蠡县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

蠡县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（ ）

A． B． C． D．

2． 如图所示，程序执行后的输出结果为（ ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3． 已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（ ）

A．3x﹣1 B．3x+1 C．3x+2

D．3x+4

4． 设方程|x2+3x﹣3|=a的解的个数为m，则m不可能等于（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

5． 函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（ A．0＜a≤ B．0≤a≤ C．0＜a＜ D．a＞

6． 已知圆C：x2+y2

﹣2x=1，直线l：y=k（x﹣1）+1，则l与C的位置关系是（ ） A．一定相离 B．一定相切

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）精选高中模拟试卷

C．相交且一定不过圆心 D．相交且可能过圆心

7． 如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（ ）

A． B． C． D．

8． 曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ） A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

9． 设a∈R，且（a﹣i）•2i（i为虚数单位）为正实数，则a等于（ ）

A．1 B．0 C．﹣1 D．0或﹣1

10．若命题p：∃x0∈R，sinx0=1；命题q：∀x∈R，x2+1＜0，则下列结论正确的是（ ） A．￢p为假命题 B．￢q为假命题 C．p∨q为假命题 D．p∧q真命题

11．设a是函数

A．f（x0）=0 B．f（x0）＜0 C．f（x0）＞0 A．45

B．90

D．f（x0）的符号不确定 C．120 D．360

12．由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（ ）

x的零点，若x0＞a，则f（x0）的值满足（ ）

二、填空题

13．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：

甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”

结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的 两人说对了．

14．设函数f（x）=

①若a=1，则f（x）的最小值为 ；

②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ．

，

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15．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{an}为“斐波那契数列”．若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}，在数列{bn}中第2016项的值是 ．

16．若“x＜a”是“x2﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，则a的取值范围为 ． 17．已知函数f（x）=（2x+1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为 ．

18．若点p（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为

三、解答题

19．（本题满分12分）在ABC中，已知角A,B,C所对的边分别是a,b,c，边c7，且 2tanAtanB3tanAtanB3，又ABC的面积为SABC

20．设函数f（x）=emx+x2﹣mx．

33，求ab的值． 2（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增； （2）若对于任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．

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21．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2csinA=（1）求角C的大小；

（2）若c=2，a2+b2=6，求△ABC的面积．

22．如图在长方形ABCD中，

（1）若M是AB的中点，求证：

a．

是CD的中点，M是线段AB上的点，

与

共线；

．

（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；

（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P点的位置．

23．已知函数f（x）=x2﹣mx在[1，+∞）上是单调函数． （1）求实数m的取值范围； （2）设向量不等式

的α的取值范围．

，求满足

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24．对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=

．若集合A满足下

列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω． 如当n=2时，E2={1，2}，P2=所以P2具有性质Ω．

（Ⅰ）写出集合P3，P5中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω． （Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B． （Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B，求n的最大值．

．∀x1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，

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蠡县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】C

，

【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1， 故外接球半径为故选C．

，外接球的体积为

【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．

2． 【答案】B

【解析】解：执行程序框图，可得 n=5，s=0

满足条件s＜15，s=5，n=4 满足条件s＜15，s=9，n=3 满足条件s＜15，s=12，n=2 满足条件s＜15，s=14，n=1 满足条件s＜15，s=15，n=0 故选：B．

不满足条件s＜15，退出循环，输出n的值为0．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确判断退出循环时n的值是解题的关键，属于基础题．

3． 【答案】A

【解析】∵f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1 ∴f（x）=3x﹣1 故答案是：A

【点评】考察复合函数的转化，属于基础题．

4． 【答案】A

22

【解析】解：方程|x+3x﹣3|=a的解的个数可化为函数y=|x+3x﹣3|与y=a的图象的交点的个数，

2

作函数y=|x+3x﹣3|与y=a的图象如下，

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，

结合图象可知， m的可能值有2，3，4； 故选A．

5． 【答案】B

【解析】解：当a=0时，f（x）=﹣2x+2，符合题意

当a≠0时，要使函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数 ∴

⇒0＜a≤

综上所述0≤a≤ 故选B

【点评】本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数a的范围的问题，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．

6． 【答案】C

【解析】

【分析】将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，与r比较大小即可得到结果．

22

【解答】解：圆C方程化为标准方程得：（x﹣1）+y=2， ∴圆心C（1，0），半径r=， ∵≥＞1，

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∴圆心到直线l的距离d=＜=r，且圆心（1，0）不在直线l上，

∴直线l与圆相交且一定不过圆心． 故选C

7． 【答案】 D

【解析】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，

则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是， 如图当E与C重合时，AK=

=，

取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形． 故∠K0A=

，∴∠K0D'=

=

， ，

其所对的弧长为故选：D．

8． 【答案】B

/22

【解析】解：y=3x﹣2，切线的斜率k=3×1﹣2=1．故倾斜角为45°． 故选B．

【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．

9． 【答案】B

【解析】解：∵（a﹣i）•2i=2ai+2为正实数， ∴2a=0， 解得a=0． 故选：B．

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．

10．【答案】A

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【解析】解：∴∃x0∈R，sinx0=1； ∴命题p是真命题；

时，sinx0=1；

22

由x+1＜0得x＜﹣1，显然不成立；

∴命题q是假命题；

∴￢p为假命题，￢q为真命题，p∨q为真命题，p∧q为假命题； ∴A正确． 故选A．

2

【点评】考查对正弦函数的图象的掌握，弧度数是个实数，对∀∈R满足x≥0，命题￢p，p∨q，p∧q的真假和

命题p，q真假的关系．

11．【答案】C

【解析】解：作出y=2和y=log

x

x的函数图象，如图：

由图象可知当x0＞a时，2∴f（x0）=2故选：C．

12．【答案】B

﹣log

＞logx0，

x0＞0．

【解析】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，

222

所以由分步计数原理有：C6C4C2=90个不同的六位数，

故选：B．

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【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．

二、填空题

13．【答案】乙 ，丙

【解析】【解析】

甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确。故答案为：乙，丙。 14．【答案】

【解析】解：①当a=1时，f（x）=

当x＜1时，f（x）=2﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，

x

22

当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x﹣3x+2）=4（x﹣）﹣1，

≤a＜1或a≥2 ．

，

当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增， 故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，

②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a） 若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，

所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，

而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1， 所以≤a＜1，

若函数h（x）=2﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，

x

则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，

当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），

当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的， 综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．

15．【答案】 0 ．

【解析】解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…， 即新数列{bn}是周期为6的周期数列， ∴b2016=b336×6=b6=0，

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故答案为：0．

【点评】本题主要考查数列的应用，考查数列为周期数性，属于中档题．

16．【答案】 a≤﹣1 ．

2

【解析】解：由x﹣2x﹣3≥0得x≥3或x≤﹣1，

2

若“x＜a”是“x﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，

则a≤﹣1， 故答案为：a≤﹣1．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出不等式的等价是解决本题的关键．

17．【答案】 3 ．

x

【解析】解：∵f（x）=（2x+1）e，

xx

∴f′（x）=2e+（2x+1）e， 00

∴f′（0）=2e+（2×0+1）e=2+1=3．

故答案为：3．

18．【答案】：2x﹣y﹣1=0

解：∵P（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点， ∴圆心与点P确定的直线斜率为∴弦MN所在直线的斜率为2，

则弦MN所在直线的方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0． 故答案为：2x﹣y﹣1=0

=﹣，

三、解答题

19．【答案】【解析】

11． 2第 11 页，共 15 页

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试

题解析：由tanAtanB3tanAtanB3 tanAtanB3，即tan(AB)3. 1tanAtanB∴tan(C)3，∴tanC3，∴tanC3. 可得

∵C(0,)，∴C3.

331331333，∴absinC，即ab，∴ab6. 2222227222222又由余弦定理可得cab2abcosC，∴()ab2abcos，

2372121112222∴()abab(ab)3ab，∴(ab)，∵ab0，∴ab.1 242又ABC的面积为SABC考点：解三角形问题．

【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到两角和与两角差的正切函数公式、三角形的面积、正弦定理和余弦定理，以及特殊角的三角函数值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中熟练掌握基本公式和灵活运用公式是解答本题的关键，属于中档试题． 20．【答案】

【解析】解：（1）证明：f′（x）=m（e﹣1）+2x．

mx

mxmx

若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e﹣1≥0，f′（x）＞0．mxmx

若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e﹣1＜0，f′（x）＞0．

所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．

（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在单调递减，在单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值． 所以对于任意x1，x2∈，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是

即

tt

设函数g（t）=e﹣t﹣e+1，则g′（t）=e﹣1．

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当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．

1

又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣+2﹣e＜0，故当t∈时，g（t）≤0．

当m∈时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；

当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e﹣m＞e﹣1．

m

m

当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣+m＞e﹣1．

综上，m的取值范围是

21．【答案】

【解析】（本小题满分10分） 解：（1）∵∴

在锐角△ABC中，故sinA≠0， ∴（2）∵∴∴

，

．…5分

，…6分

，即ab=2，…8分

．…10分 ， ，…2分

，…3分

【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

22．【答案】

【解析】（1）证明：如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

当M是AB的中点时，A（0，0），N（1，1），C（2，1），M（1，0），

，

由

，可得

与

共线；

与

垂直，

（2）解：假设线段AB上是否存在点M，使得

，

设M（t，0）（0≤t≤2），则B（2，0），D（0，1），M（t，0），

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由=﹣2（t﹣2）﹣1=0，解得t=，

，使得

与

垂直； 在

∴线段AB上存在点

（3）解：由图看出，当P在线段BC上时，则

有最大值为4．

上的投影最大，

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．

23．【答案】 ∴x=≤1 ∴m≤2

2

【解析】解：（1）∵函数f（x）=x﹣mx在[1，+∞）上是单调函数

．

∴实数m的取值范围为（﹣∞，2]； ∵∵

∴2﹣cos2α＞cos2α+3 ∴cos2α＜∴

∴α的取值范围为转化为具体不等式．

24．【答案】

，

2

（2）由（1）知，函数f（x）=x﹣mx在[1，+∞）上是单调增函数

【点评】本题考查函数的单调性，考查求解不等式，解题的关键是利用单调性确定参数的范围，将抽象不等式

．

【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=∴集合P3，P5中的元素个数分别为9，23，

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∵集合A满足下列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω，

∴P3不具有性质Ω．…..

证明：（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}． 因为1∈E15，所以1∈A∪B，

不妨设1∈A．因为1+3=22，所以3∉A，3∈B．

同理6∈A，10∈B，15∈A．因为1+15=42，这与A具有性质Ω矛盾． 所以假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．…..

解：（Ⅲ）因为当n≥15时，E15⊆Pn，由（Ⅱ）知，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B． 若n=14，当b=1时，

，

取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}， 则A1，B1具有性质Ω，且A1∩B1=∅，使E14=A1∪B1． 当b=4时，集合

中除整数外，其余的数组成集合为，

令

，

，

．

则A2，B2具有性质Ω，且A2∩B2=∅，使当b=9时，集

中除整数外，其余的数组成集合

，

令

则A3，B3具有性质Ω，且A3∩B3=∅，使

．

集合

它与P14中的任何其他数之和都不是整数，

因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A∩B=∅，且P14=A∪B． 综上，所求n的最大值为14．…..

中的数均为无理数，

，

．

【点评】本题考查集合性质的应用，考查实数值最大值的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求高，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．

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