm,点M为边BC的中点,点N为边AB上的任意一点(不与点A,B重合),若点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边上,则BN的长为 cm．

【答案】3或3. 2【解析】解:△N不与A重合, △B落点不会在BC上, 分两种情况讨论:

(1)当B关于直线MN的对称点B'落在AB边上时, 此时,MN△AB,即△BNM=90°,

△△ABC是等边三角形,AB＝23,M是BC中点, △△B=60°,BM=3,

31△BN=BM=；

22(2)当点B关于直线MN的对称点B'落在边AC上时, 则MN△BB′,可得:四边形BMB′N是菱形,

1△BN＝BM＝BC＝3,

2故答案为:3或3． 27.在矩形ABCD中,AB＝4,BC＝3,点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠,使点A落在矩形对角线上的A′

处,则AP的长为 ．

【答案】

39或. 24【解析】解:矩形对角线有两条,AC、BD,所以先以D为圆心以AD的长为半径作弧,与对角线AC、BD的交点即为A’点；再作出AA’的垂直平分线即为折痕；

(1)点A落在矩形对角线BD上时,

由AB＝4,BC＝3,得:BD＝5,

根据折叠的性质,AD＝A′D＝3,AP＝A′P,△A＝△PA′D＝90°, △BA′＝2,

设AP＝x,则BP＝4﹣x, 由勾股定理得:BP2＝BA′2+PA′2, (4﹣x)2＝x2+22,解得:x＝△AP＝

3, 23； 2△点A落在矩形对角线AC上,

根据折叠的性质可知:DP△AC, 易证:△ACB=△APD, △tan△ACB= tan△APD,

ADBC9 =． 4AB39故答案为:或.

24△AP＝

8.如图,在△ABCD 中,△A＝60°,AB＝8,AD＝6,点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点,将该四边形沿折痕 EF

翻折,使点 A 落在边 BC 的三等分点处,则 AE 的长为 ．

【答案】

39或. 24【解析】解:第一步确定落点,因为BC的三等分点有两个,所以分两种情况讨论, 第二步,确定落点后,画出折痕EF,求解. (1)如下图所示

DFCA'AEBH

过点A’作A’H△AB交AB的延长线于H, 则△A’BH=60°, △A’B=2, △BH=1,A’H=3,

设AE=A’E=x,则BE=8－x,EH=9－x, 在Rt△A’EH中,由勾股定理得:

x29x即AE=

23,解得:x=

214, 314; 3DF(2)如下图所示,

CA'AEBH

过点A’作A’H△AB交AB的延长线于H,

则△A’BH=60°, △A’B=4,

△BH=2,A’H=23,

设AE=A’E=x,则BE=8－x,EH=10－x, 在Rt△A’EH中,由勾股定理得:

x210x23,解得:x=5.6,

即AE=5.6; 综上所述,答案为:

2214或5.6. 39如图,边长为1的正方形ABCD,点P为边AD上一动点(不与点A重合)．连接BP,将△ABP沿直线BP折叠,点A落在点A′处,如果点A′恰好落在正方形ABCD的对角线上,则AP的长为 ．

【答案】21.

【解析】解:由题意知,A’落在对角线BD上,连接A'D,

则B、A’、D在同一直线上,

△△A＝△PA'B＝△PA'D＝90°,AP＝A'P,AB＝A'B=1, △BD＝2,

△DA'＝BD﹣BA'＝BD﹣AB＝2﹣1, 由正方形性质知,∠PDA’=∠A’PD=45°, ∴AP=A’P=A’D=2﹣1, 故答案为:2﹣1．

10.如图,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为(10,8),则点E的坐标为 ．

【答案】(10,3).

【解析】解:∵四边形A0CD为矩形,D(10,8), ∴AD=BC=10,DC=AB=8,

由折叠性质知:AD=AF=10,DE=EF, 在Rt△AOF中,由勾股定理得:OF=6, ∴FC=4,

设EC=x,则DE=EF=8﹣x, 在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2, 即(8﹣x)2=x2+42,解得x=3, ∴点E的坐标为(10,3), 故答案为:(10,3)．